线代数样题.doc

线性代数（样题一）一、判断题：（正确的打，不正确的打）（每小题2分，共20分）1、设A , B是两个n阶方阵，则。 （ ）2、设A是n阶方阵，若,则或。 （ ）3、在秩是的矩阵中，可能有等于0的阶子式。 （ ）4、若向量组是线性相关的，则必可由线性表示。 （ ）5、不是正交矩阵。 （ ）6、为正定二次型。 （ ）7、等价的矩阵具有相同的秩。 （ ）8、一个向量组的任意两个最大无关组等价。 （ ）9、实对称矩阵一定可以相似对角化。 （ ）10、是向量空间Rn的子空间。 （ ）二、选择题（每小题2分，共20分）1、的充分必要条件是（ ）。(A) ；(B) ；(C) 且； (D) 或。2、若是（ ），则必有。(A) 三角形矩阵； (B) 对称矩阵； (C)正交矩阵； (D)可逆矩阵。3、设是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组，则（ ）(A) 只有零解时，有唯一解；(B) 有非零解时，有无穷多解；(C) 是的解时，的线性组合是的解；(D) 是的通解，是的特解时，是的通解。4、下列矩阵中，（ ）是二次型的矩阵。(A)； (B) ； (C) ； (B) 。5、下列条件中，只有（ ）是阶矩阵可逆的充分必要条件。(A) 的每个行向量都是非零向量；(B) 的列向量组的秩小于；(C) ；(D) 的列向量组的秩等于行向量组的秩。6、是阶正定矩阵的充分必要条件是（ ）。(A) ； (B) 的奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正；(C) 的奇数阶主子式为正，偶数阶主子式为负； (D) 的各阶顺序主子式均为正数。7、设为矩阵，则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是（ ）。(A) ； (B) ；(C) 的列向量组线性无关 ； (D) 。8、已知向量组的秩为3，则（ ）。(A) 中任意三个向量线性无关； (B) 中必有任意两个向量线性无关；(C) 中至少有一个向量可以用其它三个向量线性表示；(D) 中任意一个向量都能用其它三个向量线性表示。9、设矩阵是非齐次线性方程组的增广矩阵，则下列说法正确的是（ ）。(A) 非齐次线性方程组无解；(B) 非齐次线性方程组有无穷多个解(C) 非齐次线性方程组只有唯一解；(D) 非齐次线性方程组有零解。10、矩阵的行向量组的秩等于（ ）。(A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4。三、填空题（每小题2分，共30分）1、若是的伴随矩阵，则 。2、已知则 。3、在6阶行列式中，项所带的正负号是 。4、从矩阵中划去一行得到矩阵，则 。5、设是3阶方阵，如果，则 。6、若，则 。7、矩阵的行最简形矩阵为 。8、设，则 是向量组的一个最大线性无关组。9、设和都是已知的阶可逆矩阵，则矩阵方程的解为 . 10、设是可逆矩阵，如果k是的一个特征值，则 一定是的特征值。11、设，则当t满足 时，矩阵可逆。12、设三元非齐次线性方程组的增广矩阵为， 则当 时，该方程组有解。13、非齐次线性方程组的通解为： 。14、若，则向量的内积 。15、已知向量组是任意实数，则线性 关。四、综合应用题（16分）设二次型，（1）求二次型的矩阵；（2）求矩阵的全部特征值及特征向量；（3）利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵；（4）判断此二次型是否是正定的。五、证明题（共14分）1、（6分）设是阶矩阵，为阶单位阵，证明是对称矩阵。2、（8分）设都是阶方阵，且，证明。提示：方阵的列向量都是齐次线性方程组的解向量。线性代数（样题一）答案一、判断题：（正确的打，不正确的打）（每小题2分，共20分）1、设A , B是两个n阶方阵，则。 （ ）2、设A是n阶方阵，若,则或。 （ ）3、在秩是的矩阵中，可能有等于0的阶子式。 （ ）4、若向量组是线性相关的，则必可由线性表示。 （ ）5、不是正交矩阵。 （ ）6、为正定二次型。 （ ）7、等价的矩阵具有相同的秩。 （ ）8、一个向量组的任意两个最大无关组等价。 （ ）9、实对称矩阵一定可以相似对角化。 （ ）10、是向量空间Rn的子空间。 （ ）二、选择题（每小题2分，共20分）1、的充分必要条件是（ C ）。(A) ；(B) ；(C) 且； (D) 或。2、若是（ B ），则必有。(A) 三角形矩阵； (B) 对称矩阵； (C)正交矩阵； (D)可逆矩阵。3、设是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组，则（ D ）(A) 只有零解时，有唯一解；(B) 有非零解时，有无穷多解；(C) 是的解时，的线性组合是的解；(D) 是的通解，是的特解时，是的通解。4、下列矩阵中，（ C ）是二次型的矩阵。(A)； (B) ； (C) ； (B) 。5、下列条件中，只有（ C ）是阶矩阵可逆的充分必要条件。(A) 的每个行向量都是非零向量；(B) 的列向量组的秩小于；(C) ；(D) 的列向量组的秩等于行向量组的秩。6、是阶正定矩阵的充分必要条件是（ D ）。(A) ； (B) 的奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正；(C) 的奇数阶主子式为正，偶数阶主子式为负； (D) 的各阶顺序主子式均为正数。7、设为矩阵，则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是（ A ）。(A) ； (B) ；(C) 的列向量组线性无关 ； (D) 。8、已知向量组的秩为3，则（ C ）。(A) 中任意三个向量线性无关； (B) 中必有任意两个向量线性无关；(C) 中至少有一个向量可以用其它三个向量线性表示；(D) 中任意一个向量都能用其它三个向量线性表示。9、设矩阵是非齐次线性方程组的增广矩阵，则下列说法正确的是（ B ）。(A) 非齐次线性方程组无解；(B) 非齐次线性方程组有无穷多个解(C) 非齐次线性方程组只有唯一解；(D) 非齐次线性方程组有零解。10、矩阵的行向量组的秩等于（ B ）。(A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4。三、填空题（每小题2分，共30分）1、若是的伴随矩阵，则 。2、已知则 （10 ） 。3、在6阶行列式中，项所带的正负号是 -1 。4、从矩阵中划去一行得到矩阵，则。5、设是3阶方阵，如果，则 8 。6、若，则。7、矩阵的行最简形矩阵为。8、设，则是向量组的一个最大线性无关组。（本题答案不是唯一的，五个列向量中的任意三个都构成一个最大无关组。）9、设和都是已知的阶可逆矩阵，则矩阵方程的解为 . 10、设是可逆矩阵，如果k是的一个特征值，则 1/k 一定是的特征值。11、设，则当t满足 t 5 时，矩阵可逆。12、设三元非齐次线性方程组的增广矩阵为， 则当 时，该方程组有解。13、非齐次线性方程组的通解为： 。14、若，则向量的内积 0 。15、已知向量组是任意实数，则线性 无 关。四、综合应用题（16分）设二次型，（1）求二次型的矩阵；（2）求矩阵的全部特征值及特征向量；（3）利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵；（4）判断此二次型是否是正定的。解：（1）二次型的矩阵。（2分）（2）故的特征值为（5分）当时，解方程，由 得齐次方程组的基础解系为 故是对应于的全部特征值向量。 （7分）当时,解方程，由 得基础解系为故是对应于的全部特征值向量。（9分）当时，解方程，由得基础解系为故是对应于的全部特征值向量（11分）（3）将分别单位化可得两两正交的单位特征向量组：令，得，用此向量组建立正交矩阵 。（13分）于是可构造正交变换： （14分）将此正交变换代入二次型中，得到的标准形为：。（15分）（4）由于的特征值是，不全都是正数，故此二次型既不是正定的。（16分）五、证明题（共14分）1、（6分）设是阶矩阵，为阶单位阵，证明是对称矩阵。证明：由于，所以， （2分） （4分）。 （5分）故是对称矩阵。 （6分）2、（8分）设都是阶方阵，且，证明。提示：方阵的列向量都是齐次线性方程组的解向量。证明：设是B的列向量组，即，（1分）由可得 这说明向量都是齐次线性方程组的解向量，（2分）从而可以由齐次线性方程组的基础解系线性表示。 （3分）已知的基础解系中含有个向量， （4分）因此根据书中定理结论知，向量组的秩不大于，（5分）而另一方面，向量组的秩等于矩阵B的秩，（6分）从而 ， （7分）故此 。 （8分）线性代数（样卷二）一、 判断题（每小题1分，共10分）：以T表示正确，以F表示错误，判断下列叙述是否正确，将答案填在括号里。（ ）1. 行列式某一行的元素与另一行的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。 （ ）2. 设A是8阶可逆方阵，则矩阵A的秩小于8。（ ）3. 若向量组a1 , a2 , a3 , a4 , a5是线性无关的，则向量组a1 , a2 , a 3也是线性无关的。（ ）4. 设，则V是向量空间。（ ）5. 非齐次线性方程组AX=b有解的充分必要条件是R(A) R(A , b)。（ ）6. 如果5阶矩阵A有5个线性无关的特征向量，则A一定与某个对角阵相似。（ ）7. 若a1 , a2 , a3 , a4 都是3 维向量，则向量组a1 , a2 , a3 , a4是线性相关的。（ ）8. 设A是4阶方阵，若 |A|=0，则齐次线性方程组AX=0只有零解。（ ）9. 设a1 , a2 , a3 , b都是3 维列向量，则向量b能由向量组a1 , a2 , a3线性表示的充分必要条件是：线性方程组有解。（ ）10. 如果实对称矩阵A的全部特征值都是正数，那么A是正定矩阵。二、 选择题（每题2分，共计20分）：每题只有一个正确答案，将你认为正确的答案填在空格里，多选扣分。1. 行列式=( )。(A) 1; (B) 0 ; (C) -1 ; (D) a+b+c+d.2. 设矩阵 矩阵X满足AX=BX+A，则X=( )。(A) ; (B) ;(C) ; (D) .3. 设矩阵,其中a0，则矩阵A的秩等于( )。(A) 0; (B) 1; (C) 2 ; (D) 4 。4. 设A是56矩阵，R(A)=4，已知B=2 A， 则R(B)= ( )。(A) 2 ; (B) 3 ； (C) 4 ; (D) 5 。5. 设n阶方阵A满足 A2 =O，则 ( )(A) E ; (B) E-A ； (C) A ; (D) E+A 。6. 已知A,B都是mn矩阵，且AB，则下面结论正确的是( )(A) |A|=|B| ; (B) R(A)=R(B) ； (C) A=B; (D)存在可逆矩阵P，使得PA=B 。7. 设A是正交矩阵，则下面结果一定成立的是 ( )。(A) |A|=1 ; (B) |A|=-1 ； (C) |A|= 0; (D) |A|= 。8. 设三阶方阵A与B相似，若A的全部特征值是1 , 2 , 3，那么B的全部特征值是( )。(A) 1 , 2 , 3 ; (B) -1 , -2 , -3 ； (C) 0 , 2 , -3，; (D) 1 , -2 , 0 。9. 设A是n阶实对称矩阵，而p1，p2是A的分别对应于两个不同特征值l 1 ，l2的特征向量，则 p1，p2 = ( )。(A) 1 ; (B) -1 ； (C) 0; (D) 10 。10. 若向量组a1 , a2 , a3 , a4 , a5线性相关，而其中a1 , a2 , a3 , a4线性无关，则向量组a1 , a2 , a3 , a4 , a5的最大线性无关组含有( )个向量。(A) 5; (B) 4 ； (C) 3; (D) 2 。三、 填空题（每题2分，共40分）：将正确的答案填在横线上。1行列式= 。2行列式= 。3 当l= 时，非齐次线性方程组 只有唯一解。4设矩阵则AB = 。5设矩阵其中a是任意实数，则 。 6设A是三阶方阵，|A|=5，A*是A的伴随矩阵，则 |A*|= 。7. 设矩阵，则分块矩阵 。8. 设矩阵，则 。9. 已知，则 是向量组的最大线性无关组。10. 设A , B都是n阶方阵，且|A|=4 , |B|=5，则 |AB|= ， 。11. 设矩阵,则矩阵A的秩等于 。12. 若A是34矩阵，E是3阶单位矩阵， B=( A E )， 则R(A) R(B) 。13. 设A是mn矩阵，P是一个n阶初等矩阵，若已知R(A)=5，B=AP ，则R(B)= 。14. 设 ，则向量组a1 , a2 , a3 , a4是线性 关的。15. 设 ，该齐次线性方程组的基础解系含有 个向量。16. 设 ，是齐次线性方程组AX=0的基础解系，则该方程组的通解为 。17. 设 ，写出该非齐次线性方程组的通解 。18. 设 ，则x与y的内积 x , y= ，x 的长度 。19. 设6是三阶矩阵A的特征值，是A的对应于特征值 l=6的特征向量，则 Ax= 。20. 当实数t满足条件 时，二次型是正定二次型。四、 综合应用题（16分）设二次型 ，（1）求二次型的矩阵；（2）求矩阵的全部特征值及特征向量；（3）利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵；五、 证明题（共14分）1、（6分）设向量组与向量组满足 证明：向量组与向量组等价。2、（8分）设A是正交矩阵，证明：A的伴随矩阵A* 也是正交矩阵。线性代数（样卷二）答案六、 判断题（每小题1分，共10分）：以T表示正确，以F表示错误，判断下列叙述是否正确，将答案填在括号里。（ T ）1. 行列式某一行的元素与另一行的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。 （ F ）2. 设A是8阶可逆方阵，则矩阵A的秩小于8。（ T ）3. 若向量组a1 , a2 , a3 , a4 , a5是线性无关的，则向量组a1 , a2 , a 3也是线性无关的。（ T ）4. 设，则V是向量空间。（ F ）5. 非齐次线性方程组AX=b有解的充分必要条件是R(A) 8 时，二次型是正定二次型。九、 综合应用题（16分）设二次型 ，（1）求