高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性课堂导学案 新人教A版必修1.doc

1.3.2 奇偶性课堂导学三点剖析一、函数的奇偶性概念【例1】 判断下列论断是否正确：(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数；(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称；(3)如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数.思路分析：通过本题的研究，深刻理解函数的奇偶性的内涵.解：（1）一个函数的定义域关于原点对称，是一个函数成为奇偶函数的必要条件，还必须要看f(-x)与-f(x)是否相等，故（1）是错误的，（2）（3）正确.二、函数奇偶性的判断【例2】 判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=+;(2)f(x)=+;(3)f(x)=;(4)f(x)=kx+b(k0);(5)f(x)=x+(a0);(6)f(x)=ax2+bx+c(a0).解：(1)由得x=1，函数定义域为x|x=1.定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数. (2)由得x2=1，函数定义域为x|x=1.f(x)=0,f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x).函数是既奇又偶函数. (3)函数定义域为x|x0且f(-x)=-f(x).f(x)为奇函数. (4)函数定义域为r，当b=0时，f(-x)=-f(x)，为奇函数；当b0时，为非奇非偶函数. (5)函数定义域为x|x0，且f(-x)=-x-=-f(x).函数为奇函数. (6)函数定义域为r，当b=0时，f(-x)=f(x)为偶函数；b0时，为非奇非偶函数.温馨提示 1.判断函数奇偶性的步骤：先看定义域是否关于原点对称；再看f(-x)与f(x)的关系，即f(-x)=f(x)或f(-x)f(x)=0. 也可以通过图象是否关于原点、y轴对称来判断. 2.若定义域关于原点对称，且f(x)=0，则函数是既奇又偶的函数. 3.一次函数y=kx+b为奇函数b=0. 4.二次函数y=ax2+bx+c为偶函数b=0.【例3】 已知函数f(x)是定义在(-,+)上的奇函数，当x0时，f(x)=x(1+),求：(1)f(-8);(2)x0,f(x)=x(1+),所求的f(-8)、x0时的f(x)最终要利用奇偶性化归为f(8)、f(-x)来表示.解：由于函数是定义在(-,+)上的奇函数，因此对于任意的x都有f(-x)=-f(x),即f(x)=-f(-x). (1)f(-8)=-f(8),f(8)=8(1+)=8(1+2)=24, f(-8)=-f(8)=-8(1+)=-8(1+2)=-24. (2)当x0,f(-x)=-x(1+)=-x(1-), f(x)=-x(1-)=x(1-).三、函数奇偶性的应用举例【例4】 已知f(x)是偶函数，而且在(0,+)上是减函数，判断f(x)在(-,0)上是增函数还是减函数，并加以证明.思路分析：利用函数奇偶性及图象特征比较容易对函数单调性进行判断，但是证明单调性必须用定义证明.解：f(x)在(-,0)上是增函数.证明如下： 设x1x2-x20, f(-x1)f(-x2). 由于f(x)是偶函数，因此f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2). f(x1)0时，则-x0, f(-x)=-x1+(-x)=-x(1-x)=-f(x), 当x0,f(-x)=-x1-(-x)=-x(1+x)=-f(x). 于是f(-x)= f(-x)=-f(x)，故f(x)是奇函数.类题演练3若f(x)是定义在(-,+)上的奇函数，且x0时，f(x)=2x(1-x),求f(x)的解析式.解析：设x0, f(x)是奇函数，f(-x)=-2x(1+x),f(x)=2x(1+x). f(0)=0,f(x)=变式提升3设函数y=f(x)是定义在r上的奇函数，当x0,f(x)=x2-2x+3,试求出f(x)在r上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出单调区间.解析：f(x)是r上的奇函数，f(0)=0. 当x0, f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+3), f(x)= 其图象如右上图所示. 由图象得单调增区间是（-,-1），1,+， 单调减区间是-1,0,(0,1).类题演练4已知f(x)是偶函数，而且f(x)在a,b上是增函数，判断f(x)在-b,-a上是增函数还是减函数，并证明.解析：减函数.证明如下：设-b,-a上任意两个自变量x1,x2，且x1-x1-x2a, f(x)在a,b上是增函数， f(-x1)f(-x2). f(x)是偶函数， f(x1)f(x2),f(x)在-b,-a上是减函数.变式提升4若f(x)是r上的偶函数，且在0,+上是减函数，求满足f()f(m)的实数m的取值范围.解析：f()f(m)f()|m|,-m.类题演练5（2006全国文，13）已知函数f(x)=a-,若f(x)为奇函数，则a=_.解析:由奇函数的定义：f(-x)=-f(x)，解a-=-(a-),得a=.答案:变式提升5已知奇函数y=f(x)在(0,+)上是增函数,且f(x)0,试问f(x)=在(-,0)上是增函数还是减函数?证明你的结论.解：减函数.证明如下: 任取x1,x2(-,0),且x1-x20, y=f(x)在(0,+)上是增函数,且f(x)0, f(-x2)f(-