高中数学 第一章 集合 第2节 集合的基本关系基础知识素材 北师大版必修1.doc

2 集合的基本关系1理解子集的概念，并能写出给定集合的子集、真子集2熟记集合相等的定义，能判定给定集合间的关系3会用venn图表示或判断集合间的关系1venn图(1)定义：在数学中，为了直观地表示集合间的关系，我们常用封闭曲线的_表示集合，称为venn图(2)使用方法：把_写在封闭曲线的内部 常把封闭曲线画成椭圆或矩形等图形2子集(1)一般地，对于两个集合a与b，如果集合a中的任何一个元素都是集合b中的_，即若aa，则ab，我们就说集合a_集合b，或集合b包含集合a，这时我们说集合a是集合b的子集，记作a_b(或ba)，读作“a包含于b”(或“b包含a”)(2)当ab时，用venn图表示，如图，图所示(3)规定：空集是任何集合的_，即a. 子集性质：任何一个集合都是它本身的子集，即aa；对于集合a，b，c，如果ab，bc，那么ac.【做一做1】列举出集合1,2,3的所有子集3集合相等(1)定义1：只要构成两个集合的_是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等. (2)定义2：如果集合a中的任何一个元素都是集合b中的元素，即_，且集合b中的任何一个元素都是集合a中的元素，即_，那么就说集合a与集合b相等，记作ab.(3)图示：当ab时，用venn图表示，如图所示【做一做2】 试确定整数x，y，使得2x，xy7,44真子集(1)定义：如果集合ab，且_，我们就说集合a是集合b的真子集，记作ab(或ba)(2)图示：当ab时，用venn图表示，如图所示(3)当集合a不包含于集合b，或集合b不包含集合a时，记作ab(或ba) 空集是任何非空集合的真子集，即a(a)当ab时，ab或ab.【做一做3】 下列说法正确的是( )a任何一个集合必有两个或两个以上的子集b任何一个集合必有一个真子集c任何集合都有子集d空集不是空集的子集答案：1(1)内部(2)元素2(1)元素包含于(3)子集【做一做1】 解：集合1,2,3的所有子集为，1，2，3，1,2，1,3，2,3，1,2,3，共8个3(1)元素(2)abba【做一做2】 解：由集合相等的定义，得或解得或又x，y是整数，故4(1)ab【做一做3】 c此题主要考查对子集、真子集概念的理解以及空集的有关问题，注意以下几个结论：任何非空集合既有子集又有真子集，而空集只有子集(空集本身)，没有真子集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集故a，b，d是错误的，应选c.1如何理解子集的概念？剖析：(1)“a是b的子集”的含义是：集合a中的任何一个元素都是集合b中的元素，即由任意xa能推出xb.(2)不能把“ab”理解成“a是b中部分元素组成的集合”，因为当a时，ab，但a中不含任何元素；又当ab时，也有ab，但a中含有b中的所有元素，这两种情况都使ab成立2符号和有什么区别？剖析：符号只能适用于元素与集合之间，符号的左边只能写元素，右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如1z，r；符号只能适用于集合与集合之间，其左右两边都必须写集合，说明左边的集合是右边集合的子集，左边集合的元素均属于右边的集合，如11,0，x|x2x|x3题型一 确定集合的子集、真子集【例1】 设ax|(x216)(x25x4)0，写出集合a的子集，并指出其中哪些是它的真子集分析：要确定集合a的子集、真子集，首先必须清楚集合a中的元素由于集合a中的元素是方程(x216)(x25x4)0的根，所以要先解该方程反思：(1)求集合的子集问题时，一般可以按照集合的元素个数进行分类，再依次找出每类中符合要求的集合(2)解决这类问题时，还要注意两个比较特殊的集合，即和集合自身(3)集合的子集、真子集个数的规律为：含有n个元素的集合有2n个子集，有(2n1)个真子集，有(2n2)个非空真子集题型二 集合的相等【例2】 已知集合a，bx2,0，若ab，则x2 009y2 010_，ab_.反思：解决此类问题的步骤：(1)利用集合相等的条件，建立方程或方程组，求得参数(2)把所得数值依次代入集合验证，若满足元素的三个特性，则所求是可行的，否则应舍去题型三 判断集合间的关系【例3】 设集合m，n，则( )amn bmn cmn dmn反思：判断两个集合间的关系时，主要是根据这两个集合中元素的特征，结合有关定义来判断对于用列举法表示的集合，只需要观察其元素即可得它们之间的关系；对于用描述法表示的集合，要从所含元素的特征来分析，分析之前可以用列举法多取几个元素来估计它们之间可能有什么关系，然后再加以证明题型四 已知两集合之间的关系，求参数的范围【例4】 设集合ax|1x6，bx|m1x2m1，已知ba.求实数m的取值范围分析：由ba可得集合b或b中的任何一个元素都在集合a中，可借助数轴解决反思：已知两集合之间的关系求参数的值时，要明确集合中的元素，通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，转化为解方程或解不等式本题中，集合b可能为易被忽视，要注意这一“陷阱”，ba表明集合b的元素都是集合a的元素，其中包含b.题型五 易错辨析易错点 忽略空集致错【例5】 已知集合px|x2x60，qx|mx10，若qp，则实数m_.错解：由px|x2x60，得p3,2；由qx|mx10，得q.qp，3或2，解得m或m.则实数m的值可取或.错因分析：当集合q，即m0时，显然也满足qp，错解中少了对这种情况的讨论答案：【例1】 解：将方程(x216)(x25x4)0因式分解得(x4)(x1)(x4)20，则可得方程的根为x4或x1或x4.故集合a4，1,4，其子集为，4，1，4，4，1，4,4，1,4，4,1,4，真子集为，4，1，4，4，1，4,4，1,4【例2】 11,0根据集合相等的定义知x0或0.当x0时，无意义，所以只能0，得y0，代入a，b得ax,0，bx2,0又ab，x2x.x0或x1.当x0时，不合题意，舍去当x1时，a1,0，b1,0ab，符合题意x2 009y2 010(1)2 00902 0101.【例3】 bm中，x，n中，x，由于kz，m中的x表示的奇数倍，n中的x表示的整数倍mn.【例4】 解：当m12m1，即m2时，b，符合题意当m12m1，即m2时，b.由ba，借助数轴表示如图所示则解得0m.综上所述，m2或0m.【例5】 正解：由px|x2x60，得p3,2当m0时，方程mx10无解，此时集合q，满足题意；当m0时，方程mx10的解为x，此时集合q.qp，3或2，解得m或m.综上所述，实数m的值为0或或.1 下列关系中正确的个数为( )00；0；0,1(0,1)；(a，b)(b，a)a1 b2 c3 d42 集合ax|0x3且xn的真子集的个数是( )a16 b8 c7 d43 已知集合axr|2x4，bx|x50，则a与b之间的关系为( )aab bab cab d不确定4 已知集合m8,1,9，集合n1，m1，若nm，则实数m_.5 已知m0,2，b，n0,2，b2，且mn，求实数b的值答案：1b正确，错误2c由题意知，a0,1,2，故a的真子集的个数是2317.3a为便于考察a，