河南省南阳市方城一中高二数学下学期第一次月考试卷 理（含解析）.doc

2014-2015学年河南省南阳市方城一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一.选择题1设定义在（a，b）上的可导函数f（x）的导函数y=f（x）的图象如图所示，则f（x）的极值点的个数为（） a 1 b 2 c 3 d 42函数y=x3x2+5在x=1处的切线倾斜角为（） a b c d 3若f（x0）=3，则=（） a 3 b 12 c 9 d 64函数f（x）=2x33x2+a的极大值为6，那么a的值是（） a 5 b 0 c 6 d 15要使成立，a、b 应满足的条件是（） a ab0且ab b ab0且ab c ab0且ab d ab0且ab或ab0且ab6用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（） a 假设a，b，c不都是偶数 b 假设a，b，c都不是偶数 c 假设a，b，c至多有一个是偶数 d 假设a，b，c至多有两个是偶数7e|x|dx=（） a 2e22 b 2e2 c e2e2 d e2+e228曲线f（x）=x3+x2在p0处的切线平行于直线y=4x1，则p0点的坐标为（） a （1，0） b （2，8） c （2，8）和（1，4） d （1，0）和（1，4）9设f（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（） a b c d 10函数f（x）=2x39x2+12xa恰有两个不同的零点，则a可以是（） a 3 b 4 c 6 d 711在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式如：设a，b是非零实数，且满足=tan，则=（） a 4 b c 2 d 12设f（x）是定义在r上的偶函数，当x0时，f（x）+xf（x）0且f（4）=0，则不等式xf（x）0的解集为（） a （4，0）（4，+） b （4，0）（0，4） c （，4）（4，+） d （，4）（0，4）二、填空题（每空5分，共20分）13黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第4个图案中有白色地面砖块14在abc中，ac=1，bc=，a=60，则c=15要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高为16下列命题中假命题的序号是x=0是函数y=x3的极值点；函数f（x）=x3ax2+3ax+1有极值的必要不充分条件是a2013；奇函数f（x）=mx3+（m1）x2+48（m2）x+n在区间（4，4）上是单调减函数；若双曲线的渐近线方程为，则其离心率为2三、解答题（70分）17（10分）（2013山东模拟）求垂直于直线2x6y+1=0并且与曲线y=x3+3x25相切的直线方程18（12分）（2015春方城县校级月考）已知数列an的第一项a1=5，且sn1=an（n2 nn+）（1）求a2、a3、a4并由此猜想an的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）的结论19（12分）（2014碑林区校级一模）已知函数f（x）=（ar）（）求函数f（x）的单调区间和极值；（）当a=1，且x1时，证明：f（x）120（12分）（2015唐山一模）已知圆o：x2+y2=4，点a（，0），以线段ab为直径的圆内切于圆o，记点b的轨迹为（）求曲线的方程；（）直线ab交圆o于c，d两点，当b为cd的中点时，求直线ab的方程21（12分）（2015春高唐县校级期末）在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？22（12分）（2015春方城县校级月考）已知f（x）=mlnx （mr）（1）若函数f（x）在（，+）上单调递增，求实数m的取值范围；（2）当m=2时，求函数f（x）在1，e上的最大，最小值；（3）求f（x）的单调区间2014-2015学年河南省南阳市方城一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题1设定义在（a，b）上的可导函数f（x）的导函数y=f（x）的图象如图所示，则f（x）的极值点的个数为（） a 1 b 2 c 3 d 4考点： 函数在某点取得极值的条件 专题： 数形结合分析： 导数的正负与函数单调性的关系是：导数小于0则函数是减函数，导数大于0则函数是增函数，进而可以分析出正确答案解答： 解：根据导数与函数单调性的关系可得函数f（x）在区间（a，b）上的单调性为：增，减，增，减，结合函数的单调性可得函数有3个极值点故选c点评： 解决此类问题的关键是准确理解导数的符号与原函数单调性之间的关系，导数小于0则函数是减函数，导数大于0则函数是增函数，进而可以分析出正确答案2函数y=x3x2+5在x=1处的切线倾斜角为（） a b c d 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题： 计算题；导数的概念及应用分析： 求导数，x=1时，y=1，即可求出函数y=x3x2+5在x=1处的切线倾斜角解答： 解：y=x3x2+5，y=x22x，x=1时，y=1，函数y=x3x2+5在x=1处的切线倾斜角为，故选：d点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何运用，比较基础3若f（x0）=3，则=（） a 3 b 12 c 9 d 6考点： 导数的运算 专题： 导数的概念及应用分析： 根据=4=4（ ）=4f（x0），利用条件求得结果解答： 解：f（x0）=3，则 =4=4（ ）=4f（x0）=4（3）=12，故选：b点评： 本题主要考查函数在某一点的导数的定义，属于基础题4函数f（x）=2x33x2+a的极大值为6，那么a的值是（） a 5 b 0 c 6 d 1考点： 函数在某点取得极值的条件 专题： 计算题分析： 令f（x）=0，可得 x=0 或 x=6，根据导数在 x=0和 x=6两侧的符号，判断故f（0）为极大值，从而得到 f（0）=a=6解答： 解：函数f（x）=2x33x2+a，导数f（x）=6x26x，令f（x）=0，可得 x=0 或 x=1，导数在 x=0 的左侧大于0，右侧小于0，故f（0）为极大值f（0）=a=6导数在 x=1 的左侧小于0，右侧大于0，故f（1）为极小值 故选：c点评： 本题考查函数在某点取得极值的条件，判断f（0）为极大值，f（6）为极小值，是解题的关键5要使成立，a、b 应满足的条件是（） a ab0且ab b ab0且ab c ab0且ab d ab0且ab或ab0且ab考点： 不等式比较大小 专题： 计算题分析： 本题即寻找使成立的充分条件，分析可得只要 ab（ab）0，即ab 与ab 同号即可解答： 解：要使成立，只要 ab+33ab，只要 ，只要 ab2a2b，即只要 ab（ab）0故只要 ab0且ab，或ab0且ab，故选d点评： 本题考查不等式比较大小的方法，用分析法证明不等式，是一道基础题6用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（） a 假设a，b，c不都是偶数 b 假设a，b，c都不是偶数 c 假设a，b，c至多有一个是偶数 d 假设a，b，c至多有两个是偶数考点： 反证法与放缩法 专题： 证明题；反证法分析： 本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可解答： 解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：b点评： 一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”7e|x|dx=（） a 2e22 b 2e2 c e2e2 d e2+e22考点： 定积分 专题： 导数的概念及应用分析： 求出被积函数的导函数，然后分别代入积分上限和积分下限后作差得答案解答： 解：e|x|dx=e0（e2）+e2e0=2e22故选：a点评： 本题考查了定积分，关键是求出被积函数的导函数，是基础题8曲线f（x）=x3+x2在p0处的切线平行于直线y=4x1，则p0点的坐标为（） a （1，0） b （2，8） c （2，8）和（1，4） d （1，0）和（1，4）考点： 导数的几何意义 分析： 先设切点坐标，然后对f（x）进行求导，根据导数的几何意义可求出切点的横坐标，代入到f（x）即可得到答案解答： 解：设切点为p0（a，b），f（x）=3x2+1，k=f（a）=3a2+1=4，a=1，把a=1，代入到f（x）=x3+x2得b=4；把a=1，代入到f（x）=x3+x2得b=0，所以p0（1，0）和（1，4）故选d点评： 本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率9设f（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（） a b c d 考点： 利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义 专题： 压轴题分析： 本题可以考虑排除法，容易看出选项d不正确，因为d的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数解答： 解析：检验易知a、b、c均适合，不存在选项d的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选d点评： 考查函数的单调性问题10函数f（x）=2x39x2+12xa恰有两个不同的零点，则a可以是（） a 3 b 4 c 6 d 7考点： 函数零点的判定定理 专题： 函数的性质及应用分析： 由条件利用导数求得函数的极值，再结合三次函数的图象特征求得函数f（x）的零点有2个时a的值，从而得出结论解答： 解：f（x）=2x39x2+12xa，f（x）=6x218x+12=6（x1）（x2），令f（x）=0，求得x=1，或 x=2在（，1）上，f（x）0，f（x）单调递增；在（1，2）上，f（x）0，f（x）单调递减；在（2，+）上，f（x）0，f（x）单调递增故f（1）=5a为函数f（x）的极大值；f（2）=4a为函数f（x）的极小值，故当a=4，或a=5时，函数f（x）的零点有2个，故选：b点评： 本题主要考查利用导数求函数的极值，函数的零点，三次函数的图象特征，属于中档题11在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式如：设a，b是非零实数，且满足=tan，则=（） a 4 b c 2 d 考点： 类比推理 专题： 计算题；三角函数的求值分析： 先把已知条件转化为tan=tan（+），利用正切函数的周期性求出，即可求得结论解答： 解：因为tan=tan（+），且tan=+=k+，=k+，tan=tan（k+）=故选：d点评： 本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查12设f（x）是定义在r上的偶函数，当x0时，f（x）+xf（x）0且f（4）=0，则不等式xf（x）0的解集为（） a （4，0）（4，+） b （4，0）（0，4） c （，4）（4，+） d （，4）（0，4）考点： 抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合；导数的乘法与除法法则 专题： 计算题分析： 由题意构造函数g（x）=xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，由函数f（x）的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性，由f（4）=0得g（4）=0、还有g（4）=0，再通过奇偶性进行转化，利用单调性求出不等式得解集解答： 解：设g（x）=xf（x），则g（x）=xf（x）=xf（x）+xf（x）=xf（x）+f（x）0，函数g（x）在区间（，0）上是减函数，f（x）是定义在r上的偶函数，g（x）=xf（x）是r上的奇函数，函数g（x）在区间（0，+）上是减函数，f（4）=0，f（4）=0；即g（4）=0，g（4）=0xf（x）0化为g（x）0，设x0，故不等式为g（x）g（4），即0x4设x0，故不等式为g（x）g（4），即x4故所求的解集为（，4）（0，4）故选d点评： 本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，注意函数值为零的自变量的取值二、填空题（每空5分，共20分）13黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第4个图案中有白色地面砖18块考点： 归纳推理；等差数列的通项公式 专题： 规律型；等差数列与等比数列分析： 通过已知的几个图案找出规律，可转化为求一个等差数列的通项公式问题即可解答： 解：第1个图案中有白色地面砖6块；第2个图案中有白色地面砖10块；第3个图案中有白色地面砖14块；设第n个图案中有白色地面砖n块，用数列an表示，则a1=6，a2=10，a3=14，可知a2a1=a3a2=4，可知数列an是以6为首项，4为公差的等差数列，an=6+4（n1）=4n+2当n=4时，a4=18，故答案为：18点评： 由已知的几个图案找出规律转化为求一个等差数列的通项公式是解题的关键14在abc中，ac=1，bc=，a=60，则c=90考点： 正弦定理的应用 专题： 计算题；解三角形分析： 运用正弦定理，求得角b，再由内角和定理，可得角c解答： 解：由正弦定理，得=，即为sinb=，则b=30或150，若b=30，则c=1806030=90；若b=150，则b+a180不成立故答案为：90点评： 本题考查正弦定理及应用，考查三角形内角和定理，考查运算能力，属于基础题15要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高为cm考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积 专题： 空间位置关系与距离分析： 设出圆锥的高，求出底面半径，推出体积的表达式，利用导数求出体积的最大值时的高即可解答： 解析：设圆锥的高为h cm，v圆锥=（400h2）h，v（h）=（4003h2）令v（h）=0，得h2=，h=（cm）当0h时，v0；当h20时，v0，当h=时，v取最大值故答案为： cm点评： 本题考查旋转体问题，以及利用导数求函数的最值问题，考查计算能力，是中档题16下列命题中假命题的序号是x=0是函数y=x3的极值点；函数f（x）=x3ax2+3ax+1有极值的必要不充分条件是a2013；奇函数f（x）=mx3+（m1）x2+48（m2）x+n在区间（4，4）上是单调减函数；若双曲线的渐近线方程为，则其离心率为2考点： 命题的真假判断与应用 专题： 函数的性质及应用；导数的概念及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 根据3次幂函数的图象和性质，可判断；求出函数f（x）=x3ax2+3ax+1有极值的充要条件，可判断；根据函数f（x）=mx3+（m1）x2+48（m2）x+n是奇函数，求出函数的解析式，进而分析其在区间（4，4）上的单调性，可判断；根据双曲线的渐近线方程，求出双曲线的离心率，可判断解答： 解：函数y=x3在r上为增函数，不存在极值点，故错误；函数f（x）=x3ax2+3ax+1有极值f（x）=3x22ax+3a=0有两个不等的实数根=4a236a0a0，或a9，故a2013是函数f（x）=x3ax2+3ax+1有极值的充分不必要条件，故错误；奇函数f（x）=mx3+（m1）x2+48（m2）x+n满足m1=n=0，即f（x）=x348x，由f（x）=3x248得，当x（4，4）时，f（x）0恒成立，则函数f（x）为减函数，故正确；若双曲线的渐近线方程为若双曲线的焦点在x轴上，则离心率e=2； 若双曲线的焦点在y轴上，则离心率e=，故错误；故假命题的序号为：故答案为：点评： 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档三、解答题（70分）17（10分）（2013山东模拟）求垂直于直线2x6y+1=0并且与曲线y=x3+3x25相切的直线方程考点： 直线的点斜式方程 专题： 常规题型分析： 先设出切点（a，b），求出与直线2x6y+1=0垂直的直线斜率k，再求出曲线y=x3+3x25的导函数在切点处的函数值y（a），由y（a）即可求得答案解答： 解：设切点为p（a，b），函数y=x3+3x25的导数为y=3x2+6x，又与2x6y+1=0垂直的直线斜率为3，切线的斜率k=y=3a2+6a=3，解得a=1，代入到y=x3+3x25，得b=3，即p（1，3），故切线的方程为y+3=3（x+1），即3x+y+6=0点评： 此题主要考查曲线的切线方向与直线斜率之间的关系，比较简单18（12分）（2015春方城县校级月考）已知数列an的第一项a1=5，且sn1=an（n2 nn+）（1）求a2、a3、a4并由此猜想an的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）的结论考点： 数学归纳法；归纳推理 专题： 点列、递归数列与数学归纳法分析： （1）利用sn1=an，代入计算，可得结论，猜想an=52n2（n2，nn*）（2）用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立解答： 解：（1）当n=2时，s1=a1=a2=5，当n=3时，a3=a1+a2=10，当n=4时，a4=a1+a2+a3=20，猜想an=52n2（n2，nn*）（2）证明：当n=2时，a2=5222=5，猜想成立，假设n=k时成立，即ak=52k2（k2，kn*），那么当n=k+1时，ak+1=sk=a1+a2+a3+a4+ak=5+5+10+52k2=5+=52k1，故n=k+1时猜想成立，由可知对n2，nn*，an=52n2，an=点评： 此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而得证，这是数列的通项一种常用求解的方法19（12分）（2014碑林区校级一模）已知函数f（x）=（ar）（）求函数f（x）的单调区间和极值；（）当a=1，且x1时，证明：f（x）1考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 专题： 导数的综合应用分析： （）利用导函数的正负性，求函数的单调区间和极值；（）构造函数，利用最值即可证明不等式解答： 解：（）函数f（x）的定义域为x|x0，所以令f（x）=0，得x=e1a当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x （0，e1a） e1a （e1a，+）f（x） + 0 f（x） 单调递增 极大值 单调递减（5分）由表可知：f（x）的单调递增区间是（0，e1a），单调递减区间是（e1a，+）所以f（x）在x=e1a处取得极大值，（）当a=1，令，（x1），0，g（x）在1，+）上单调递减，g（x）g（1）=0，即f（x）1点评： 本题考查的是导数的应用，导数作为一门工具，常用来判断函数的单调性和求函数的极值，也是高考常的题型20（12分）（2015唐山一模）已知圆o：x2+y2=4，点a（，0），以线段ab为直径的圆内切于圆o，记点b的轨迹为（）求曲线的方程；（）直线ab交圆o于c，d两点，当b为cd的中点时，求直线ab的方程考点： 轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （）设ab的中点为m，切点为n，连om，mn，通过|om|+|mn|=|on|=2，推出|om|+|mn|=4说明点b的轨迹是以a，a为焦点，长轴长为4的椭圆然后求解曲线的方程（）推出obcd，设b（x0，y0），然后利用直线与椭圆方程联立求出b的坐标，即可求解直线ab的方程解答： 解：（）设ab的中点为m，切点为n，连om，mn，则|om|+|mn|=|on|=2，取a关于y轴的对称点a，连ab，故|ab|+|ab|=2（|om|+|mn|）=4所以点b的轨迹是以a，a为焦点，长轴长为4的椭圆其中，a=2，c=，b=1，则曲线的方程为+y2=1 （）因为b为cd的中点，所以obcd，则设b（x0，y0），则x0（x0）+y=0 又+y=1 解得x0=，y0=则kob=，kab=，则直线ab的方程为y=（x），即xy=0或x+y=0点评： 本题考查轨迹方程的求法，判断轨迹的椭圆简化解题的过程，考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力21（12分）（2015春高唐县校级期末）在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？考点： 函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用 专题： 计算题分析： 先设