1.2-1.3函数及其表示和性质.doc

1.2-1.3函数表示及其性质组卷一选择题1（2015漳浦县校级模拟）函数f（x）=的定义域为（）A1，2）（2，+） B（1，+） C1，2） D1，+）2（2015湘西州校级一模）下列四个函数中，与y=x表示同一函数的是（）Ay=（）2 By= Cy= Dy=3（2015济宁校级模拟）已知函数f（x）的定义域为（1，0），则函数f（2x1）的定义域为（）A（1，1） B（0，） C（1，0） D（，1）4已知函数f（x）=则f（f（5）=（）A0 B2 C1 D15（2011浙江）设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=（）A4或2 B4或2 C2或4 D2或26（2016北京）已知函数，关于f（x）的性质，有以下四个推断：f（x）的定义域是（，+）； f（x）的值域是；f（x）是奇函数； f（x）是区间（0，2）上的增函数其中推断正确的个数是（）A1 B2 C3 D47（2015广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）Ay= By=x+ Cy=2x+ Dy=x+ex8设f（x）为奇函数，且在（，0）内是减函数，f（2）=0，则xf（x）0的解集为（）A（1，0）（2，+） B（，2）（0，2）C（，2）（2，+） D（2，0）（0，2二填空题1（2016江苏）函数y=的定义域是2（2015宝山区二模）函数y=2x+的值域为3若函数y=的定义域为R，则实数m的取值范围是4（2015衡阳县校级三模）已知函数，若f（x）为奇函数，则a=三解答题1（2015湘西州校级一模）已知函数（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；（2）确定a的值，使f（x）为奇函数；（3）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域 2（2013广东模拟）函数（）判断并证明函数的奇偶性；（）若a=2，证明函数f（x）在（2，+）上单调递增；（）在满足（）的条件下，解不等式f（t2+2）+f（2t2+4t5）03已知函数f（x）的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），且当x1时f（x）0，f（2）=1（1）求证：f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，+）上是增函数；（3）解不等式f（2x21）24设f（x）的定义域为（0，+），对于任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且当x1时，（1）求f（2）的值；（2）求证：f（x）在（0，+）上是增函数；（3）解关于x的不等式18（2015春重庆期末）已知函数f（x）=x2+mx+n（m，nR），f（0）=f（1），且方程x=f（x）有两个相等的实数根（）求函数f（x）的解析式；（）当x0，3时，求函数f（x）的值域19已知函数f（x）=x2+2ax+3，x4，6（1）当a=2时，求f（x）的最值（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间4，6上是单调函数（3）当a=1时，求f（|x|）的单调区间21（2015重庆校级模拟）定义在非零实数集上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）是区间（0，+）上的递增函数（1）求f（1），f（1）的值；（2）求证：f（x）=f（x）；（3）解关于x的不等式：24已知函数（1）用定义证明f（x）在R上单调递增；（2）若f（x）是R上的奇函数，求m的值；（3）若f（x）的值域为D，且D3，1，求m的取值范围2016年09月10高中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1（2015漳浦县校级模拟）函数f（x）=的定义域为（）A1，2）（2，+）B（1，+）C1，2）D1，+）【分析】利用分式分母不为零，偶次方根非负，得到不等式组，求解即可【解答】解：由题意 解得x1，2）（2，+）故选A【点评】本题是基础题，考查函数定义域的求法，注意分母不为零，偶次方根非负，是解题的关键2（2015南宁一模）f（x）=x22x，g（x）=ax+2（a0），若对任意的x11，2，存在x01，2，使g（x1）=f（x0），则a的取值范围是（）ABC3，+）D（0，3【分析】先求出两个函数在1，2上的值域分别为A、B，再根据对任意的x11，2，存在x01，2，使g（x1）=f（x0），集合B是集合A的子集，并列出不等式，解此不等式组即可求得实数a的取值范围，注意条件a0【解答】解：设f（x）=x22x，g（x）=ax+2（a0），在1，2上的值域分别为A、B，由题意可知：A=1，3，B=a+2，2a+2a又a0，0a故选：A【点评】此题是个中档题考查函数的值域，难点是题意的理解与转化，体现了转化的思想同时也考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，3（2015湘西州校级一模）下列四个函数中，与y=x表示同一函数的是（）Ay=（）2By=Cy=Dy=【分析】逐一检验各个选项中的函数与已知的函数是否具有相同的定义域、值域、对应关系，只有这三者完全相同时，两个函数才是同一个函数【解答】解：选项A中的函数的定义域与已知函数不同，故排除选项A；选项B中的函数与已知函数具有相同的定义域、值域和对应关系，故是同一个函数，故选项B满足条件；选项C中的函数与已知函数的值域不同，故不是同一个函数，故排除选项C；选项D中的函数与已知函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除选项D；故选 B【点评】本题考查函数的三要素：定义域、值域、对应关系两个函数只有当定义域、值域、对应关系完全相同时，才是同一个函数4（2015济宁校级模拟）已知函数f（x）的定义域为（1，0），则函数f（2x1）的定义域为（）A（1，1）B（0，）C（1，0）D（，1）【分析】原函数的定义域，即为2x1的范围，解不等式组即可得解【解答】解：原函数的定义域为（1，0），12x10，即，解得0x函数f（2x1）的定义域为（0，）故选B【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题5（2015潮南区模拟）已知函数f（x）=则f（f（5）=（）A0B2C1D1【分析】分段函数是指在定义域的不同阶段上对应法则不同，因此分段函数求函数值时，一定要看清楚自变量所处阶段，例如本题中，5x|x0，而f（5）=2x|x0，分别代入不同的对应法则求值即可得结果【解答】解：因为50，代入函数解析式f（x）=得f（5）=35=2，所以f（f（5）=f（2），因为20，代入函数解析式f（x）=得f（2）=（2）2+4（2）+3=1故选C【点评】本题考查了分段函数的定义，求分段函数函数值的方法，解题时要认真细致，准确运算6（2011浙江）设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=（）A4或2B4或2C2或4D2或2【分析】分段函数分段处理，我们利用分类讨论的方法，分a0与a0两种情况，根据各段上函数的解析式，分别构造关于a的方程，解方程即可求出满足条件 的a值【解答】解：当a0时若f（a）=4，则a=4，解得a=4当a0时若f（a）=4，则a2=4，解得a=2或a=2（舍去）故实数a=4或a=2故选B【点评】本题考查的知识点是分段函数，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者7（2016北京）已知函数，关于f（x）的性质，有以下四个推断：f（x）的定义域是（，+）； f（x）的值域是；f（x）是奇函数； f（x）是区间（0，2）上的增函数其中推断正确的个数是（）A1B2C3D4【分析】根据f（x）的表达式求出其定义域，判断正确；根据基本不等式的性质求出f（x）的值域，判断正确；根据奇偶性的定义，判断正确；根据函数的单调性，判断错误【解答】解：函数，f（x）的定义域是（，+），故正确；f（x）=，x0时：f（x），x0时：f（x），故f（x）的值域是，故正确；f（x）=f（x），f（x）是奇函数，故正确；由f（x）=，令f（x）0，解得：1x1，令f（x）0，解得：x1或x1，f（x）在区间（0，2）上先增后减，故错误；故选：C【点评】本题考察了函数的定义域、值域问题，考察函数的奇偶性和单调性，是一道中档题8（2016衡水模拟）已知f（x21）定义域为0，3，则f（2x1）的定义域为（）A（0，）B0，C（，）D（，【分析】根据f（x21）的定义域得出x的取值范围，从而求出f（x）的取值范围，再求f（2x1）的定义域即可【解答】解：根据f（x21）定义域为0，3，得x0，3，x20，9，x211，8；令2x11，8，得2x0，9，即x0，；所以f（2x1）的定义域为0，故选：B【点评】本题考查了求函数定义域的应用问题，解题时应注意：一般题目中的定义域是指自变量的取值范围，是基础题目9（2015广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）Ay=By=x+Cy=2x+Dy=x+ex【分析】直接利用函数的奇偶性判断选项即可【解答】解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y=2x+是偶函数，所以C不正确；对于D，不满足f（x）=f（x）也不满足f（x）=f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，基本知识的考查10（2015湖北模拟）设f（x）为奇函数，且在（，0）内是减函数，f（2）=0，则xf（x）0的解集为（）A（1，0）（2，+）B（，2）（0，2）C（，2）（2，+）D（2，0）（0，2【分析】根据函数的奇偶性求出f（2）=0，x f（x）0分成两类，分别利用函数的单调性进行求解【解答】解：f（x）为奇函数，且在（，0）内是减函数，f（2）=0，f（2）=f（2）=0，在（0，+）内是减函数x f（x）0则或根据在（，0）内是减函数，在（0，+）内是减函数解得：x（，2）（2，+）故选C【点评】本题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识，属于基础题二填空题（共6小题）11（2016江苏）函数y=的定义域是3，1【分析】根据被开方数不小于0，构造不等式，解得答案【解答】解：由32xx20得：x2+2x30，解得：x3，1，故答案为：3，1【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题12（2015宝山区二模）函数y=2x+的值域为1，+）【分析】由题意知2x10，从而得2x+1【解答】解：由题意，2x10，故2x+1；即函数y=2x+的值域为1，+）；故答案为：1，+）【点评】本题考查了函数的值域的求法，属于基础题13（2010江苏）已知函数，则满足不等式f（1x2）f（2x）的x的范围是（1，1）【分析】由题意f（x）在0，+）上是增函数，而x0时，f（x）=1，故满足不等式f（1x2）f（2x）的x需满足，解出x即可【解答】解：由题意，可得故答案为：【点评】本题考查分段函数的单调性，利用单调性解不等式，考查利用所学知识分析问题解决问题的能力14（2015张家港市校级模拟）若函数y=的定义域为R，则实数m的取值范围是0，12）【分析】根据函数成立的条件，即可求出结论【解答】解：y=的定义域为R，不等式mx2+mx+30，若m=0，则30成立，若m0，则等价为判别式=m212m0，解得0m12，综上0m12，故答案为：0，12）【点评】本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件以及一元二次不等式的求解15（2015衡阳县校级三模）已知函数，若f（x）为奇函数，则a=【分析】因为f（x）为奇函数，而在x=0时，f（x）有意义，利用f（0）=0建立方程，求出参数a的值【解答】解：函数若f（x）为奇函数，则f（0）=0，即，a=故答案为【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用，当x=0时有意义，利用f（0）=0进行求解来得方便16（2014新课标II）已知偶函数f（x）在0，+）单调递减，f（2）=0，若f（x1）0，则x的取值范围是（1，3）【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x1|）f（2），即可得到结论【解答】解：偶函数f（x）在0，+）单调递减，f（2）=0，不等式f（x1）0等价为f（x1）f（2），即f（|x1|）f（2），|x1|2，解得1x3，故答案为：（1，3）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x1|）f（2）是解决本题的关键三解答题（共9小题）17（2015杨浦区一模）已知函数是奇函数（a，b，c为常数）（1）求实数c的值；（2）若a，bN*，且f（1）=2，f（2）3，求f（x）的解析式；（3）对于（2）中的f（x），若f（x）=m有正数解，求实数m的取值范围【分析】（1）由题意得+=0恒成立，从而解得；（2）由题意得f（1）=2，f（2）=3；从而解得；（3）由题意得=m有正数解，从而解得【解答】解：（1）函数是奇函数，f（x）+f（x）=0，即+=0，解得，c=0；（2）由题意，f（1）=2，f（2）=3；又若a，bN*，解得，a=1，b=1；故f（x）=；（3）由题意，=m有正数解，而2，故m2【点评】本题考查了函数的性质应用，同时考查了基本不等式的应用，属于基础题18（2015春重庆期末）已知函数f（x）=x2+mx+n（m，nR），f（0）=f（1），且方程x=f（x）有两个相等的实数根（）求函数f（x）的解析式；（）当x0，3时，求函数f（x）的值域【分析】（）根据f（0）=f（1），求出m的值，再根据方程x=f（x）有两个相等的实数根，得到判别式=0，求出n的值，从而求出函数的解析式；（）根据二次函数的性质，求出其对称轴，得到函数的单调区间，从而求出函数的值域【解答】解：（）f（x）=x2+mx+n，且f（0）=f（1），n=1+m+n（1分）m=1（2分）f（x）=x2x+n（3分）方程x=f（x）有两个相等的实数根，方程x=x2x+n有两个相等的实数根即方程x22x+n=0有两个相等的实数根（4分）（2）24n=0（5分）n=1（6分）f（x）=x2x+1（7分）（）由（），知f（x）=x2x+1此函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线（8分）当时，f（x）有最小值（9分）而，f（0）=1，f（3）=323+1=7（11分）当x0，3时，函数f（x）的值域是（12分）【点评】本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的单调性、值域问题，是一道基础题19（2015新郑市校级一模）已知函数f（x）=x2+2ax+3，x4，6（1）当a=2时，求f（x）的最值（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间4，6上是单调函数（3）当a=1时，求f（|x|）的单调区间【分析】（1）a=2时，表示出f（x），判断f（x）的单调性，由单调性即可求得最值；（2）根据二次函数的图象特征，使图象的对称轴在区间4，6的外边即可；（3）作出f（|x|）的图象，根据图象即可求得单调区间；【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=x24x+3=（x2）21，f（x）在4，2上递减，在2，6上递增，所以f（x）min=f（2）=1，又f（4）=35，f（6）=15，所以f（x）max=f（4）=35（2）f（x）图象的对称轴为x=a，开口向上，f（x）的减区间是（，a，增区间是a，+），要使f（x）在4，6上是单调函数，则有a6，或a4，解得a6，或a4，所以实数a的取值范围是4，+）（，6（3）当a=1时，f（x）=x2+2x+3，f（|x|）=x2+2|x|+3，作出f（|x|）的图象，如图所示：由图象得f（x）的减区间为4，0，增区间为0，6【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值、二次函数的单调性，解决该类问题的关键是深刻理解“三个二次”间的关系，同时注意数形结合思想的运用20（2015衡阳县校级一模）已知函数f（x）的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），且当x1时f（x）0，f（2）=1（1）求证：f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，+）上是增函数；（3）解不等式f（2x21）2【分析】（1）根据题意和式子的特点，先令x1=x2=1求出f（1）=0，再令x1=1，x2=x求出f（x）=f（x），则证出此函数为偶函数；（2）先任取x2x10，再代入所给的式子进行作差变形，利用x2=和且0，判断符号并得出结论；（3）根据题意和（1）的结论，把不等式转化为f（|2x21|）f（4），再由（2）的结论知|2x21|4，故解此不等式即可【解答】解：（1）由题意知，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=1，代入上式解得f（1）=0，令x1=1，x2=x代入上式，f（x）=f（1x）=f（1）+f（x）=f（x），f（x）是偶函数（2）设x2x10，则=x2x10，0，即f（x2）f（x1）0，f（x2）f（x1）f（x）在（0，+）上是增函数（3）f（2）=1，f（4）=f（2）+f（2）=2，f（x）是偶函数，不等式f（2x21）2可化为f（|2x21|）f（4），又函数在（0，+）上是增函数，|2x21|4，且2x210，即42x214，且2x21解得：，且x，即不等式的解集为x|，且x【点评】本题的考点是抽象函数的性质及其应用，根据证明函数奇偶性和单调性的方法，反复给x1和x2值利用给出恒等式，注意条件的利用；求解不等式时利用函数的奇偶性及条件转化为两个函数值的关系，进而由函数的单调性转化为自变量的大小，易错点忽略定义域21（2015重庆校级模拟）定义在非零实数集上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）是区间（0，+）上的递增函数（1）求f（1），f（1）的值；（2）求证：f（x）=f（x）；（3）解关于x的不等式：【分析】（1）令x=y=1，利用恒等式f（xy）=f（x）+f（y）求f（1），令x=y=1，利用恒等式f（xy）=f（x）+f（y）求f（1）（2）令y=1，代入f（xy）=f（x）+f（y），结合（1）的结论即可证得f（x）=f（x）（3）利用恒等式变为f（2x1）f（1），由（2）的结论知函数是一偶函数，由函数在区间（0，+）上的递增函数，即可得到关于x的不等式【解答】解：（1）令，则f（1）=f（1）+f（1）f（1）=0（3分）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1）f（1）=0（6分）（2）令y=1，则f（x）=f（x）+f（1）=f（x）f（x）=f（x）（10分）（3）据题意可知，f（2）+f（x）=f（2x1）012x10或02x11（13分）0x或x1（15分）【点评】本题考点是抽象函数及其运用，考查用赋值的方法求值与证明，以及由函数的单调性解抽象不等式，抽象不等式的解法基本上都是根据函数的单调性将其转化为一元二次不等式或者是一元一次不等式求解，转化时要注意转化的等价性，别忘记定义域这一限制条件22（2013广东模拟）函数（）判断并证明函数的奇偶性；（）若a=2，证明函数f（x）在（2，+）上单调递增；（）在满足（）的条件下，解不等式f（t2+2）+f（2t2+4t5）0【分析】（I）利用奇函数的定义即可判断出；（II）利用函数的单调性的定义即可证明；（III）利用奇函数的性质和单调性即可解出【解答】（I）解：该函数为奇函数证明：函数的定义域为（，0）（0，+）关于原点对称，且f（x）=，故函数f（x）为奇函数（II）当a=2时，f（x）=2x1x2，则f（x1）f（x2）=2x1x2，x1x20，x1x24，即x1x2400，f（x1）f（x2），函数f（x）在（2，+）上单调递增（III）f（x）为奇函数，f（t2+2）f（2t2+4t5）=f（2（t1）2+3），t2+22，2（t1）2+32，函数f（x）在（2，+）上单调递增，t2+22t24+5，化为t24t+30，解得t1或t3【点评】熟练掌握奇函数的性质和单调性是解题的关键23（2015湘西州校级一模）已知函数（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；（2）确定a的值，使f（x）为奇函数；（3）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域【分析】（1）先设x1x2，欲证明不论a为何实数f（x）总是为增函数，只须证明：f（x1）f（x2）0，即可；（2）根据f（x）为奇函数，利用定义得出f（x）=f（x），从而求得a值即可；（3）由（2）知（4），利用指数函数2x的性质结合不等式的性质即可求得f（x）的值域【解答】解：（1）f（x）的定义域为R，设x1x2，则=，x