13年江苏省高考数学试卷及答案(Word解析版).doc

1 2013 年普通高等学校统一考试试题 江苏卷 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共计分 共计 70 分 请把答案填写在答题卡相印位置上 分 请把答案填写在答题卡相印位置上 1 函数 4 2sin 3 xy的最小正周期为 答案 解析 T 2 2 2 2 设 2 2 iz i为虚数单位 则复数z的模为 答案 5 解析 z 3 4i i2 1 z 5 32 42 3 双曲线1 916 22 yx 的两条渐近线的方程为 答案 xy 4 3 解析 令 0 916 22 yx 得x x y 4 3 16 9 2 4 集合 1 0 1 共有 个子集 答案 8 解析 23 8 5 右图是一个算法的流程图 则输出的n的值是 答案 3 解析 n 1 a 2 a 4 n 2 a 10 n 3 a 28 n 4 6 抽样统计甲 乙两位设计运动员的 5 此训练成绩 单位 环 结果如下 运动员第一次第二次第三次第四次第五次 甲8791908993 乙8990918892 则成绩较为稳定 方差较小 的那位运动员成绩的方差为 答案 2 解析 易得乙较为稳定 乙的平均值为 90 5 9288919089 x 方差为 2 5 9092 9088 9091 9090 9089 22222 2 S 7 现在某类病毒记作 nmY X 其中正整数m n 7 m 9 n 可以任意选取 则nm 都取到奇数的概率为 答案 63 20 解析 m 取到奇数的有 1 3 5 7 共 4 种情况 n 取到奇数的有 1 3 5 7 9 共 5 种情况 则 2 nm 都取到奇数的概率为 63 20 97 54 8 如图 在三棱柱ABCCBA 111 中 FED 分别是 1 AAACAB 的中点 设三棱锥 ADEF 的体积为 1 V 三棱柱ABCCBA 111 的体积为 2 V 则 21 V V 答案 1 24 解析 三棱锥ADEF 与三棱锥ABCA 1 的相似比 为 1 2 故体积 之比为 1 8 又因三棱锥ABCA 1 与三棱柱ABCCBA 111 的体积之 比为 1 3 所以 三棱锥ADEF 与三棱柱ABCCBA 111 的体积之比为 1 24 9 抛物线 2 xy 在1 x处的切线与两坐标轴围成三角形 区域为D 包含三 角形内部和边界 若点 yxP是区域D内的任意一点 则yx2 的 取值范围是 答案 2 1 2 解析 抛物线 2 xy 在1 x处的切线易得为 y 2x 1 令 z yx2 y x 1 2 z 2 画出可行域如下 易得过点 0 1 时 zmin 2 过点 0 时 zmax 1 2 1 2 y x O y 2x 1 y x 1 1 2 2 10 设ED 分别是ABC 的边BCAB 上的点 ABAD 2 1 BCBE 3 2 若ACABDE 21 21 为实数 则 21 的值为 答案 1 2 解析 3 2 2 1 3 2 2 1 ACBAABBCABBEDBDE ACABACAB 21 3 2 6 1 所以 6 1 1 3 2 2 21 1 2 11 已知 xf是定义在R上的奇函数 当0 x时 xxxf4 2 则不等式xxf 的解集用区 间表示为 答案 5 0 5 A B C 1 A D E F 1 B 1 C 3 y x l B F O c b a 解析 做出xxxf4 2 0 x 的图像 如下图所示 由于 xf是定义在R上的奇函数 利用奇 函数图像关于原点对称做出 x 0 的图像 不等式xxf 表示函数 y xf的图像在 y x 的上方 观察图像易得 解集为 5 0 5 x y y x y x2 4 x P 5 5 Q 5 5 12 在平面直角坐标系xOy中 椭圆C的标准方程为 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 右焦点为 F 右准线为l 短轴的一个端点为B 设原点到直线BF的距离为 1 d F到l的距离为 2 d 若 12 6dd 则椭圆C的离心率为 答案 3 3 解析 如图 l x c a 2 2 d c a 2 c c b2 由等面积 得 1 d a bc 若 12 6dd 则 c b2 6a bc 整理得 066 22 baba 两边同除以 2 a 得 066 2 a b a b 解之得 a b 3 6 所以 离心率为 3 3 1e 2 a b 13 在平面直角坐标系xOy中 设定点 aaA P是函数 x y 1 0 x 图象上一动点 若点AP 之间的最短距离为22 则满足条件的实数a的所有值为 答案 1 或10 解析 14 在正项等比数列 n a中 2 1 5 a 3 76 aa 则满足 nn aaaaaa 2121 的 最大正整数n的值为 答案 12 4 解析 设正项等比数列 n a首项为 a1 公比为 q 则 3 1 2 1 51 41 qqa qa 得 a1 q 2 an 26 n 记 5 21 2 12 n nn aaaT 2 1 21 2 nn nn aaa nn T 1 32 则 2 1 5 2 2 12 nn n 化简得 5 2 11 2 1 2 212 nn n 当5 2 11 2 1 2 nnn时 12 2 12113 n 当 n 12 时 1212 T 当 n 13 时 1313 T 故 nmax 12 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 共计小题 共计 90 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明 过程或演算步骤 过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 已知 sin cos sin cos ba 0 1 若2 ba 求证 ba 2 设 1 0 c 若cba 求 的值 解 解 1 a b cos cos sin sin a b 2 cos cos 2 sin sin 2 2 2 cos cos sin sin 2 所以 cos cos sin sin 0 所以 ba 2 1sinsin 0coscos 2 2得 cos 1 2 所以 3 2 3 2 带入 得 sin 3 2 sin 2 3 cos sin sin 3 1 1 2 所以 3 2 所以 6 5 6 16 本小题满分 14 分 如图 在三棱锥ABCS 中 平面 SAB平面SBC BCAB ABAS 过A作SBAF 5 垂足为F 点GE 分别是棱SCSA 的中点 求证 1 平面 EFG平面ABC 2 SABC 证 证 1 因为 SA AB 且 AF SB 所以 F 为 SB 的中点 又 E G 分别为 SA SC 的中点 所以 EF AB EG AC 又 AB AC A AB 面 SBC AC 面 ABC 所以 平面 EFG平面ABC 2 因为平面 SAB 平面 SBC 平面 SAB 平面 SBC BC AF 平面 ASB AF SB 所以 AF 平面 SBC 又 BC 平面 SBC 所以 AF BC 又 AB BC AF AB A 所以 BC 平面 SAB 又 SA 平面 SAB 所以 SABC 17 本小题满分 14 分 如图 在平面直角坐标系xOy中 点 3 0 A 直线42 xyl 设圆C的半径为1 圆心在l上 1 若圆心C也在直线1 xy上 过点A作圆C的切线 求切线的方程 2 若圆C上存在点M 使MOMA2 求圆心C的横坐 标a的取值范围 解 解 1 联立 42 1 xy xy 得圆心为 C 3 2 设切线为 3 kxy d 1 1 233 2 r k k 得 4 3 0 kork 故所求切线为 3 4 3 0 xyory 2 设点 M x y 由MOMA2 知 2222 2 3 yxyx 化简得 4 1 22 yx 即 点 M 的轨迹为以 0 1 为圆心 2 为半径的圆 可记为圆 D 又因为点M在圆C上 故圆 C 圆 D 的关系为相交或相切 故 1 CD 3 其中 22 32 aaCD 解之得 0 a 12 5 18 本小题满分 16 分 A B C S G F E x y A l O 6 如图 游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径 一种是从A沿直线步行 到C 另一种是先从A沿索道乘缆车到B 然后从B沿直线步行到C 现有甲 乙两 位游客从A处下山 甲沿AC匀速步行 速度为min 50m 在甲出发min2后 乙从 A乘缆车到B 在B处停留min1后 再从匀速步行到C 假设缆车匀速直线运动的 速度为min 130m 山路AC长为m1260 经测量 13 12 cos A 5 3 cos C 1 求索道AB的长 2 问乙出发多少分钟后 乙在缆车上与甲的距离最短 3 为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟 乙步行的速度应控制在什么范围内 解 解 1 如图作 BD CA 于点 D 设 BD 20k 则 DC 25k AD 48k AB 52k 由 AC 63k 1260m 知 AB 52k 1040m 2 设乙出发 x 分钟后到达点 M 此时甲到达 N 点 如图所示 则 AM 130 x AN 50 x 2 由余弦定理得 MN2 AM2 AN2 2 AM ANcosA 7400 x2 14000 x 10000 其中 0 x 8 当 x min 时 MN 最小 此时乙在缆车上与甲的距离最短 35 37 3 由 1 知 BC 500m 甲到 C 用时 min 1260 50 126 5 若甲等乙 3 分钟 则乙到 C 用时 3 min 在 BC 上用时 min 126 5 141 5 86 5 此时乙的速度最小 且为 500 m min 86 5 1250 43 若乙等甲 3 分钟 则乙到 C 用时 3 min 在 BC 上用时 min 126 5 111 5 56 5 此时乙的速度最大 且为 500 m min 56 5 625 14 故乙步行的速度应控制在 范围内 1250 43 625 14 19 本小题满分 16 分 C B A D M N 7 设 n a是首项为a 公差为d的等差数列 0 d n S是其前n项和 记 cn nS b n n 2 Nn 其中c为实数 1 若0 c 且 421 bbb 成等比数列 证明 knk SnS 2 Nnk 2 若 n b是等差数列 证明 0 c 证 1 若0 c 则dnaan 1 2 2 1 adnn Sn 2 2 1 adn bn 当 421 bbb 成等比数列 41 2 2 bbb 即 2 3 2 2 d aa d a 得 add2 2 又0 d 故ad2 由此 anSn 2 aknankSnk 222 aknSn k 222 故 knk SnS 2 Nnk 2 cn adn n cn nS b n n 2 2 2 2 2 1 cn adn c adn c adn n 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 cn adn c adn 2 2 2 1 2 2 1 若 n b是等差数列 则BnAnbn 型 观察 式后一项 分子幂低于分母幂 故有 0 2 2 1 2 cn adn c 即0 2 2 1 adn c 而 2 2 1 adn 0 故0 c 经检验 当0 c时 n b是等差数列 20 本小题满分 16 分 8 设函数axxxf ln axexg x 其中a为实数 1 若 xf在 1 上是单调减函数 且 xg在 1 上有最小值 求a的取值范围 2 若 xg在 1 上是单调增函数 试求 xf的零点个数 并证明你的结论 解 解 1 a x xf 1 0 在 1 上恒成立 则a x 1 1 x 故 a 1 axg x e 若 1 a e 则axg x e 0 在 1 上恒成立 此时 axexg x 在 1 上是单调增函数 无最小值 不合 若a e 则axexg x 在 ln1 a 上是单调减函数 在 ln a上是单调增函数 ln min agxg 满足 故a的取值范围为 a e 2 axg x e 0 在 1 上恒成立 则a ex 故 a 1 e 0 11 x x ax a x xf 若 0 a 令 x f 0 得增区间为 0 1 e 1 a 令 x f 0 得减区间为 1 a 当 x 0 时 f x 当