结构力学9.pdf

1 第九章 位 移 法 第九章 位 移 法 对于仅考虑材料在线弹性范围 内工作的结构 力和位移之间 有一一对应的关系 正是由于 有这种确定的关系 以位移 或力 为基本未知量 当求 出位移 或力 后就可以通过 这种确定关系求力 或位移 基本假定 结构的材料为线弹性 1 2 结构的变形为微小变形 对于梁式杆 其杆的轴向 切 向变形可忽略不计 只考虑弯 曲变形 且弯曲变形为微小变 形 即 受弯直杆变形后其两 端的距离保持不变 受弯直 杆的轴向刚度条件 第一节 位移法基本概念 第一节 位移法基本概念 本节介绍位移法的基本未知 量 基本体系 基本方程 基本未知 量 基本体系 基本方程 结构结点上的独立位移 位移法的基本未知量 2 一般情况下结构上一个自由刚 结点在平面上有三个位移分量 互相垂直的两个线位移和一 个转角位移 互相垂直的两个线位移和一 个转角位移 见图9 1 1 a 对受弯直杆应用轴向刚度条件 刚架的位移未知量变化见图 b a b a b 图9 1 1 位移法的基本体系 离散后的 各单跨超静定杆件与原结构的 受力和变形一致 见下页图9 1 2 d 所示刚架 有一个结点转角位移未知量z1 由结点C与它所连各杆的C端的 位移应一致的条件 知两杆在C 端的杆端位移均为z1 a b d c a b d c 图9 1 2 将两杆都在C端截断后取出 在 截断处代以固定支座并使其发 生位移z1 见上页 b c 由 于离散后各单杆与原结构变形 位移和受力是一致的 显然 如果各杆的杆端位移z1已知 它 们的内力就是原结构的内力 位移法基本体系 离散后的各等截面直杆 使 杆端位移及其上的荷载与原 结构一致的体系可代替原结 构 叫做位移法基本体系 3 位移法基本方程 连接各单杆部分 使各杆协 调变形 的静力平衡方程 本节主要概念本节主要概念 结点位移与杆端位移一致 的变形相容条件 位移法 的基本未知量 自由结点 上的独立结点位移 1 2 单元刚度方程 等截面直 杆的杆端力和杆端位移 即 结点位移 的关系 位移法 基本体系 由各直杆两段截 面截断离散后的各单根超静 定杆件 在截断杆端处有与 原结构相同的位移 3 位移法方程 结点力和 结点位移的关系 位移法方程是连接各离散 杆件部分的静力平衡方程 第二节 等截面直杆的单 元刚度方程 第二节 等截面直杆的单 元刚度方程 1 单元分析的概念 离散结构成各独立单元 等截面 直杆 的位移法基本结构 由杆 端位移与结点位移一致的位移协 调条件 建立各独立单杆的杆端 力和杆端位移的关系 这一步属 于单元分析 4 对于刚架常考虑下页图9 2 1 b 所示三种单元 超静定杆件 其中图 b 左所示的单元可称为 典型单元 典型单元 a b a b 图9 2 1 对照图 a 典型单元的两端结 点为刚结点或固定端 截处的 杆段两端用固定端代替得到的 单元 可描述自由单元 两端 为自由刚结点 也可描述端 部单元 单元的一端是固定端 的杆端位移 同时可在典型单元研究结 果中直接代入支座约束条 件研究图 b 中 右所示 单元 所以称为典型单元 2 典型单元刚度方程 特别提示 杆端弯矩正负号规定 与弯矩图规定的区别 典型单元刚度方程 特别提示 杆端弯矩正负号规定 与弯矩图规定的区别 a 5 b 方法1方法1 单元刚度方程单元刚度方程 单元杆端力和杆 端位移的关系式 单元杆端力和杆 端位移的关系式 推导单元刚度方程 思路及方法 推导单元刚度方程 思路及方法 已知梁的两端固定支座发生位移已知梁的两端固定支座发生位移 A B 求杆端力求杆端力FQAB MAB FQBA MBA 推导是求超静定梁在支座移动 时的支座反力 杆端力 的过程 直 接由力法计算 推导是求超静定梁在支座移动 时的支座反力 杆端力 的过程 直 接由力法计算 方法 2 方法 2 已知简支梁两端作用有集中外力偶已知简支梁两端作用有集中外力偶 MAB MBA 同时同时B支座有支座位移支座有支座位移 用单位荷载法求位移用单位荷载法求位移 A B 然后将 杆端力 然后将 杆端力FQAB MAB FQBA MBA表示 成位移的函数形式 表示 成位移的函数形式 推导是对静定梁 在荷载和支座移动下 求梁两端转角 位移的过程 推导是对静定梁 在荷载和支座移动下 求梁两端转角 位移的过程 按方法2建立单元刚度方程按方法2建立单元刚度方程 a 返回 b c 1 求 1 求 A1 A1见上图 b 见上图 b d 6 e f g 返回 2 求 2 求 A2 A2见图 c 见图 c 3 叠加得到3 叠加得到 变换式上式得变换式上式得 由平衡条件得杆端剪力由平衡条件得杆端剪力 见图 g 见图 g 等截面直杆的转角位移方程 或 典型单元刚度方程 等截面直杆的转角位移方程 或 典型单元刚度方程 9 2 1a 9 2 1a 4 当考虑典型单元上同时也作用 荷载时的单元刚度方程 4 当考虑典型单元上同时也作用 荷载时的单元刚度方程 a 7 b 9 2 1b 9 2 1b 式中式中 M F AB M F BA 为典型单元 两端固定梁 在荷载单独作用下 的杆端弯矩 所以又称其为固端弯 矩 为典型单元 两端固定梁 在荷载单独作用下 的杆端弯矩 所以又称其为固端弯 矩或载常数载常数 9 2 2 3 其他单元的单元刚度方程 1 一端固定一端铰支座单元 3 其他单元的单元刚度方程 1 一端固定一端铰支座单元 a 当考虑荷载和支座位移共同作用时 杆端总弯矩 当考虑荷载和支座位移共同作用时 杆端总弯矩 9 2 3 指一端固定一端铰支座单元在荷 载单独作用下的杆端弯矩 指一端固定一端铰支座单元在荷 载单独作用下的杆端弯矩 2 一端固定一端定向滑动支座单元2 一端固定一端定向滑动支座单元 b 为一端固定一端定向滑动支座单元 在荷载单独作用下的杆端弯矩 为一端固定一端定向滑动支座单元 在荷载单独作用下的杆端弯矩 9 2 4 8 第三节 无侧移刚架的计算第三节 无侧移刚架的计算 1 无侧移刚架基本未知量的判定 1 无侧移刚架基本未知量的判定 结构上刚结点的独立角位移数 结构上的自由刚结点数 其位移法基本未知量等于 结构上刚结点的独立角位移数 结构上的自由刚结点数 其位移法基本未知量等于 a b c d 返回 说明 说明 1 强调位移法基本未知量是结构 中自由结点上的独立结点位移 结点上的独立角位移是自由刚结 点上的角位移 强调位移法基本未知量是结构 中自由结点上的独立结点位移 结点上的独立角位移是自由刚结 点上的角位移 3 综合结点 半铰 有角位移 4 直杆的突变截面处视为刚结点 3 综合结点 半铰 有角位移 4 直杆的突变截面处视为刚结点 2 结构的自由刚结点 指连接了 两个及两个以上杆件的刚结点 注意刚结点处也会有支座链杆 见图 结构的自由刚结点 指连接了 两个及两个以上杆件的刚结点 注意刚结点处也会有支座链杆 见图 c 2 位移法解无侧移刚架 例9 3 2 试用位移法计算图 a 所示连续 梁 并作梁的弯矩图 2 位移法解无侧移刚架 例9 3 2 试用位移法计算图 a 所示连续 梁 并作梁的弯矩图 a 9 解解 1 确定位移法基本未知量图 b 2 写出各杆端弯矩 1 确定位移法基本未知量图 b 2 写出各杆端弯矩 b c d e 3 由结点由结点B的平衡条件建立 位移法方程 的平衡条件建立 位移法方程见图 d 4 计算杆端总弯矩计算杆端总弯矩 作梁的弯矩图 见图作梁的弯矩图 见图 f f 说明 说明 1 本例是直接由静力平衡条件 建立位移法方程 1 本例是直接由静力平衡条件 建立位移法方程 2 结点角位移与结点所连的单元杆 端角位移相容 杆端角位移与杆端 弯矩相对应 当结构上只有结点角 位移未知量时 只需写出单元杆端 弯矩式 并由相应的结点力矩平衡 条件建立位移法方程 2 结点角位移与结点所连的单元杆 端角位移相容 杆端角位移与杆端 弯矩相对应 当结构上只有结点角 位移未知量时 只需写出单元杆端 弯矩式 并由相应的结点力矩平衡 条件建立位移法方程 例9 3 3 用位移法计算图 a 所示 刚架 绘 例9 3 3 用位移法计算图 a 所示 刚架 绘M图 图 a 10 解解 1 刚架有两个角位移未知量z1 刚架有两个角位移未知量z1 1 z z2 2 见图 b 所示 见图 b 所示 b 2 各杆端总弯矩式 3 建立位移法方程 4 计算杆端总弯矩绘制弯 矩图见图 c 5 校核 2 各杆端总弯矩式 3 建立位移法方程 4 计算杆端总弯矩绘制弯 矩图见图 c 5 校核 c 有侧移 刚架 有侧移 刚架 第四节 有侧移刚架的计算 有结点独立线位移 未知量的刚架 第四节 有侧移刚架的计算 有结点独立线位移 未知量的刚架 侧 移 侧 移 当考虑受弯杆件的轴向刚度条件时 结点线位移使某些杆件两端沿其杆轴 线垂直方向发生相对线位移 当考虑受弯杆件的轴向刚度条件时 结点线位移使某些杆件两端沿其杆轴 线垂直方向发生相对线位移 1 结构线位移未知量的判断1 结构线位移未知量的判断 a b 11 c d e f 由两个已知不动点引出轴线 不在一条线上的两根受弯直杆 或刚性链杆 相交的一点也是 不动点 这里所说得不动点 指 无线位移的结点 由两个已知不动点引出轴线 不在一条线上的两根受弯直杆 或刚性链杆 相交的一点也是 不动点 这里所说得不动点 指 无线位移的结点 附加链杆法附加链杆法 a b a a1 b b1 b2 12 用附加链杆法判断结构的线位移未 知量 一般先考虑杆端交于 刚接 或铰接 一点的两根杆件 两杆的 另一端应至少有一端是不动点 固 定端或固定铰 用附加链杆法判断结构的线位移未 知量 一般先考虑杆端交于 刚接 或铰接 一点的两根杆件 两杆的 另一端应至少有一端是不动点 固 定端或固定铰 说明 说明 例例9 4 2 判定图示结构的位移法基本未知量 判定图示结构的位移法基本未知量 a a1 a2 b b1 b2 c d d1 d2 说明 说明 1 轴向 刚度条件对于 曲杆不适用 轴向 刚度条件对于 曲杆不适用 2 位移法解有侧移刚架 例 位移法解有侧移刚架 例9 4 3 用位移法计算图用位移法计算图 a 所示刚架 并作刚架的剪力图 弯矩图 已知 所示刚架 并作刚架的剪力图 弯矩图 已知 L 6m q 4kNm a b 13 解 解 1 确定位移法基本未知量确定位移法基本未知量 2 3 建立位移法方程建立位移法方程 4 解位移法方程解位移法方程 5 计算杆端弯矩和剪力 绘内力图计算杆端弯矩和剪力 绘内力图 c d FQ图图 kN M图图 kNm e 14 例例9 4 4 用位移法计算图用位移法计算图 a 所 示刚架 并作弯矩图 所 示刚架 并作弯矩图 a 解 解 1 确定位移法基本未知量确定位移法基本未知量 b 2 写各杆端力式写各杆端力式 3 建立位移法方程建立位移法方程 c d e 刚架的位移法方程 刚架的位移法方程 解得解得 4 计算杆端力计算杆端力 第五节第五节 1 位移法基本体系位移法基本体系 15 离散后的各单跨超静定杆件与原结构 的受力和变形一致 离散后的各单跨超静定杆件与原结构 的受力和变形一致 见图9 5 1 b a 原结构 b 返回返回 本节的位移法基本体系是将图本节的位移法基本体系是将图 b 所示 的离散状态换一种表示方法 所示 的离散状态换一种表示方法 见图见图 c c 基本体系 返回返回1 图9 5 1 返回返回2 见图 c 所示 通过在有结点 角位移的结点 在有结点 角位移的结点B上附加刚臂 刚臂与结点刚结 只约束 转角位移 不约束线位移 上附加刚臂 刚臂与结点刚结 只约束 转角位移 不约束线位移 并通过操纵刚臂 起到离散 和协调结点 结点所连杆端 位移的作用 2 位移法基本方程 位移法基本方程 是位移法基本体系与原结构一致的受力 条件 位移法基本体系与原结构一致的受力 条件 对照图9 5 1 a c 位移法基本体系位移法基本体系 通过增加并操纵附加刚臂的中间过程 使基本体系仍与原结构有相同的变形或 位移 通过增加并操纵附加刚臂的中间过程 使基本体系仍与原结构有相同的变形或 位移 见图 c 中的F1 可认为是施加在附加刚臂 上的外力偶恰是结点发生结点位移z1 也 可认为是由于发生结点位移z1而在附加刚 臂中产生的反力矩 当附加刚臂中的 反力矩为零 即有 当附加刚臂中的 反力矩为零 即有F1 0时 才能说明基 本体系的受力与原结构 定量 一致 时 才能说明基 本体系的受力与原结构 定量 一致 本例中 结点B的附加刚臂上F1 0 是基 本体系与原结构一致的受力条件 a b 图9 5 2 16 运用叠加原理 图9 5 1 c 所示基本体系 可分解为图9 5 2 a b 所示两种 情况的叠加 基本体系附加刚臂中的总反力矩应为 F1 F11 F1PF11 F1P 0即 a 式 a 即为本例位移法基本方程 上式中的各项可有相应的图中的结点B 的力矩平衡条件得出 即 代入式 a 得 b 由此方程可求出结点位移未知量 例9 5 1例9 5 1 用位移法计算图 a 所示刚架 并作刚架 的弯矩图 已知 L 6m q 4kNm a 原结构 b 基本体系 解解 1 确定位移法基本未知量 绘出基本 体系 由基本体系的附加链杆中的反力为零的条 件得位移法方程 图 所示刚架有一个侧移未知量z1 1 在 z z1 1发生结点及其方向上加一附加链杆附加链杆 并迫使附加链杆产生与原结构一致的线 位移z z1 1 得位移法基本体系如图 b F1 0 a 2 分解基本体系为各因素单独作用在基本 结构上 d c 叠加图 c d 中附加链杆中的反力 得 e f 17 F1 F11 F1P 0即 k11z1 F1P 0 b 3 计算方程中的系数和自由项 分别取图 c d 所示体系柱顶以上部分 建立其沿z1方向的投影平衡方程 即 代入式 b 得 c 4 计算结点位移未知量 并作弯矩图 解方程 c 得 利用叠加法座刚架最后弯矩图 即 按图 c 受拉侧不变 右侧受拉 左侧受拉 3 位移法典型方程 位移法典型方程 a 原结构原结构 b 基本体系基本体系 c z1作用下作用下 d z2作用下作用下 e 荷载作用下荷载作用下 18 位移法典型方程位移法典型方程 矩阵式矩阵式 a 原结构原结构 b 基本体系基本体系 c c1 c2 d d1 d2 e e1 e2 19 解 刚架的位移法方程解 刚架的位移法方程 将 带入上式得到带入上式得到 求出 计算各杆端弯矩计算各杆端弯矩 左侧受拉 右侧受拉 下侧受拉 左侧受拉 右侧受拉 下侧受拉 f M图图 kNm 第六节 位移法的对称性利用第六节 位移法的