2.2函数的单调性与最值.doc

无为县第三中学电子备课教学设计 教学内容2.2函数的单调性与最值教学目标知识与技能： 1、使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识； 2、通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。过程与方法：通过学生自主练习和动手实践，进一步增强他们的实践能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。情感、态度与价值观：学生通过知识的整合、梳理，进一步培养学生解决问题的能力。教学重点理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义。教学难点会运用基本初等函数的图象分析函数的性质。教学准备投影仪等。课时安排2课时第一课时课时目标1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义。2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质。教学过程一、考纲解读考点展示考查频率考纲要求高考命题探究函数的单调性5年2考理解函数的单调性及其几何意义1.内容探究：给出具体函数，判定函数的单调性，求函数的单调区间，利用单调性解不等式，求函数的最大值、最小值是高考的热点2形式探究：本讲知识在高考中多以选择题、填空题形式出现，有时也会以解答题的形式考查.函数的最值5年2考利用函数的单调性求函数的最大值和最小值二、知识梳理1增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果对于任意x1，x2D，且x1x2，则都有：(1)f(x)在区间D上是增函数f(x1)f(x2)；(2)f(x)在区间D上是减函数f(x1)f(x2)2单调性、单调区间的定义若函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间3函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.结论M是yf(x)的最大值M是yf(x)的最小值三、双基自测1(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)对于函数f(x)，xD，若对任意x1，x2D，x1x2且(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在区间D上是增函数()(2)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(3)函数y|x|是R上的增函数()(4)函数y的最大值为1.()答案：(1)(2)(3)(4)2下列函数中，定义域是R且为增函数的是()AyexByx3Cyln xDy|x|解析：选B.A项，函数yex为R上的减函数；B项，函数yx3为R上的增函数；C项，函数yln x为(0，)上的增函数；D项，函数y|x|在(，0)上为减函数，在(0，)上为增函数故只有B项符合题意3函数f(x)在1,2上的最大值和最小值分别是_解析：f(x)2在1,2上是增函数，f(x)maxf(2)，f(x)minf(1)1.答案：，14函数y(2k1)xb在R上是减函数，则k的取值范围是_解析：由题意知2k10得k.答案：5f(x)x22x，x2,3的单调增区间为_，f(x)max_.解析：f(x)(x1)21，故f(x)的单调增区间为1,3，f(x)maxf(2)8.答案：1,38四、典例分析考向一【例1】(1)函数f(x)log2(x21)的单调递减区间为_(2)试讨论函数f(x)(a0)在(1,1)上的单调性【思路点拨】(1)根据对数函数的单调性求解(2)根据单调性的定义求解【解析】(1)由x210得x1或x1，即函数f(x)的定义域为(，1)(1，)令tx21，因为ylog2t在t(0，)上为增函数，tx21在x(，1)上是减函数，所以函数f(x)log2(x21)的单调递减区间为(，1)【答案】(，1)(2)设1x1x21，f(x)aa，f(x1)f(x2)aaa当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递增【规律方法】1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(1)2利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底3利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确变式训练1判断函数g(x)在(1，)上的单调性解：任取x1，x2(1，)，且x1x2则g(x1)g(x2)，由于1x1x2，所以x1x20，(x11)(x21)0，因此g(x1)g(x2)0，即g(x1)g(x2)故g(x)在(1，)上是增函数考向二 【例2】已知f(x)，x1，)，且a1.(1)当a时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围【思路点拨】(1) 先判断函数f(x)在1，)上的单调性，再求最小值；(2) 根据f(x)min0求a的范围，而求f(x)min应对a分类讨论【解】(1)当a时，f(x)x2，f(x)10，x1，)，即f(x)在1，)上是增函数，所以f(x)minf(1)12.(2)f(x)x2，x1，)法一：当a0时，f(x)在1，)内为增函数最小值为f(1)a3.要使f(x)0在x1，)上恒成立，只需a30，3a0.当0a1时，f(x)在1，)上为增函数，f(x)minf(1)a3.a30，a3.0a1.综上所述，f(x)在1，)上恒大于零时，a的取值范围是(3,1法二：f(x)x20，x1，x22xa0，a(x22x)，而(x22x)在x1时取得最大值3，3a1.【规律方法】利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f(x)在闭区间a，b上是增函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(b)，最小值为f(a)请思考，若函数f(x)在闭区间a，b上是减函数呢？变式训练2函数f(x)xlog2(x2)在区间1,1上的最大值为_解析：由于yx在R上递减，ylog2(x2)在1,1上递增，所以f(x)在1,1上单调递减，故f(x)在1,1上的最大值为f(1)3.答案：3考向三【例3】(1)已知定义在R上的函数f(x)是增函数，则满足f(x)f(2x3)的x的取值范围是_(2)已知函数f(x)在R上单调递减，则实数a的取值范围是_【思路点拨】(1)利用函数的单调性去掉法则“f”，将原不等式转化为具体的不等式求解(2)首先保证函数在每一段上单调递减，然后保证在区间端点处的函数值“左右”【解析】(1)依题意得，不等式f(x)f(2x3)等价于x2x3，解得x3，即满足f(x)f(2x3)的x的取值范围是(3，)【答案】(3，)(2)当x1时，要使函数f(x)单调递减，则有2a1，即a，当x1时，要使函数f(x)单调递减，则有0a1，要使f(x)在R上单调递减，则有2128a3loga1，即a.综上知，a.【答案】(1)B(2)【规律方法】1.含“f”号不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x)f(h(x)的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内2分段函数的单调性：(1)首先保证分段函数在每一段上单调递增(减)(2)其次保证在区间端点处的函数值“左右(增)”或“左右(减)”变式训练3已知函数f(x)是定义在区间0，)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x1)f的x