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高中不等式恒成立问题解题策略 重庆市江津中学校 402260 杨万机 恒成立问题是高中数学的常见问题，也是历年来高考中的一个热点问题，经久不衰。不等式恒成立问题常常在知识网络交汇处设置，它可以与函数、导数、数列、三角函数、解析几何等整合在一起，里面又涉及到不等式的证明问题和取值范围问题，学生往往由于方法不到位而出现错解或复杂的解法。下面我根据不等式恒成立问题不同的特征采取不同的解题策略，为学生开辟一条成功的道路。一、 函数最值法有些不等式恒成立问题可以转换成求函数的最值问题：若f（X）A在区间D上恒成立，则在区间D上成立。若f（X）f(x)( G（a）f(x)在区间D上恒成立，求f(x)在区间D上最大（最小）值问题。此种方法的关键在于变量与参数能够分离函数f(x)的最值容易求出。变式2. 已知不等式对恒成立，求a的取值范围。分析：变式2可采用变式1的方法求解，但变式2的特点在于变量x的取值均为正，能够把变量x与参数a分离开来，故用分离参数法求解更为快捷、简单。解：由题可得 三、 主参换位法在给出的含有两个变量的不等式中，大家习惯把变量x看作是主元（未知数），而把另一个a看作是参数，在有些问题中这样的解题过程非常繁琐，不妨把主元与参数换位一下，可以达到意想不到的效果。例2.已知的所有m都成立，求实数x的取值范围。分析：本题是已知参数m的取值范围，求自变量x的取值范围，可以转换主元x与参数m的位置，构造以m为自变量，x为参数的一次函数g(m),此题则转换为对任意的 g(m)0恒成立问题求解。解：由不等式可得令 当时当时，则 综上可得四、数形结合法 有的不等式恒成立问题，若把不等式进行合理变形后，能非常容易画出不等式两边的图象，则可通过画图象来进行求解。例3. 分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系求解的取值范围。解：设，,则的图象为图中所示的抛物线，的图象为图中所示的对数函数的图象
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