辽宁省重点高中协作校高考数学一模试卷 理（含解析）.doc

2016年辽宁省重点高中协作校高考数学一模试卷（理科）一、选择题1设集合a=x|x1，b=x|y=，则arb等于（）ax|1xbx|cx|1dx|2若复数z=（a0），其中i为虚数单位，|z|=，则a的值为（）ab1cd3命题p：若ab，则ac2bc2；命题q：x00，使得x01lnx0=0，则下列命题为真命题的是（）apqbp（q）c（p）qd（p）（q）4执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）abcd5某中学领导采用系统抽样方法，从该校某年级全体1200名学生中抽取80名学生做视力检查现将1200名学生从1到1200进行编号，在115中随机抽取一个数，如果抽到的是6，则从4660这15个数中应抽取的数是（）a47b48c51d546设x，y满足约束条件，若z=x+4y的最大值与最小值得差为5，则实数m等于（）a3b2c2d37若（x2a）（x+）10的展开式x6的系数为30，则a等于（）abc1d28某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为5，则俯视图中线段的长度x的值是（）a6b4c5d29已知三棱柱abca1b1c1的侧棱和底面垂直，底面是正三角形，侧棱长是底边长的2倍，若该三棱柱的各顶点都在球o的表面上，且球o的表面积为36，则此三棱锥aa1b1c1的体积为（）abcd10若函数f（x）=4sin（2x+）（|）的图象关于直线x=对称，且当x1，x2（，），x1x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）等于（）a4b2c2d211已知点a是抛物线y2=2px（p0）上一点，f为其焦点，以|fa|为半径的圆交准线于b，c两点，fbc为正三角形，且abc的面积是，则抛物线的方程是（）ay2=12xby2=14xcy2=16xdy2=18x12设函数f（x）在r上存在导函数f（x），对于任意的实数x，有f（x）=3x2f（x），当x（，0）时，f（x）+3x，若f（m+3）f（m）9m+，则实数m的取值范围是（）a，+）b，+）c1，+）d2，+）二、填空题13已知函数f（x）=，若f（x）2，则x的取值范围是14已知直线xy+2=0过双曲线=1（a0，b0）的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的实轴长为15在abc中，c=90，ab=3，ac=1，若=2，则等于16在abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，若tanatanc+tanbtanc=tanatanb，且sin2a+sin2b=（m2+1）sin2c，则m的值为三、解答题17已知各项均为正数的等差数列an满足：a4=2a2，且a1，4，a4成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）求同时满足下列条件的所有an的和：20n116；n能够被5整除18据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3000人进行调查，就“是否取消英语听力”的问题进行了问卷调查统计，结果如表：态度调查人群应该取消应该保留无所谓在校学生2100人120人y人社会人士500人x人z人已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.06（）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取300人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数x的分布列和数学期望19如图1，已知四边形abfd为直角梯形，为等边三角形，ad=df=2af=2，c为df的质点，如图2，将平面aed、bcf分别沿ad、bc折起，使得平面aed平面abcd，平面bcf平面abcd，连接ef、df，设g为ae上任意一点（1）证明：dg平面bcf；（2）求平面def与平面bcf所成锐二面角的余弦值20如图，在平面直角坐标系xoy，设点m（x0，y0）是椭圆c： +=1上一点，从原点o向圆m：（xx0）2+（yy0）2=r2作两条切线分别与椭圆c交于点p、q，直线op，oq的斜率分别记为k1，k2（1）若圆m与x轴相切于椭圆c的左焦点，求圆m的方程；（2）若r=，求证：k1k2为定值；求|op|oq|的最大值21已知函数f（x）=mlnx+2nx2+x（x0，mr，nr）（1）若曲线y=f（x）在（1，f（1）处的切线方程为2x+y1=0，求f（x）的递增区间；（2）若m=1，是否存在nr，使f（x）的极值大于零？若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由选修4-1：几何证明选讲22如图，o的弦ed，cb的延长线交于点a（1）若bdae，ab=4，bc=2，ad=3，求ce的长；（2）若=， =，求的值选修4-4：坐标系与参数方程选讲23（选修44：坐标系与参数方程）已知曲线c1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为=2sin（）把c1的参数方程化为极坐标方程；（）求c1与c2交点的极坐标（0，02）选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|xa|x+3|，ar（）当a=1时，解不等式f（x）1；（）若当x0，3时，f（x）4，求a的取值范围2016年辽宁省重点高中协作校高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1设集合a=x|x1，b=x|y=，则arb等于（）ax|1xbx|cx|1dx|【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据题意，求出集合b以及b在r中的补集，再求arb即可【解答】解：集合a=x|x1，b=x|y=x|3x2+5x20=x|x2，或x，rb=x|2x，arb=x|1x故选：a2若复数z=（a0），其中i为虚数单位，|z|=，则a的值为（）ab1cd【考点】复数求模【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的运算公式求得a值【解答】解：z=，|z|=，又a0，解得a=故选：d3命题p：若ab，则ac2bc2；命题q：x00，使得x01lnx0=0，则下列命题为真命题的是（）apqbp（q）c（p）qd（p）（q）【考点】复合命题的真假【分析】命题p：取c=0时是不成立，因此是假命题；命题q：取x0=1，满足x01lnx0=0，即可判断出真假再利用复合命题真假的判定方法即可得出【解答】解：命题p：若ab，则ac2bc2，c=0时是不成立，因此是假命题；命题q：取x0=1，满足x01lnx0=0，因此是真命题则下列命题为真命题的是（p）q，故选：c4执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）abcd【考点】程序框图【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出s=的值，用裂项法即可计算得解【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的作用是计算并输出s=的值，而=1+=故选：a5某中学领导采用系统抽样方法，从该校某年级全体1200名学生中抽取80名学生做视力检查现将1200名学生从1到1200进行编号，在115中随机抽取一个数，如果抽到的是6，则从4660这15个数中应抽取的数是（）a47b48c51d54【考点】系统抽样方法【分析】根据系统抽样的定义进行求解即可【解答】解：因为采取系统抽样，每15人随机抽取一个人，在115中随机抽取一个数，如果抽到的是6，所以在k组抽到的是6+15（k1），所以4660这15个数中应抽取的数是6+153=51故选：c6设x，y满足约束条件，若z=x+4y的最大值与最小值得差为5，则实数m等于（）a3b2c2d3【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值和最小值建立方程关系进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由得，即a（1，4），由得，由z=x+4y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点a时，直线y=的截距最大，此时z最大z=1+44=17当直线y=经过点b时，直线y=的截距最小，此时z最小z=m3+4m=5m3z=x+4y的最大值与最小值得差为517（5m3）=205m=5得m=3故选：a7若（x2a）（x+）10的展开式x6的系数为30，则a等于（）abc1d2【考点】二项式系数的性质【分析】根据题意求出（x+）10展开式中含x4项、x6项的系数，得出（x2a）（x+）10的展开式中x6的系数，再列出方程求出a的值【解答】解：（x+）10展开式的通项公式为：tr+1=x10r=x102r；令102r=4，解得r=3，所以x4项的系数为；令102r=6，解得r=2，所以x6项的系数为；所以（x2a）（x+）10的展开式中x6的系数为：a=30，解得a=2故选：d8某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为5，则俯视图中线段的长度x的值是（）a6b4c5d2【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，设高为h，利用体积计算公式解得h，再利用勾股定理即可得出【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，设高为h，则=h，解得h=x=6，故选：a9已知三棱柱abca1b1c1的侧棱和底面垂直，底面是正三角形，侧棱长是底边长的2倍，若该三棱柱的各顶点都在球o的表面上，且球o的表面积为36，则此三棱锥aa1b1c1的体积为（）abcd【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】通过球的内接体，说明几何体的中心是球的直径，由球的表面积求出球的半径，设出三棱柱的底面边长，通过解直角三角形求得a，然后由棱柱的体积公式得答案【解答】解：如图，三棱柱abca1b1c1的所有棱长都相等，6个顶点都在球o的球面上，三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为o，再设球的半径为r，由球o的表面积为36，得4r2=36，r=3设三棱柱的底面边长为a，则上底面所在圆的半径为a，且球心o到上底面中心h的距离oh=a，32=a2+（a）2，a=则三棱柱的底面积为s=三棱锥aa1b1c1的体积为2=故选：b10若函数f（x）=4sin（2x+）（|）的图象关于直线x=对称，且当x1，x2（，），x1x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）等于（）a4b2c2d2【考点】正弦函数的图象【分析】由正弦函数的对称性可得sin（2+）=1，结合范围|，即可解得的值，得到函数f（x）解析式，由题意利用正弦函数的性质可得x1+x2=，代入函数解析式利用诱导公式即可计算求值【解答】解：sin（2+）=1，=k+，kz，又|，=，f（x）=4sin（2x+），由2x+=k+，kz，可得其对称轴方程为：x=+，kz，x1，x2（，），x1x2时，f（x1）=f（x2），x1，x2（，），且（x1，0），（x2，0）关于点（，0）对称，x1+x2=，f（x1+x2）=4sin（+）=2故选：b11已知点a是抛物线y2=2px（p0）上一点，f为其焦点，以|fa|为半径的圆交准线于b，c两点，fbc为正三角形，且abc的面积是，则抛物线的方程是（）ay2=12xby2=14xcy2=16xdy2=18x【考点】抛物线的简单性质【分析】由等边三角形的性质可得|bf|=|af|=，由抛物线的定义和三角形的面积公式，计算即可得到p=8，进而得到抛物线方程【解答】解：由题意可得=cos30且|df|=p，可得|bf|=，从而|af|=，由抛物线的定义可得a到准线的距离也为，又abc的面积为，可得=，解得p=8，则抛物线的方程为y2=16x故选：c12设函数f（x）在r上存在导函数f（x），对于任意的实数x，有f（x）=3x2f（x），当x（，0）时，f（x）+3x，若f（m+3）f（m）9m+，则实数m的取值范围是（）a，+）b，+）c1，+）d2，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】利用构造法设g（x）=f（x）x2，推出g（x）为奇函数，判断g（x）的单调性，然后推出不等式得到结果【解答】解：f（x）=3x2f（x），f（x）x2+f（x）x2=0，设g（x）=f（x）x2，则g（x）+g（x）=0，函数g（x）为奇函数x（，0）时，f（x）+3x，g（x）=f（x）3x，故函数g（x）在（，0）上是减函数，故函数g（x）在（0，+）上也是减函数，若f（m+3）f（m）9m+，则f（m+3）（m+3）2f（m）m2，即g（m+3）g（m），m+3m，解得：m，故选：b二、填空题13已知函数f（x）=，若f（x）2，则x的取值范围是（，21，4【考点】函数单调性的判断与证明【分析】在每段上解不等式f（x）2，然后所得x的范围求并集即可得出x的取值范围【解答】解：（1）当x0时，由f（x）2得，；0x4；（2）当x0时，由f（x）2得，x23x2；解得x2，或1x0；综上得，x的取值范围是（，21，4故答案为：（，21，414已知直线xy+2=0过双曲线=1（a0，b0）的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的实轴长为2【考点】双曲线的简单性质【分析】求得直线xy+2=0在x轴上的交点，可得c=2，再由两直线垂直的条件：斜率之积为1，可得b=a，解方程可得a=1，进而得到实轴长2a【解答】解：直线xy+2=0过x轴上的交点为（2，0），由题意可得c=2，即a2+b2=4，由直线xy+2=0与双曲线的一条渐近线垂直，可得=1，即为b=a，解得a=1，b=，可得双曲线的实轴长为2故答案为：215在abc中，c=90，ab=3，ac=1，若=2，则等于12【考点】平面向量数量积的运算【分析】由直角三角形的余弦函数可得cosa，再由向量的加减运算和向量的数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值【解答】解：在abc中，c=90，ab=3，ac=1，可得cosa=，由=2，可得+=2，即=2，即为=，则=（）（）=（）（）=2+2=9+131=12故答案为：1216在abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，若tanatanc+tanbtanc=tanatanb，且sin2a+sin2b=（m2+1）sin2c，则m的值为2【考点】两角和与差的正切函数【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得=，再利用正弦定理求得cosc=，再根据cosc= 求得 a2+b2=3c2结合sin2a+sin2b=（m2+1）sin2c，可得m的值【解答】解：在abc中，若tanatanc+tanbtanc=tanatanb，即 tanc（tana+tanb）=tanatanb，即+=，即=，即=，sin2c=coscsinasinb，利用正弦定理可得c2=abcosc，cosc=再根据cosc=，可得=，a2+b2=3c2再根据 sin2a+sin2b=（m2+1）sin2c，可得a2+b2=（m2+1）c2m2+1=3，m=，故答案为：三、解答题17已知各项均为正数的等差数列an满足：a4=2a2，且a1，4，a4成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）求同时满足下列条件的所有an的和：20n116；n能够被5整除【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质【分析】（1）根据题意，列出方程组，求出首项a1和公差d，写出通项公式即可；（2）得出满足条件的n组成等差数列bn，求出bn的所有项的和，即可求出满足条件的所有an的和【解答】解：（1）根据题意，等差数列an中，a4=2a2，且a1，4，a4成等比数列，即，解得a1=2，d=2；数列an的通项公式为an=a1+（n1）d=2+2（n1）=2n；（2）an=2n，且n同时满足：20n116；n能够被5整除，满足条件的n组成等差数列bn，且b1=20，d=5，bn=115，项数为+1=20；bn的所有项的和为s20=2020+20195=1350，满足条件的所有an的和为2s20=21350=270018据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3000人进行调查，就“是否取消英语听力”的问题进行了问卷调查统计，结果如表：态度调查人群应该取消应该保留无所谓在校学生2100人120人y人社会人士500人x人z人已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.06（）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取300人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数x的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）由，先求出持“无所谓”态度的人数，由此能求出应在持“无所谓”态度的人中抽取的人数（2）由持“应该保留”态度的一共有180人，在所抽取的6人中，在校学生人数为4，社会人士人数为2，第一组在校学生人数x的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出x的分布列和ex【解答】解：（1）在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.06，解得x=60，持“无所谓”态度的人数为：3000210050012060=220，应在持“无所谓”态度的人中抽取220=22人（2）由（1）知持“应该保留”态度的一共有180人，在所抽取的6人中，在校学生人数为，社会人士人数为，于是第一组在校学生人数x的可能取值为1，2，3，p（x=1）=，p（x=2）=，p（x=3）=，x的分布列为： x 1 2 3 pex=219如图1，已知四边形abfd为直角梯形，为等边三角形，ad=df=2af=2，c为df的质点，如图2，将平面aed、bcf分别沿ad、bc折起，使得平面aed平面abcd，平面bcf平面abcd，连接ef、df，设g为ae上任意一点（1）证明：dg平面bcf；（2）求平面def与平面bcf所成锐二面角的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（）推导出cd平面aed，cd平面bcf，从而平面aed平面bcf，由此能证明dg平面bcf（）取ad的中点o，连结oe，则oead，以od为x轴，以平面aed过o的垂线为y轴，以oe为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面def与平面bcf所成锐二面角的余弦值【解答】证明：（）由题意知bcdc，平面aed平面abcd，平面aed平面abcd=ad，又cdad，cd平面aed，同理，cd平面bcf，平面aed平面bcf，又dc平面aed，dg平面bcf解：（）取ad的中点o，连结oe，则oead，平面aed平面abcd，平面aed平面abcd=ad，oe平面abcd，以od为x轴，以平面aed过o的垂线为y轴，以oe为y轴，建立空间直角坐标系，oe=，cf=1，则o（0，0，0），=（0，1，1），=（0，1，0），设平面def的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（，1，1），又=（0，1，0）是平面bcf的一个法向量，cos=，平面def与平面bcf所成锐二面角的余弦值为20如图，在平面直角坐标系xoy，设点m（x0，y0）是椭圆c： +=1上一点，从原点o向圆m：（xx0）2+（yy0）2=r2作两条切线分别与椭圆c交于点p、q，直线op，oq的斜率分别记为k1，k2（1）若圆m与x轴相切于椭圆c的左焦点，求圆m的方程；（2）若r=，求证：k1k2为定值；求|op|oq|的最大值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）椭圆c的左焦点是（2，0），x=2，代入+=1，可得y=1，求出圆的圆心，然后求圆m的方程；（2）因为直线op：y=k1x，oq：y=k2x，与圆r相切，推出k1，k2是方程（1+k2）x2（2x0+2ky0）x+x02+y02=0的两个不相等的实数根，利用韦达定理推出k1k2结合点m（x0，y0）在椭圆c上，得出k1k2=（i）当直线op，oq不落在坐标轴上时，设p（x1，y1），q（x2，y2），通过4k1k2+1=0，推出y12y22=x12x22，利用p（x1，y1），q（x2，y2），在椭圆c上，推出op2+oq2=20，即可求出|op|oq|的最大值【解答】解：（1）椭圆c的左焦点是（2，0），x=2，代入+=1，可得y=1，m（2，1）圆m的方程：（x+2）2+（y1）2=1；（2）因为直线op：y=k1x，oq：y=k2x，与圆r相切，所以直线op：y=k1x与圆m：（xx0）2+（yy0）2=联立，可得（1+k12）x2（2x0+2k1y0）x+x02+y02=0同理（1+k22）x2（2x0+2k2y0）x+x02+y02=0，由判别式为0，可得k1，k2是方程（x02）k22x0y0k+y02=0的两个不相等的实数根，k1k2=，因为点m（x0，y0）在椭圆c上，所以y02=1，所以k1k2=；（i）当直线op，oq不落在坐标轴上时，设p（x1，y1），q（x2，y2），因为4k1k2+1=0，所以y12y22=x12x22，因为p（x1，y1），q（x2，y2）在椭圆c上，所以y12y22=（4）（4）=x12x22，整理得x12+x22=16，所以y12+y22=4所以op2+oq2=20（ii）当直线落在坐标轴上时，显然有op2+oq2=20，综上：op2+oq2=20所以|op|oq|（op2+oq2）=10，所以|op|oq|的最大值为1021已知函数f（x）=mlnx+2nx2+x（x0，mr，nr）（1）若曲线y=f（x）在（1，f（1）处的切线方程为2x+y1=0，求f（x）的递增区间；（2）若m=1，是否存在nr，使f（x）的极值大于零？若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，得到关于m，n的方程组，求出m，n的值，从而求出f（x）的表达式，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；（2）求出f（x）的导数，通过讨论n的范围，得到n0时，不合题意，n0时，问题转化为求使f（x2）0的实数m的取值范围，构造函数g（x）=lnx+，求出g（x）的单调性，从而求出n的范围即可【解答】解：（1）由题意得：f（x）=+4nx+1，f（1）=1+m+4n，由f（1）=1，得：k=2，解得：m=1，n=1，f（x）=lnx2x2+x，f（x）=（x0），令f（x）0，解得：0x，f（x）在（0，）递增；（2）由题意得：f（x）=lnx+2nx2+x，f（x）=（x0），n0时，f（x）0在（0，+）恒成立，故无极值，n0时，令f（x）=0，得：4nx2+x+1=0，则=116n0，x1x2=0，不妨设x10，x20，则f（x）=，即求使f（x2）0的实数m的取值范围，由，得：lnx2+0，构造函数g（x）=lnx+，则g（x）=+0，g（x） 在（0，+）递增，由g（1）=0，由g（x）0，解得：x1，即x2=1，解得：n0，由得：n（，0）选修4-1：几何证明选讲22如图，o的弦ed，cb的延长线交于点a（1）若bdae，ab=4，bc=2，ad=3，求ce的长；（2）若=， =，求的值【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）首先根据题中圆的切线条件再依据割线定理求得一个线段ae的长，再根据勾股定理的线段的关系可求得ce的长度即可（2）由已知ac=2ab，ae=3ad，从而ad=，由abdaec，能求出的值【解答】解：（1）