（全国通用）2017届高考数学一轮总复习 第十四章 推理与证明专用题组 理 新人教B版.doc

第十四章推理与证明考点一合情推理与演绎推理8.(2012湖南,16,5分)设n=2n(nn*,n2),将n个数x1,x2,xn依次放入编号为1,2,n的n个位置,得到排列p0=x1x2xn.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前和后个位置,得到排列p1=x1x3xn-1x2x4xn,将此操作称为c变换,将p1分成两段,每段个数,并对每段作c变换,得到p2;当2in-2时,将pi分成2i段,每段个数,并对每段作c变换,得到pi+1.例如,当n=8时,p2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时x7位于p2中的第4个位置.(1)当n=16时,x7位于p2中的第个位置;(2)当n=2n(n8)时,x173位于p4中的第个位置.答案(1)6(2)32n-4+11解析(1)由已知可得p1=x1x3x5x7x9x11x13x15x2x4x6x8x10x12x14x16,p2=x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x10x14x4x8x12x16,所以x7位于p2中第6个位置.(2)根据题意可知p4将这2n个数分成16段,每段有2n-4个数,每段数下标分别构成公差为16的等差数列,第1段的首项为1,其通项公式为16n-15,当16n-15=173时,n=n*;第2段的首项为9,其通项公式为16n-7,当16n-7=173时,n=n*;第3段的首项为5,其通项公式为16n-11,当16n-11=173时,n=n*;第4段的首项为13,其通项公式为16n-3,当16n-3=173时,n=11n*,故x173位于p4中第32n-4+11个位置上.评析本题主要考查了等差数列及归纳推理的方法和思想,要求学生能从所给的信息中总结出规律,考查学生分析问题、解决问题的能力.解题过程体现了由特殊到一般的思想.9.(2014北京,20,13分)对于数对序列p:(a1,b1),(a2,b2),(an,bn),记t1(p)=a1+b1,tk(p)=bk+maxtk-1(p),a1+a2+ak(2kn),其中maxtk-1(p),a1+a2+ak表示tk-1(p)和a1+a2+ak两个数中最大的数.(1)对于数对序列p:(2,5),(4,1),求t1(p),t2(p)的值;(2)记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列p:(a,b),(c,d)和p:(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较t2(p)和t2(p)的大小;(3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列p使t5(p)最小,并写出t5(p)的值.(只需写出结论)解析(1)t1(p)=2+5=7,t2(p)=1+maxt1(p),2+4=1+max7,6=8.(2)t2(p)=maxa+b+d,a+c+d,t2(p)=maxc+d+b,c+a+b.当m=a时,t2(p)=maxc+d+b,c+a+b=c+d+b.因为a+b+dc+b+d,且a+c+dc+b+d,所以t2(p)t2(p).当m=d时,t2(p)=maxc+d+b,c+a+b=c+a+b.因为a+b+dc+a+b,且a+c+dc+a+b,所以t2(p)t2(p).所以无论m=a还是m=d,t2(p)t2(p)都成立.(3)数对序列p:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的t5(p)值最小,t1(p)=10,t2(p)=26,t3(p)=42,t4(p)=50,t5(p)=52.评析本题考查了集合的表示、不等式、合情推理等知识;考查综合分析,归纳抽象,推理论证能力;熟练运用归纳的方法,通过特例分析理解抽象概念是解题的关键.10.(2012福建,17,13分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:sin213+cos217-sin 13cos 17;sin215+cos215-sin 15cos 15;sin218+cos212-sin 18cos 12;sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 48;sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解析解法一:(1)选择式,计算如下:sin215+cos215-sin 15cos 15=1-sin 30=1-=.(2)三角恒等式为sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=.证明如下:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=sin2+(cos 30cos +sin 30sin )2-sin (cos 30cos +sin 30sin )=sin2+cos2+sin cos +sin2-sin cos -sin2=sin2+cos2=.解法二:(1)同解法一.(2)三角恒等式为sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=.证明如下:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=+-sin (cos 30cos +sin 30sin )=-cos 2+(cos 60cos 2+sin 60sin 2)-sin cos -sin2=-cos 2+cos 2+sin 2-sin 2-(1-cos 2)=1-cos 2-+cos 2=.评析本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等基础知识,考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力,考查特殊与一般思想、化归与转化思想.考点二直接证明与间接证明考点三数学归纳法5.(2014陕西,21,14分)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf (x),x0,其中f (x)是f(x)的导函数.(1)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x),nn+,求gn(x)的表达式;(2)若f(x)ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;(3)设nn+,比较g(1)+g(2)+g(n)与n-f(n)的大小,并加以证明.解析由题设得,g(x)=(x0).(1)由已知得,g1(x)=,g2(x)=g(g1(x)=,g3(x)=,可得gn(x)=.下面用数学归纳法证明.当n=1时,g1(x)=,结论成立.假设n=k时结论成立,即gk(x)=.那么,当n=k+1时,gk+1(x)=g(gk(x)=,即结论成立.由可知,结论对nn+成立.(2)已知f(x)ag(x)恒成立,即ln(1+x)恒成立.设(x)=ln(1+x)-(x0),即(x)=-=,当a1时,(x)0(仅当x=0,a=1时等号成立),(x)在0,+)上单调递增,又(0)=0,(x)0在0,+)上恒成立,a1时,ln(1+x)恒成立(仅当x=0时等号成立).当a1时,对x(0,a-1有(x)0,(x)在(0,a-1上单调递减,(a-1)1时,存在x0,使(x)n-ln(n+1).证明如下:证法一:上述不等式等价于+,x0.令x=,nn+,则ln.下面用数学归纳法证明.当n=1时,ln 2,结论成立.假设当n=k时结论成立,即+ln(k+1).那么,当n=k+1时,+ln(k+1)+ln(k+1)+ln=ln(k+2),即结论成立.由可知,结论对nn+成立.证法二:上述不等式等价于+,x0.令x=,nn+,则ln.故有ln 2-ln 1,ln 3-ln 2,ln(n+1)-ln n,上述各式相加可得ln(n+1)+.结论得证.证法三:如图,dx是由曲线y=,x=n及x轴所围成的曲边梯形的面积,而+是图中所示各矩形的面积和,+dx=dx=n-ln(n+1),结论得证.6.(2014江西,21,14分)随机将1,2,2n(nn*,n2)这2n个连续正整数分成a,b两组,每组n个数.a组最小数为a1,最大数为a2;b组最小数为b1,最大数为b2.记=a2-a1,=b2-b1.(1)当n=3时,求的分布列和数学期望;(2)令c表示事件“与的取值恰好相等”,求事件c发生的概率p(c);(3)对(2)中的事件c,表示c的对立事件,判断p(c)和p()的大小关系,并说明理由.解析(1)当n=3时,的所有可能取值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成a,b两组,不同的分组方法共有=20种,所以的分布列为2345pe=2+3+4+5=.(2)和恰好相等的所有可能取值为n-1,n,n+1,2n-2.又和恰好相等且等于n-1时,不同的分组方法有2种;和恰好相等且等于n时,不同的分组方法有2种;和恰好相等且等于n+k(k=1,2,n-2)(n3)时,不同的分组方法有2种,所以当n=2时,p(c)=,(3)由(2)知当n=2时,p()=,因此p(c)p(),而当n3时,p(c)p().理由如下:用数学归纳法来证明:1当n=3时,式左边=4(2+)=4(2+2)=16,式右边=20,所以式成立.那么,当n=m+1时,即当n=m+1时式也成立.综合1,2得,对于n3的所有正整数,都有p(c)p()成立.评析本题主要考查随机变量的分布列、数学期望及概率和数学归纳法,同时考查学生的逻辑推理能力及分析、解决问题的能力.属难题.7.(2012上海,23,18分)对于数集x=-1,x1,x2,xn,其中0x1x22,且-1,1,2,x具有性质p,求x的值;(2)若x具有性质p,求证:1x,且当xn1时,x1=1;(3)若x具有性质p,且x1=1、x2=q(q为常数),求有穷数列x1,x2,xn的通项公式.解析(1)选取a1=(x,2),y中与a1垂直的元素必有形式(-1,b).所以x=2b,从而x=4.(2)证明:取a1=(x1,x1)y.设a2=(s,t)y满足a1a2=0.由(s+t)x1=0得s+t=0,所以s,t异号.因为-1是x中唯一的负数,所以s,t之中一为-1,另一为1,故1x.假设xk=1,其中1kn,则0x11tx1,矛盾;若t=-1,则xn=sx1qk-1,所以xk+1=qk.综上所述,xi=qi-1,i=1,2,