求解一道2014年高考数学压轴题的心路历程.pdf

4 8中学数学教学2 0 1 4 年第6 期 l 复习 考试 k 求解一道2 0 1 4 年高考数学压轴题的心路历程 湖北省武汉市黄陂六中梅磊 邮编 4 3 0 3 0 0 作为高考数学理科压轴题历来都是社会关 注的热点 当2 0 1 4 年高考落下帷幕之时 笔者尝 试探究今年湖北卷理科压轴题 在亲历求解这道 题的过程之中 真切地感悟到命题人用心良苦 愿与大家交流 题目丌为圆周率 e 一2 7 1 8 2 8 为自然 对数的底数 工 求函数 z 一堕的单调区问 3 7 求e 3 3 e 7 c 3 7 c 3 这6 个数中 的最大数与最小数 将e 3 3 e 7 c 8 3 7 c 3 这6 个数按 从小到大的顺序排列 并证明你的结论 初读试题 稳中求变出新的命题风格扑面而 来 与2 0 1 1 2 0 1 3 年湖北高考理科数学压轴题 相比 虽然第 I 问还是利用导数研究函数性态 的常见题型 但第 1 1 问和第 1 l I 问却一改往年 证明不等式的套路 改为与不等式相关的求最值 和比较大小 稳中求变出新 命题人用心良苦 1 解法探究 解答高考数学压轴题的历程是富有挑战性 的 不仅要有扎实的数学功底 而且需要细心和 耐心 在细心中对题设条件 有关提取 在细心 中对隐含关系 有用捕捉 在细心中对所求结论 有效转化 根据题设条件拟定解题方向要有耐 心 解题过程中不断修正解题方案要有耐心 把 解题过程用数学语言表达出来要有耐心 1 1 在稳定中起步 第 I 问求函数厂 z 一些的单调区间 正 有一种似曾相识的感觉 命题形式和求解方法都 与课本例题完全相同 起步段的解题心情是愉 快的 解函数厂 z 的定义域为 0 因为 厂 z 一墼 所以厂7 z 一上 7 C Z 当 厂 z 0 即0 z e 时 函数厂 z 单 调递增 当 厂 z e 时 函数 z 单调 递减 故函数 z 的单调递增区间为 o e 单 调递减区间为 e 感悟作为湖北课改后高考的第三年 今年 理科压轴题的第 I 问比2 0 1 1 2 0 1 3 年湖北高 考理科数学压轴题第 工 问求函数的最值起点 还要低 有着积极的导向作用 这种命题风格也 倍受教学一线的广大高中数学教师的欢迎 1 2 在变化中承接 从第 工 问到第 I I 问有一个思维跨越 从 试题的字里行间里好像看不到解题方向 首先搜 索知识储备 分析结论 要 求e 3 3 e 7 c e 3 丌3 这6 个数中的最大数与最小数 注意到 这6 个数都是指数形式和幂形式 容易想到要利 用指数函数和幂函数的单调性 接着打开记忆闸 门 联想到经典试题 1 9 8 3 年高考理科数学压轴 题第 I 问如下 已知握 b 为实数 并且 e 口 扩 第 1 I 问与上面的经典试题极为相似 解题 方法也应该相似 而上面试题就可以利用函数 厂 z 堕的单调性来证明 函数厂 z 一坐 上Z 的单调性正是第 I 问的终点 也是第 问的 起点 这也与以往的解题经验相符 承接段的解 题心情是兴奋的 解根据指数函数y e x y 一矿在定义域 上单调递增 可得e 3 e 丌 7 c 3 根据幂函数y z Y z 在定义域上单 调递增 可得3 8 7 e 3 万方数据 2 0 1 4 年第6 期中学数学教学 4 9 从而3 丌 7 3 e 3 e 3 故这6 个数的最大数在兀3 与3 之中 最小 数在3 与e 3 之中 由e 3 丌及 I 的结论 得f T r 3 厂 e 即l n T t 掣 l n e 由警 警 得l n 兀3 由掣 些 得l n 3 e l n e 3 所以3 e e 3 综上 6 个数中的最大数是3 最小数 是3 8 感悟第 I I 问一改往年证明不等式的传 统模式 改为求最值 而利用函数的单调性既可 以证明不等式 也可以求最值 命题人不一味迎 合高中数学教学题型模式 规避题型套路 拓展 命题空间 稳中求变出新 变而不怪 新而不难 可谓用心良苦 在解题过程中 我们发现 经典的 1 9 8 3 年高考理科数学压轴题就是今年这道压轴 题的命题之源 1 3 在创新中收官 从第 I I 问到第 1 1 1 问是一个自然的拓展 求出了 e 3 3 e 兀 3 7 c 3 这6 个数中的 最大数与最小数 我们自然想到能否 将e 3 3 8 酽 兀 3 x 兀3 这6 个数按从小到大的顺序 排列 利用第 1 I 问方法 不难得到 3 兀 7 3 3 3 e 3 e 3 且7 r e e 3 e 7 r e e 8 e 3 7 r 3 7 c 7 c 3 不能判断e 3 与7 c 的大小 尝试失 败 尝试2 分别取对数 要比较e 3 与7 c 的大 小 只需比较3 与e l l l r 的大小 于是要找出含有 l 叼的等式或不等式 注意到当0 z e 时 厂 z 厂 e 一 即警 在上式中 令z 1 n 旦 一旦 则 旦 从而1 一l n 丌 7 r 三 e 7 r 1 一土 e l n 丌 e f l 一上1 不能判断3 与P l n r 的 丌 7 r 大小 尝试失败 尝试3 尝试2 虽然失败了 但是找出了构 造含有l 衄的不等式的一条途经 稍作调整 令z e 2 I n 一芏 则 乒 上 从而2 一I n 丌 7 r e C7 2 一旦 e l n 7 c e 2 一旦1 3 进而兀e e 3 7 f 丌 类似可得e 兀3 收官段的解题心情是喜 悦的 解由 1 I 知 3 2 兀e 7 c 3 3 3 e 3 7 r e 故只需比较e 3 与兀8 和e 与兀3 的大小 由 I 知 当0 z e 时 z e 一 三 即l n x 1 1e 2 在上式中 令z 一竺 则 I n 乒 从而2 0 1 r e e l n 7 c 2 一旦 由 得 e l n 7 c e 2 一旦 2 7 2 一 篇 2 7 2 o 8 8 司0 2 4 3 即e l n c 3 亦即l n 丁 l n e 3 故e 3 6 3 e 6 一e 兀 即 3 l 眦 7 c 所以e 8 7 c 3 综上可得6 个数从小到大的顺序为3 8 e 3 7 e 7 c 3 3 感悟第 问围绕比较六个特殊数的大 小关系 要求考生借助所给函数模型的单调性进 行推理判断 寻找合理简洁的比较途径 在比较 大小的过程中 体现着算法思想 化归与转化的 思想和分类与整合的思想 比较方法的多样性和 选择性 又包含着对推理论证能力 运算求解能 力和合情探究能力的要求以及思维品质的甄别 万方数据 5 0中学数学教学2 0 1 4 年第6 期 一道选择压轴题的模型分析与拓展 安徽省定远县第一初级中学韩敬 邮编 2 3 3 2 0 0 试题如图1 正方形A B C D 的对角线B D 的长为2 2 若直线z 满足 点D 到直线z 的距 离为 3 A C 两点到直线z 的距离相等 则符 合题意的直线z 的条数为 A 1B 2C 3 D 4 这道题是2 0 1 4 安徽省中考选择题的压轴 题 既考查了正方形的性质与点到直线距离相关 性质 也考查了学生动手操作能力 分析与解决 问题的能力 难度不大 小巧新颖 是一道好题 值得研究 本文有别于常规解法 用模型法对此 问题进行分析 探索中也发4 现了一些结论 在解答本题前 先探索 双点到直线的等距离模型 模型1 与已知M N 两点 距离相等且在直线M N 同 侧的直线有2 条 分别为 图1 z z 如图2 显然M N l z 这是静态 的 从动的角度来看 点M N 两点到某直线的距 离相等 距离的不断变化 就是直线的平移变化 既能让优秀考生脱颖而出 又不会让一般考生望 题生畏 试题在降低起点的同时 稳中求变出 新 立足基础的同时 强调能力立意 突出导向的 同时 确保甄别功能 再次感悟命题人的良苦 用心 2 解后反思 长期以来 高考理科数学压轴题给人的印象 是相当难 而2 0 1 4 年高考数学湖北卷理科压轴 题明显比往年简单 看似意料之外 实在情理 之中 从压轴题的功能看 应该具有必要的难度和 较强的区分度 有利于高校选拔优秀人才 为此 命题组担心的是压不压得住的问题 而高中师生 考虑的则是做不做的问题 命题与应试之间的矛 盾凸显无疑 在认同命题者水平的前提下 值得 引起我们注意和反思的一个误区 就是部分高中 数学教师指导学生复习备考的 异化 现象 即明 确告诉学生不要在压轴题上浪费过多的时间 甚 至干脆让学生放弃压轴题 在这种应试意识的影 响下 教师自己也疏于对压轴题的研究 不愿意 或舍不得花时间去领悟压轴题的味道 从而也就 难以指导学生去研究压轴题 挑战压轴题 征服 压轴题 这种消极的影响造成考生对压轴题的心 理畏惧是可想而知的 每年总有部分考生因为时 间关系无暇顾及压轴题 这是正常的 但不少考 生在时间允许的情况下完全放弃压轴题 甚至考 后连压轴题是什么样的题都不知道 这就不正常 了 如果今年湖北考生完全放弃压轴题的话 恐 怕是要吃大亏了 2 0 1 4 年高考数学湖北卷理科压轴题发出的 信号是强烈的 不要完全放弃压轴题 而要勇敢 挑战压轴题 压轴题一般都会设置层次分明的台 阶 人口宽 上手易 只是深入难 解到底难 但即 使难 解题所用的方法也是通性通法和常规 常法 因此 对于考生而言 只要消除对压轴题的 心理障碍 树立解答压轴题信心 冷静思考 仔细 分析 努力一把 往往就可以迎刃而解 对于教师 而言 更