小学五年级数学精读第11-20讲（附答案+精彩讲解）［妈妈身边的贴心家教］

第 11讲 计算问题第 06讲 估算与比较 通分与裂顶（ 43） 1.除式 12345678910111213 31211101987654321 计算结果的小数点后前三位数字是多少？ 解法一： A 大于 1234 3122=0.3952， A 小于 1235 3121=0.3957， 0.3952 小于 A 小于 0.3957 答：计算结果的小数点后前三位数字是 395。 解法二： 1234 3121 0.3953 0.395 答：计算结果的小数点后前三位数字是 395。 2计算下式的值，其中小数部分 四舍五入，答案仅保留整数： 33.3332-3.1415926 0.618. 解： 33.3332-3.1415926 0.618（ 100/3） 2-5=10000/9-5 1111-5=1106 答：保留整数约等于 1106。 3.在 1,1/2,1/3,1/4,。 1/99， 1/100 中选出若干个数使它们的和大于 3，最少要选多少个数？ 解法一： 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/101+(1/2+1/3+1/6)+(1/4+1/8)+(1/5+1/10)+2/7=2+3/8+3/10+2/7=2+269/2801+(1/2+1/3+1/6)+(1/4+1/8)+(1/5+1/10)+1/8+(1/9+1/11) =1+1+(3/8+1/8)+3/10+20/99 =2+4/8+3/10+20/99 2+1/2+3/10+20/100 =3 答：最少要选出 11 个数。 解法二： 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6=1+（ 1/2+1/3+1/6） +1/4+1/5=2+1/4+1/5=2.453 1/7=0.142 ,1/8=0.125， 1/9=0.1（ 1 循环）， 1/10=0.1，所以 1/7+1/8+1/9+1/10=0.478， 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10=2.9283 答：最少要选出 11 个数。 4数 1/（ 1/10+1/11+1/12+ +1/19）的整数部分是几？ 解： 1/10+1/11+1/12+ +1/1910*1/20=1/2 所以 1/1 （ 2）请把 656/657， 52/53， 2679/2680， 8/9 这 4 个数从大到小排列。 解：（ 1） A 小于 1/2， B 小于 1/2， 1/2-A=1/（ 2 222222221）， 1/2-B=1/（ 2 888888887） 1/2-B 小于 1/2-A， B 大于 A （ 2） 656/657=1-1/657， 52/53=1-1/53， 2679/2680=1-1/2680,8/9=1-1/9 因为 1/9 大于 1/53 大于 1/657 大于 1/2680，所以 2679/2680 大于 656/657 大于 52/53 大于 8/9 答：（ 1） A 与 B 中较大的是 B； （ 2） 2679/2680 大于 656/657 大于 52/53 大于 8/9. 7 24/31 小于 80/ 0，所以（ 4）最小， 3/8+8/20=31/40 答：（ 4）式最小，（ 4） =31/40。 10.下面的 4 个算式中，哪个式子的得数最大？（ 1）（ 1/17+1/19） 20，（ 2）（ 1/24+1/29） 30，（ 3）（ 1/31+1/37） 40，（ 4）（ 1/41+1/47） 50。 解：（ 1）式 -2=3/17+1/19，（ 2）式 -2=6/24+1/29，（ 3）式 -2=9/31+3/37，（ 4）式 -2=9/41+3/47 因为 9/31+3/379/41+3/47， 9/31+3/379/36+3/89=6/24+1/29， 9/31+3/379/51+3/57=3/17+1/19，所以（ 3）式最大。 答：（ 3）式最大。 11.从所有分母小于 10 的真分数中，找出一个最接近 0.618 的分数。 解：分母小于 10 的真分数分母可以是 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9。 分母是 1，罱咏 ?.618 的分数是 1/1， 1-0.618=0.382； 分母是 2，最接近 0.618 的分数是 1/2， 0.618-1/2=0.118； 分母是 3，最接近 0.618 的分数是 2/3， 2/3-0.618=0.049； 分母是 4，最接近 0.618 的分数是 3/4， 3/4-0.618=0.132； 分母是 5，最接近 0.618 的分数是 3/5， 0.618-3/5=0.018； 分母是 6，最接近 0.618 的分数是 4/6， 4/6-0.618=0.049； 分母是 7，最接近 0.618 的分数是 4/7， 0.618-4/7=0.047； 分母是 8，最接近 0.618 的分数是 5/8， 5/8-0.618=0.007； 分母是 9，最接近 0.618 的分数是 6/9， 6/9-0.618=0.049。 0.007 最小，所以 5/8 最接近 0.618。 答：最接近 0.618 的是 5/8。 12.计算：（ 1+1/2）（ 1-1/2）（ 1+1/3）（ 1-1/3）（ 1+1/99）（ 1-1/99）。 解：（ 1+1/2）（ 1-1/3） =3/2 2/3=1，（ 1+1/3）（ 1-1/4） =4/3 3/4=1，（ 1+1/98）（ 1-1/99） =99/98 98/99=1 所以，（ 1+1/2）（ 1-1/2）（ 1+1/3）（ 1-1/3）（ 1+1/99）（ 1-1/99） =（ 1-1/2）（ 1+1/99） =1/2 100/99=50/99 答：计算结果是 50/99。 13.计算： 1+3（ 1/6） +5（ 1/12） +7（ 1/20） +9（ 1/30） +11（ 1/42） +13（ 1/56） +15（ 1/72） +17（ 1/90） 。 解： 1+3（ 1/6） +5（ 1/12） +7（ 1/20） +9（ 1/30） +11（ 1/42） +13（ 1/56） +15（ 1/72） +17（ 1/90） =（ 1+3+5+7+9+11+13+15+17） +（ 1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90） =81+（ 1/2-1/3） +（ 1/3-1/4） +（ 1/4-1/5） +（ 1/5-1/6） +（ 1/6-1/7） +（ 1/7-1/8） +（ 1/8-1/9） +（ 1/9-1/10） =81+1/2-1/10 =81（ 2/5） 此主题相关 图片如下： 14计算：（ 1/8+1/24+1/48+1/80+1/120+1/168+1/224） 64。 解：（ 1/8+1/24+1/48+1/80+1/120+1/168+1/224） 64 =(1/4-1/8+)+(1/8-1/12)+(1/12-1/16)+(1/16-1/20)+(1/20-1/24)+(1/24-1/28)+(1/28-1/32) 64 =(1/4-1/32) 64 =7/32 64 =14 答：计算结果是 14。 15.计算： 1-2/（ 1（ 1+2） -3/（ 1+2）（ 1+2+3） -4/（ 1+2+3）（ 1+2+3+4） - -10/（ 1+2+9）（ 1+2+ +9+10） 解： 1-2/（ 1（ 1+2） -3/（ 1+2）（ 1+2+3） -4/（ 1+2+3）（ 1+2+3+4） - -10/（ 1+2+ +9）（ 1+2+ +9+10） =1-2/1 3-3/3 6-4/6 10- -10/45 55 =1-（ 1-1/3） -（ 1/3-1/6） -（ 1/6-1/10） - -（ 1/45-1/55） =1-（ 1-1/3+1/3-1/6+1/6-1/10+ +1/45-1/55） =1-（ 1-1/55） =1/55 答：计算结果是 1/55。 此主题相关图片如下： 第 12 讲 应用题第 14 讲 行程问题之四（ 47） 1.有一座时钟现在显示 10 时整。那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？ 解： 10 时整，分针与时针距离是 10 格，需要追击的距离是（ 60-10）格，分针走 60 格，时针走 5 格，即分针走 1 格，时针走 5/60=1/12 格。 第一次重合经过 （ 60-10） /（ 1-1/12） =54（ 6/11）（分） 第二次重合再经过 60/（ 1-1/12） =65（ 5/11）（分） 答：经过 54（ 6/11）分钟，分针与时针第一次重合；再经过 65（ 5/11）分钟，分针与时针第二次重合。 2. 8 时到 9时之间时针和分针在“ 8”的两边，并且两针所形成的射线到“ 8”的距离相等。问这时是 8时多少分？ 解： 8 时到 9 时之间，时针和分针在“ 8”的两边，并且距离相等，说明时针和分针走过的距离之和时 40格，经过的时间是 40/（ 1+1/12） =36（ 12/13）（分） 答：这时是 8 时 36（ 12/13）分。 3.某人下午六时多外出买东西，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为 110，七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是 110。那么此人外出多少分钟？ 解：分针从时针后 110到时针前 110，追上 了 220， 220 /360 *60=110/3 格，时间是 110/3/（ 1-1/12）=40（分） 答：此人外出 40 分钟。 4.甲、乙两车分别从 A,B 两地同时相向而行， 6 小时后相遇在 C 点。如果甲车速度不变，乙车每小时多行5 千米，且两车还从 A， B两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 12千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行 5 千米，且两车还从 A， B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 16 千米。甲车原来每小时行多少千米？ 解：设一方加速后相遇时间是 X 小时，甲、乙如果都不加速距离将是（ 12+16）千米，这段距 离是速度差 5千米形成的。 X=28/5=28/5（小时），甲以原来的速度，用（ 6-28/5）小时行 12 千米，速度是每小时 12/（ 2/5） =30（千米） 答：甲车原来每小时行 30 千米。 5.甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1小时，甲与乙在离山顶 600米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？ 解法一：甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲走过的路程应该是一个单程的 1*1.5+1/2=2 倍，就是说甲下山的速度是乙上山速度的 2 倍。 两人相遇时走了 1 小时，这时甲还要走一段下山路，这段下山路乙上山用了 1 小时，所以甲下山要用 1/2小时。 甲一共走了 1+1/2=1.5（小时） 答：甲回到出发点共用 1.5 小时。 解法二：相遇时甲已经下山 600 米，走这 600 米的时间，如果甲用上山速度只能走 600/1.5=400 米，所以上山速度一小时甲比乙多走 600+400=1000 米。 乙到山顶时甲下到半山腰，甲走 1/2 下山路的时间，如果用来上山，只能走 1/2/1.5=1/3 的上山路，所以乙走完上山路的时间里，甲可 以走上山路的 1+1/3=4/3 倍，说明上山速度甲是乙的 4/3 倍。 甲上山速度是 1000/（ 4/3-1） =4000（米），下山速度是 4000*1.5=6000（米），上山路程是 4000-400=3600（米），出发 1 小时后，甲还有下山路 3600-600=3000（米），要走 6000/3000=0.5（小时） 一共要走 1+0.5=1.5（小时） 答：甲回到出发点共用 1.5 小时。 6.男、女两名运动员在长 110米的斜坡上练习跑步（坡顶为 A，坡底为 B）。两人同时从 A 点出发，在 A，B 之间不停地往返奔跑。已知男运动员 上坡速度是每秒 3米，下坡速度是每秒 5米，女运动员上坡速度是每秒 2 米，下坡速度是每秒 3 米。那么两人第二次迎面相遇的地点离 A 点多少米？ 解：男下到 B 点时，女离 A 点 3/5 第一次迎面相遇时，两人离 A 点 1-2/5*1/2=4/5 女下到 B 点时，男离 A 点 4/5-1/5=3/5 男回到 A 点时，女离 A 点 3/5 第二次迎面相遇时，两人离 A 点 3/5*5/7=3/7 3/7*110=47（ 1/7）（米） 答：两人第二次迎面相遇的地点离 A 点 47（ 1/7）米。 7.某人沿电车线路行走，每 12 分钟有一辆电车从后面追上，每 4分钟有一 辆电车迎面开来。假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔。 解：发车距离是 1， 12 分钟追上行人，车和人速度差是 1/12 车 4 分钟与行人迎面相遇，车和人速度和是 1/4 车的速度是（ 1/12+1/4） /2=1/6 发车间隔时间 =1/（ 1/6） =6（分） 答：这个发车间隔是 6 分钟。 8.A， B 两地相距 105千米，甲、乙两人分别骑车从 A， B两地同时出发，甲速度为每小时 40 千米，出发后 1 小时 45 分钟相遇，然后甲、乙两人继续沿各自方向往前骑。在他们相遇 3 分钟后，甲与迎面骑车而来的丙相遇，而丙在 C 地追上乙。若甲 以每小时 20 千米的速度，乙以每小时比原速快 2 千米的车速，两人同时分别从 A， B 出发相向而行，则甲、乙二人在 C 点相遇，问丙的车速是多少？ 解：乙原来车速是每小时 105/1（ 45/60） -40=20（千米） 乙加速后与甲在 C 相遇， CA 距离是 20*105/（ 20+22） =50（千米） 乙原来速度到 C 点时间是（ 105-50） /20=11/4（小时） 甲、乙原来相遇地点与 C 点的距离是 40*1（ 48/60） -50=22（千米） 丙走这 22 千米用的时间是 11/4-1（ 48/60） =19/20（小时） 丙车速是每小时 22/（ 19/20） =23（ 3/19）（千米） 答：丙的车速是每小时 23（ 3/19）千米。 9.从甲市到乙市有一条公路，它分成三段。在第一段上，汽车速度是每小时 40千米；在第二段上，汽车速度是每小时 90千米；在第三段上，汽车速度是每小时 50千米。已知第一段公路的长恰好是第三段的 2倍，现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行， 1小时 20分后，在第二段从甲到乙方向的 1/3处相遇。那么，甲、乙两市相距多少千米？ 解：从乙市出发车走完第三段时，从甲市出发车走完第一段的 1/2*40/50=2/5 路程，第一段还 剩 3/5。 两车在第二段距离甲 1/3 地方相遇，说明甲走完第一段剩下的 3/5 路程，和乙走第二段 1/3 路程时间相同。 这段时间是 80/（ 2/3+1+1） =30（分钟） 汽车走第一段时间是 30*（ 2/3+1） =50（分钟） 汽车走第二段时间是 30*3=90（分钟） 汽车走第三段时间是 30*（ 2/3） =20（分钟） 甲、乙两市相距 40*50/60+90*90/60+50*20/60=185（千米） 答：甲、乙两市相距 185 千米。 10.甲、乙两人在 400米圆形跑道上进行 10000米比赛。两人从起点同时出发，开始时 甲的速度为每秒 8米，乙的速度为每秒 6米。当甲每次追上乙后，甲的速度减少 2米，乙的速度减少 0.5 米。这样下去，直到甲发现乙第一次追上自己开始，两人都把速度每秒增加 0.5 米，直到终点。那么领先者到达终点是，另一个人距终点多少米？ 解：甲第一次追上乙时跑的时间是 400/（ 8-6） =200（秒），甲跑 8*200=1600（米），乙跑 6*200=1200（米） 甲第二次追上乙时又跑的时间是 400/（ 6-5.5） =800（秒），甲又跑 6*800=4800（米），乙又跑 5.5*800=4400（米） 乙追上甲跑的时间是 400/（ 5-4） =400（秒），甲又跑 4*400=1600（米），乙又跑 5*400=2000（米） 甲还剩 10000-（ 1600+4800+1600） =2000（米），乙还剩 10000-（ 1200+4400+2000） =2400（米） 甲到终点还要跑 2000/4.5=444（ 4/9）（秒），乙还要跑 2400/5.5=436（ 4/11）（秒） 乙比甲先到 444（ 4/9） -436（ 4/11） =8（ 8/99）（秒） 乙到终点时甲距终点还有 4.5*8（ 8/99） =36（ 4/11）（米） 答：领先者到达终点是，另一个 人距终点 36（ 4/11）米。 11龟兔赛跑，全程 5.2千米，兔子每小时跑 20千米，乌龟每小时跑 3千米。乌龟不停地跑；但兔子却边跑边玩它先跑了 1分钟然后玩 15分钟，又跑了 2分钟然后玩 15分钟，再跑了 3 分钟然后玩 15分钟，那么先到达终点的比后到达终点的快多少分钟？ 解：兔子应跑的时间是 5.2/20*60=15.6（分）， 1+2+3+4+5=15，兔子中间休息了 5 次，跑到终点实际用了15.6+15*5=90.6（分） 乌龟跑到终点用的时间是 5.2/3*60=104（分） 兔子先到 104-90.6=13.4（分） 答：先到达终点的比后到达终点的快 13.4 分钟。 12 A， B 两地相距 125 千米，甲、乙二人骑自行车分别从 A， B 两地同时出发，相向而行。丙骑摩托车以每小时 63 千米的速度，与甲同时从 A 出发，在甲、乙二人间来回穿梭（胍蚁嘤隽捶祷兀?千米，且当丙第二次回到甲处时（甲、丙同时出发的那一次为丙第零次回到甲处），甲、乙二人相距 45 千米。问：当甲、乙二人相距 20 千米时，甲与丙相距多少千米？ 此主题相关图片如下： 解：设甲丙第一次相遇时甲走了 X，那么丙走了 63/9=7X， 7X 分为 2 段：甲走过的 X，丙又向前走再回到X 处共（ 7-1） =6X，所以丙比甲向前走了 6X/2=3X 的距离，在 4X 处与乙第一 次相遇。 设乙速度是甲速度的 V 倍，那么甲丙第一次相遇时乙走了 VX， VX 分为 2 段：丙走 4X 时与乙第一次相遇，乙走 4/7VX；丙返回与甲第一次相遇，乙又走了 3/7VX。 乙丙第一次相遇共走全程 S（就是 AB 的距离）， 4X+4/7*VX=S，得 X=7/（ 28+4V） S 假设甲丙第一次相遇时，甲乙的距离是 M， 3X-3/7VX=M， 得 3*7/（ 28+4V） S-3/7V*7/（ 28+4V） S=M 所以 M=（ 21-3V） /（ 28+4V） S，说明甲丙第一次相遇时，甲乙的距离是他们原来距离 S 的（ 21-3V） /（ 28+4V）倍 甲丙从距离 A 点 X 处继续向 B 走，乙从距离 B 点 VX 处继续向 A 走，也就是甲乙相距 M，过程和上面类似，甲丙第二次相遇时，甲乙的距离 N=（ 21-3V） /（ 28+4V） M=（ 21-3V） /（ 28+4V） *（ 21-3V） /（ 28+4V）S 题中给出 N=45， S=125，所以 45=（ 21-3V） /（ 28+4V） *（ 21-3V） /（ 28+4V） *125 得 9/25=（ 21-3V） /（ 28+4V） *（ 21-3V） /（ 28+4V） （ 21-3V） /（ 28+4V） =3/5，解得 V=7/9 所以乙的速度是 V*9=7 甲丙第三次相遇 时甲乙距离是 45*3/5=27，从这时到甲乙距离是 20 千米，还要走（ 27-20） /（ 9+7） =7/16小时 从甲丙第三次相遇到乙丙再次相遇需要时间 =27/（ 63+7） =27/70 小时 20 千米，丙还得往回走一点，需要时间是（ 729/35-20） /（ 9+7）小时 所以，当甲乙距离是 20 千米时，甲丙的距离是甲丙第三次相遇时甲乙的距离减去这段时间里甲丙又走的距离： 729/35-（ 729/35-20） /（ 9+7） *（ 9+63） =171/10=17.1（千米） 答：甲与丙相距 17.1 千米。 13一辆小汽车与一辆大卡车在一段 9千米长的狭路上相遇，必须倒车，才能继续通行。已知小汽车的速度是大卡车速度的 3 倍，两车倒车的速度是各自速度的 1/5，小汽车需倒车的路程是大卡车需倒车的路程的 4 倍。如果小汽车的速度是每小时 50 千米，那么要通过这段狭路最少用多少小时？ 解：小汽车倒车通过狭路时间（ 9*4/5） /（ 50/5） +9/50=9/10（小时） 大卡车倒车通过狭路时间（ 9*1/5） /（ 50*1/3*1/5） +9/（ 50/3） =54/50（小时） 9/1054/50 答：要通过这段狭路最少用 9/10 小时。 14在一个沙漠地带，汽车每天行驶 200 千米，每辆汽车载运可行驶 24 天的汽油。现有甲、乙两辆汽车同时从某地出发，并在完成任务后，沿原路返回。为了让甲车尽可能开出更远的距离，乙车在行驶一段路程后，仅留下自己返回出发地的汽油，将其他的油给甲车。求甲车所能开行的最远距离。 解：甲在乙折返点最多装满 24 天的油，乙的油相当于用于自己往返和甲到折返点，所以折返点距起点的路程是 24/（ 2+1） =8（天）。 甲在乙折返点装满 24 天的油，继续前进还可以走（ 24-8） /2=8（天），甲最多行 8+8=16（天）的路程，距离是 200*16=3200（千米） 答：甲车所能开行的最远距离是 3200 千米。 15甲、乙两班学生到离校 24 千米的飞机场参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生。为了尽快到达飞机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场，汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生。如果甲、乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的 7倍，那么汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达飞机场？ 解：甲班坐车路程 +AB=7*乙步， AB=（ 7-1） /2=3 倍乙步， AB=3 倍甲步 24/（ 3+1+1） =4.8（千米） 答：汽车应在距飞机场 4.8 千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达飞机场。 讨论区： 此主题相关图片如下： 5-12-07.某人沿电车线路行走，每 12分钟有一辆电车从后面追上，每 4分钟有一辆电车迎面开来。假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔。 另一解法： 相同间隔，速度和行 4分钟，速度差行 12 分钟， 12/4=3 倍，即从后面超过所行的路是迎面相遇所行路成的 3 倍，而从后面超过所行的路又是一个整间隔加上行人 12 分钟所走的路，因此，电车 12-4=8 分钟的行程等于行人 12+4=16 分钟所走的路，即电车速度是行人速度的 16/8=2 倍； 所以，电车间隔 =4/2/（ 2+1） =6 分钟。 以下是引用 abc 在 2004-10-7 13:54:23 的发言： 5-12-08.A， B 两地相距 105千米，甲、乙两人分别骑车从 A， B两地同时出发，甲速度为每小时 40千米，出发后 1 小时 45 分钟相遇，然后甲、乙两人继续沿各自方向往前骑。在他们 相遇 3 分钟后，甲与迎面骑车而来的丙相遇，而丙在 C 地追上乙。若甲以每小时 20千米的速度，乙以每小时比原速快 2千米的车速，两人同时分别从 A， B 出发相向而行，则甲、乙二人在 C 点相遇，问丙的车速是多少？ 解：乙原来车速是每小时 105/1（ 45/60） -40=20（千米） 乙加速后与甲在 C 相遇， CA 距离是 20*105/（ 20+22） =50（千米） 乙原来速度到 C 点时间是（ 105-50） /20=11/4（小时） 甲、乙原来相遇地点与 C 点的距离是 40*1（ 48/60） -50=22（千米） 丙走这 22 千米用的时间是 11/4-1（ 48/60） =19/20（小时） 丙车速是每小时 22/（ 19/20） =23（ 3/19）（千米） 答：丙的车速是每小时 23（ 3/19）千米。 补充一个图形： 此主题相关图片如下： 以下是引用 abc 在 2004-10-7 13:58:34 的发言： 5-12-13一辆小汽车与一辆大卡车在一段 9千米长的狭路上相遇，必须倒车，才能继续通行。已知小汽车的速度是大卡车速度的 3 倍，两车倒车的速度是各自速度的 1/5，小汽车需倒车的路程是大卡车需倒车的路程的 4 倍。如果小汽车的速度是每小时 50 千米，那么要通过这段狭路最少用多少小时？ 解：小汽车倒车通过狭路时间（ 9*4/5） /（ 50/5） +9/50=9/10（小时） 大卡车倒车通过狭路时 间（ 9*1/5） /（ 50*1/3*1/5） +9/（ 50/3） =54/50（小时） 9/108*100，两团总人数 100，总人数 =864/8=108（人）； 108*10=10801142，所以 1 个团人数大于 50， 1 个团人数小于 50。 若每个团都多与 50 人，分别买票花钱 108*10=1080，实际多 1142-1080=62（元），是小于 50 团多花的，小团人数是 62/（ 12-10） =31（人），大团人数是 108-31=77（人） 答：两个旅游团分别是 31 人和 77 人。 少 14 题 15.某游客在 10 时 15 分由码头划出一条小船，他欲在不迟于 13 时回到码头。河水的流速为每小时 1.4 千米，小船在静水中的速度为每小时 3千米，他每划 30分钟就休息 15分钟，中余不改变方向，并在某次休息后往回划。那么他最多能划离码头多远？ 解：划 30 分钟休 15 分钟共 45 分钟， 13 点 -10 点 15 分 =165 分钟 =30*4+15*3 分钟，可划 4 次休 3 次 顺流 1 次 30 分钟划（ 3+1.4） 30/60=2.2 千米，逆流 1 次 30 分钟划（ 3-1.4） 30/60=0.8 千米，休息 1 次 15分钟船漂走 1.4*15/60=0.35 千米。 假如先顺流， 45 分钟后在离码头 2.2+0.35=2.55 千米处，往回，可行 0.8*3-0.35*2=1.7 千米， 13 点回不来，所以他应该先逆流划。 逆流划 3 轮可以离码头最远，距离是 0.8*3-0.35*2=1.7 千米，剩下的时间连漂带划可以行 2.2*1+0.35*1=2.55 千米，大于 1.7 千米， 13 点前可以回到码头。 答：他最远能划离码头 1.7 千米。 第 16 讲 几何问题第 07 讲 直线 形面积（ 62） 1、图 16-1中三角形 ABC 的面积是 180平方厘米， D是 BC的中点， AD 的长是 AE 长的 3倍， EF 的长是 BF长的 3 倍。那么三角形 AEF 的面积是多少平方厘米？ 此主题相关图片如下： 解：三角形 ABD 和 ACD 等底同高面积相等， S ABD=1/2S ABC 三角形 ABE 是 ABD 底长的 1/3，高相同， S ABE=1/3 S ABD=1/6 S ABC 三角形 AEF 是 ABE 底长的 3/4，高相同， S AEF=3/4 S ABE=3/24 S ABC=3/24*180=22.5（平方厘米） 答：三角形 AEF 的面积是 22.5 平方厘米。 2、如图 16-2，把四边形 ABCD 的各边都延长 2倍，得到一个新四 边形 EFGH。如果 ABCD 的面积是 5平方厘米，则 EFGH 的面积是多少平方厘米？ 此主题相关图片如下： 解：连接 AF， AC。 AE=2AB，所以三角形 AEF 面积 =2*三角形 ABF 面积， BF=2*BC，所以三角形 ABF面积 =2*三角形 ABC 面积，这样三角形 BEF 面积 =6*三角形 ABC 面积 同样道理，三角形 DGH 面积 =6*三角形 ACD 面积 所以三角形 BEF 面积 +三角形 DGH 面积 =6*四边形 ABCD 面积 同样道理，三角形 AEH 面积 +三角形 CFG 面积 =6*四边形 ABCD 面积 所以， EFGH 面积 =（ 6+6+1） ABCD 面积 =13*5=65（平方厘米） 答： EFGH 的面积是 65 平方厘米。 3、图 16-3中的四边形土地的总面积是 52公顷 ，两条对角线把它分成了 4个小三角形，其中 2个小三角形的面积分别是 6 公顷和 7 公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？ 此主题相关图片如下： 解：因为三角形 ADO 与三角形 CDO 高相同，所以 AO/OC=ADO 面积 /CDO 面积 =6/7。 又因为三角形 ABO 与三角形 BCO 高相同，所以 ABO 面积 /BCO 面积 =AO/OC=6/7。最大的三角形是 BCO。三角形 ABC 面积 =四边形 ABCD 面积 -三角形 ADO 面积 -三角形 CDO 面积 =52-6-7=39，其中 ABO 占 6/13，BCO 占 7/13，所以三角形 BCO 面积 =39*7/13=21（公顷） 答：最大的一个三角形的面积是 21 公顷。 4、如图 16-4，已知 AE=1/5AC， CD=1/4BC， BF=1/6AB，那么三角形 DEF 的面积 /三角形 ABC 的面积等于多少？ 此主题相关图片如下： 解：连 AD，因为 CD=1/4AC，三角形 ACD 面积 /三角形 ABC 面积 =1/4，因为 AE=1/5AC，三角形 CDE 面积 /三角形 ACD 面积 =4/5，所以三角形 CDE 面积 =1/5*三角形 ABC 面积 连 BE，三角形 ABE 面积 /三角形 ABC 面积 =1/5，三角形 AEF 面积 /三角形 ABE 面积 =5/6，三角形 AEF 面积 =1/6*三角形 ABC 面积 连 CF，三角形 BCF 面积 /三角形 ABC 面积 =1/6，三角形 BDF 面积 /三角形 BCF 面积 =3/4，三角形 BDF 面积 =1/8*三角形 ABC 面积 所以三角形 DEF 面积 /三角形 ABC 面积 =（ 1-1/5-1/6-1/8） /1=61/120 答：角形 DEF的面积 /三角形 ABC 的面积等于 61/120。 5、如图 16-5，长方形 ABCD 的面积是 2 平方厘米， EC=2DE， F是 DG的中点。阴影部分的面积是多少平方厘米？ 此主题相关图片如下： 解：连接 FC。三角形 BCD 面积 =1/2*长方形 ABCD 面积 =1/2*2=1 EC=2DE，三角形 BDE 面积 =1/3*BCD=1/3*1=1/3，三角形 BCE 面积 =2/3 F 是中点， BFG=BDF， CFG=CDF，三角形 BCF 面积 =四边形 BFCD 面积 =1/2*BCD=1/2*1=1/2 三角形 CEF 面积 =BFCD-BDE=1/2-1/3=1/6， DEF=1/2*CEF=1/2*1/6=1/12 三角形 BFG 面积 =三角形 BDE 面积 -三角形 DEF 面积 =1/3-1/12=1/4 跤安糠置婊 ?三角形 BCD 面积 -三角形 BDE 面积 -三角形 BFG 面积 =1-1/3-1/4=5/12（平方厘米） 答：阴影部分面积是 5/12 平方厘米。 6、如图 16-6，已知 D 是 BC 中点， E是 CD 的中点， F 是 AC 的中点。三角形 ABC 由 这 6部分组成，其中比多 6 平方厘米。那么三角形 ABC 的面积是多少平方厘米？ 此主题相关图片如下： 解：设三角形 ABC 面积是 S，因为 D 是 BC 的中点，所以 =1/2S 又因为 F 是 AC 的中点，所以 + = =1/2 =1/4S 又因为 E 是 DC 的中点，所以 = + = + =1/2*1/4S=1/8S （ +） -（ + ） = - =1/4S-1/8S=1/8S 比多 6 平方厘米，所以 1/8S=6， S=6*8=48（平方厘米） 答：三角形 ABC 的面积是 48平方厘米。 7、图 16-7是一个各条边分别为 5厘米、 12厘米、 13厘米的直角三角形。如图 16-8，将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图 16-8 中的阴影部分（即未被盖住的部分）的面积是多少平方厘米？ 此主题相关图片如下： 解：给三角形各个点标上字母，如图。三角形 ABC 的面积 =1/2*12*5=30（平方厘米） 三角形 BCD 与三角形 ECD 相同， CE=CB=5，所以 AE=AC-EC=13-5=8 三角形 DEA 与三角形 DEC 等高，所以三角形面积的比是 DEA/DEC=8/5 三 角形 DEA 的面积 =三角形 ABC 面积 *8/（ 8+5+5） =30*4/9=40/3=13（ 1/3）（平方厘米） 答：图 16-8中的阴影部分（即未被盖住的部分）的面积是 13（ 1/3）平方厘米。 8、如图 16-9，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为 10与 12，已知梯形的上底长是下底长的 2/3。那么余下阴影部分的面积是多少？ 此主题相关图片如下： 解：设梯形的上底为 2X，则下底为 3X，高为 2*10/2X+2*12/3X=18/X，面积是（ 2X+3X） *18/X/2=45，阴影部分面积是 45-10-12=23 答：阴影部分的面积是 23。 9、图 16-10中 ABCD 是梯形，三角形 ADE面积是 1.8，三角形 ABF 的面积是 9，三角形 BCF 的 面积是 27。那么阴影部分面积是多少？ 此主题相关图片如下： 解：三角形 BAF 与 BCF 等高，所以 AF/FC=9/27=1/3 三角形 EAF 与 ECF 等高，所以面积比 EAF/ECF=AF/FC=1/3 三角形面积比： DEA/DEC=（ DFA-EFA） /（ DFC-EFC） =（ DFA-EFA） /（ 3*DFA-3*EFC） =1/3 又因为三角形 ADE 面积是 1.8，所以三角形 DEC 面积是 3*1.8=5.4 ABCD 是梯形，三角形 ABC 与 DBC 同底等高，所以三角形 ABC 面积 =三角形 DBC 面积 三角形 DFC=DBC-FBC=ABC-FBC=（ ABF+FBC） -FBC=ABF=9 三角形 EFC 面积 =DBC-DEC=9-5.4=3.6， EAF=1/3EFC=1/3*3.6=1.2 阴影部分面积 =EFA+EFC=1.2+3.6=4.8 答：阴影部分面积是 4.8。 10、如图 16-11，梯形 ABCD 的上底 AD 长为 3 厘米，下底 BC 长为 9厘米，而三角形 ABO 的面积为 12平方厘米。则梯形 ABCD 的面积为多少平方厘米？ 此主题相关图片如下： 解：过 O 点作梯形的高 EF，则 EO 是三角形 ADO 的高， OF 是三角形 BCO 的高。 三角形 ABD 面积 -三角形 ADO 面积 =12，所以 1/2*AD*EF-1/2*AD*EO=12 得： 1/2*AD*（ EF-EO） =12， EF-EO=12*2/AD=12*2/3=8，即： OF=8 三角形 ABC 面积 -三角形 BCO 面积 =12，所以 1/2*BC*EF-1/2*BC*OF=12 得： 1/2*BC*（ EF-OF） =12， EF-OF=12*2/BC=12*2/9=8/3，即： EO=8/3 EF=EO+OF=3/8+8=32/3 梯形 ABCD 的面积 =（ 3+9） *32/3/2=64（平方厘米） 答：梯形 ABCD 的面积为 64 平方厘米。 11、如图 16-12， BD， CF 将长方形 ABCD 分成 4块，红色三角形面积是 4平方厘米，黄色三角形面积是6 平方厘米。问：绿色四边形面积是多少平方厘米？ 此主题相关图片如下： 解：连 BF，三角形 BDF 面积 =三角形 CDF 面积，则 BEF=CDE=6 CDE/BCE=BE/DE=BEF/DEF=6/4，所以 BCE=6*CDE/4=6*6/4=9 BCD=BCE+CDE=9+6=15， ABD=BCD=15 ABEF=ABD-DEF=15-4=11 答：四边形 ABEF 面积是 11 平方厘米。 12、如图 16-13，平行四边形 ABCD 周长为 75厘米，以 BC 为底时高是 14厘米；以 CD为底时高是 16厘米。求平行四边形 ABCD 的面积。 此主题相关图片如下： 解： BC*14=CD*16， BC/CD=16/14， BC+CD=75/2， BC=75/2*16/（ 16+14） =20 ABCD 面积 =14*20=280（平方厘米） 答：平行四边行 ABCD 的面积是 280 平方厘米。 13、如图 16-14，一个正方形被分成 4个小长方形，它们的面积分别是 1/10 平方米、 1/5平方米、 3/10平方米和 2/5 平方米。已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？ 此主题相关图片如下： 解：大正方形面积是 1/10+1/5+3/10+2/5=1 小正方形面积：左下 /右下 =1/2，面积是 1/5 的小正方形的长是 1*2/（ 1+2） =2/3 左上 /右上 =3/4，面积是 3/10 的小正方形的宽是 1*3/（ 3+4） =3/7 阴影小正方形的边长是 2/3-3/7=5/21，面积是 5/21*5/21=25/441 答：图中阴影部分小正方形的面积是 25/441 平方米。 14、图 16-15 中外侧的四边形是一边长为 10 厘米的正方形，求阴影部分的面积。 此主题相关图片如下： 解：从四边形的 4 个顶点向对着的正方形的边画垂线，可以看出，阴影部分的面积比正方形阴影以外的面积多出一个小正方形，面积是 2*3=6，所以 阴影部分面积 =（ 100+6） /2=53（平方厘米） 答：阴影 部分的面积是 53 平方厘米。 15、如图 16-16，长方形被其内的一些直线划分成了若干块，已知边上有 3 块面积分别是 13， 35， 49。那么图中阴影部分的面积是多少？ 此主题相关图片如下： 解：给各个点标上字母，如图。三角形 EBC 面积 =三角形 FCD 面积 EBC=1/2ABCD=ABE+EDC=（ 49+13+FGI） +（ 35+HDC） =97+FGI+HDC 阴影部分 GCHI 面积 =EBC-（ EIH+GBC） =EBC-（ FGI+HCD） =（ 97+FGI+HDC） -（ FGI+HCD） =97 答：图中阴影部分的面积是 97。 第 17 讲 几何问题第 08 讲 圆与扇形（ 67） 1、如图 17-1，有 8 个半径为 1 厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心。如果圆周率取 3.1416，那么花瓣图形的面积是多少平方厘米？ 此主题相关图片如下： 解： 4 个角上圆心组成正方形，边长是 4，每一个角上的花瓣面积为 3/4 圆，正方形中每一个凹去部分 1/2圆，即共多 4*（ 3/4-1/2） =1 个圆的面积。 大花瓣面积 =4*4+3.1416*1*1=19.1416（平方厘米） 答：花瓣图形的面积是 19.1416 平方厘米。 2、如图 17-2，一套绞盘和一组滑轮形成一个提升机构，其中盘 A直径为 10 厘米，盘 B直径为 40厘米，盘 C 直径为 20 厘米。问： A顺时针方向转动一周时，重物上升多少厘米？（取 3.14） 此主题相关图片如下 ： 解： A 盘顺时针转 1 圈， B 盘和 C 盘同时转 1/2 圈， B 盘转 1/2 圈拉重物上来的距离等于 B 盘（ 1/2） /2=1/4 圈，所以重物上升 1/4*40*3.14=31.4（厘米） 答：重物上升 31.4 厘米。 3、图 17-3为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为 20 厘米，中间有一直径为 6厘米的卷轴。已知纸的厚度为 0.4毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？（取 3.14） 此主题相关图片如下： 解：纸卷侧边面积 = *（ 10*10-3*3） =91*，展开后面积不变，长 *0.04=91* 所以，当取 3.14 时，长 =91* /0.04=7143.5（厘米） 答：这卷纸展开后大约有 7143.5 厘米长。 4、如图 17-4，大小两圆的相交部分（即阴影区域）的面积是大圆面积的 4/15，是小圆面积的 3/5。如果量得小圆的半径是 5 厘米，那么大圆半径是多少厘米？ 此主题相关图片如下： 解：大圆面积：小圆面积 =（ 3/5）：（ 4/15） =9： 4=3*3： 2*2， 大圆半径：小元半径 =3： 2， 所以，大圆半径为 5*3/2=7.5（厘米） 答：大圆半径是 7.5 厘米。 5、如图 17-5，在 18 8的方格纸上，画有 1， 9， 9， 8四个数字。那么，图中的阴影面积占整个方格纸面积的几分这几？ 此主题相关图片如下： 解： 1 占 8 格， 9 占 21 格， 8 占 24 格，阴影面积占方格总面积的（ 8+2*21+24） /（ 18*8） =74/144=37/72 答：阴影面积占整个方格纸面积的 37/72。 6、如图 17-6，用一块面积为 36 平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了 7个同样大小的圆铝板。问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？ 此主题相关图片如下： 解：大圆直径是小圆的 3 倍，半径也是 3 倍，小圆面积 /大圆面积 = r2/ R2=（ 1/3） 2=1/9 小圆面积 =36*1/9=4， 7 个小圆总面积 =4*7=28，边角料面积 =36-28=8（平方厘米） 答：所余下的边角料的总面积是 8平方厘米。 7、如图 17-7，已知大正方形的面积是 22 平方厘米，那么小正方形的面积是多少平方厘米？ 此主题相关图片如下： 解：设圆的半径是 r，则圆的直径和大正 方形的边长都是 2r 小正方形的面积 =1/2*2r*r+1/2*2r*r=2r*r，大正方形的面积 =2r*2=4r*r 所以小正方形的面积 =1/2*大正方形的面积 =1/2*22=11（平方厘米） 答：小正方形的面积是 11 平方厘米。 8、如图 17-8是一个直径是 3 厘米的半圆， AB 是直径，让 A 点不动，把整个半圆逆时针转 60，此时 B点移动到点，如图 17-9所示。那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 此主题相关图片如下： 解：阴影部分面积 =整个图形面积 -半圆面积 =60大扇形面积 =1/6 大圆面积 =1/6* *32=1/6*2.14*9=4.71（平方厘米） 答：图中阴影部分的积是 4.71 平方厘米。 9、如图 17-10，四分之一大圆 的半径为 7，求阴影部分的面积，其中圆周率取近似值 22/7。 此主题相关图片如下： 解：两个小圆直径都是大圆半径，阴影里的交点是两个小 半圆周中点。连接大圆心和阴影中的交点，把两小圆重合部分阴影面积平分成两半，连接四分之一大圆周上的两点，连线与两个小圆边上形成的两个小面积就等于被平分的那块阴影面积。所以阴影部分的总面积就是四分之一大圆面积减去大圆里等腰直角三角形的面积。 1/4*22/7*72-1/2*7*7=14（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积是 14 平方厘米。 此主题相关图片如下： 10、如图 17-11，等腰直角三角形的一腰的长是 8 厘米，以它的两腰为直径分别画了两个半圆，那么阴影部分的面积共有多少平方厘米？（取 3.14） 此主题相关图片如下： 解：阴影部分面积 =圆面积 *2-正方形面积 =3.14*42-1/2*82=18.24（平方厘米） 答：阴影部分的面积共有 18.24 平方厘米。 此主题相关图片如下： 11、图 17-12中的 4 个圆的圆心是正方形的 4 个顶点，它们的公共点是该正方形的中心。如果每个圆的半径都是 1 厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？ 此主题相关图片如下： 解：把小正方形的中心点与每两个圆的交点相连，得到 1 个“十字”，再以 4 个交点为中点向 4 个圆周连线，得到 1 个大正方形，这个大正方形被“十字”平分成 4 个小正方形 ，它们与原来的正方形大小都相同。可得阴影部分总面积等于大正方形的面积。 大正方形的面积 =1/2*大正方形对角线 *大正方形对角线 =1/2*4*圆半径 *4*圆半径 =1/2*4*4=8（平方厘米） 答：阴影部分的总面积是 8 平方厘米。 12、如图 17-13，以 AB 为直径做半圆，三角形 ABC 是直角三角形，阴影部分比阴影部分的面积小 28 平方厘米， AB 长 40 厘米。求 BC 的长度。（取 3.14） 此主题相关图片如下： 解：阴影部分比阴影部分的面积小 28 平方厘米，即半圆面积比三角形 ABC 的面积小 28 平方厘米，半圆面积 =1/2 *202=628 平方厘米， 三角形 ABC 的面积 =半圆面积 +8=628+28=656 平方厘米， 所以， BC=2*656/40=32.8（厘米） 答： BC 的长度是 32.8 厘米。 13、图 17-14由一个长方形与两个 90角的扇形构成，其中阴影部分的面积是多少平方厘米？（取 3.14） 此主题相关图片如下： 解：阴影部分面积 =1/4 大圆面积 -（长方形面积 -1/4 小圆面积） =1/4* *52-（ 5*2-1/4* *22） =25/4* -（ 10-） =29/4* -10=12.765（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 12.765 平方厘米。 14、求图 17-15 中四条竖直线与水平线之间添加标示垂直的符号阴影部分的面积（取 3.14） 此主题相关图片如下： 解：把图的右半部分旋转到左半部分的下方，形成半圆 阴影面积 =半圆面积 -小正方形面积 =1/2*3.14*102-10*10/2=107（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 107 平方厘米。 此主题相关图片如下： 15、平面上有 7个大小相同的圆，位置如图 17-16所示。如果每个圆的面积都是 10，那么阴影部分的面积是多少？ 此主题相关图片如下： 解：阴影面积是一个圆面积加上 6 块叶子形的面积， 6 块叶子形的面积正好等于 1 个圆的面积，所以阴影总面积是 2 个圆的面积，即 2*10=20。 答：阴影部分面积是 20。 第 18 讲 数列与数表问题第 04 讲 数列与数表综合（ 72） 1 有 7根竹竿排成一行。第一根竹竿长 1米，其余每根长都是前一根的一半。问：这 7根竹竿的总长 是几米？ 1+1/2+1/4+1/8+ +1/64=2-1/64= 63164 2甲，乙两厂生产同一种玩具，甲厂生产的玩具数量每个月保持不变，乙厂生产的玩具数量每个月增加一倍。已知一月份甲，乙两厂生产玩具的总数是 98 件，二月份甲、 乙两厂生产玩具的总数是 106 件，那么乙厂生产的玩具数量第一次超过甲厂生产的玩具数量在几月份？ 乙一月份做了 106-98=8 件，甲每一个月都做 98-8=90 件。 当在五月份的时候， 8*2*2*2*290 3在两位数 10， 11， 98， 99中，把每个被 7除余 2的数，如 16， 23等，改成 1.6， 2.3而其余的数不变。问：经过这样的改变之后，所有数的和是多少？ 10+11+12+ +99-（ 16+23+ +93） *9/10=4316.4 4在 100 以内于 77 互质的所有奇数之和是多少？ 1+3+5+7+ +99=2500 77=7*11 7+21+ +91=343 11+33+55+77+99=275 2500-343-275+77=1959 5华罗庚金杯少年数学邀请赛，第一届在 1986年举行，第二届在 1988 年举行，第三届在 1991年举行，以后每二年举行一届。第一届华杯赛所在年份的各位数字和是 A1=1+9+8+6=24 前二届所在年份的各位数字和是 A2=1+9+8+6+1+9+8+8=50。问：前 50 届华杯赛所在年份的各位数字和A50 等于多少？ 解：从第三届开始，将 每五个年份分为一组，共分成 9 组，最后还剩下 3 个年份。在每组中，年份的数字和刚好组成等差数列。每一组的所有数字和则正好是中间的那个年份数字和的五倍。那么中间的那个年份依次为 1995， 2005， 2015， 2025， 2035， 2045， 2055， 2065， 2075， 其数字和依次为 24， 7， 8， 9， 10， 11， 12， 13， 14，因此所有组的数字总和为 （ 24+7+ +14） *5=540 。最后剩下 3 个年份为 2081， 2083， 2085 他们的数字和为 11+13+15=39 再加上 A2=50,有 A50=A2+540+39=629 6黑板上写有从 1开始的若干个连续的奇数： 1， 3， 5， 7， 9， 11， 13。檫去其中一个奇数以后，剩下的所有奇数之和为 1998。那么，檫去的奇数是多少？ 1+3+5+7+ +89=2025 2025-1998=27 7某车间原有工人不少于 63人，在 1月底前的某一天调进若干工人，以后，每天都增调 1人进车间工作。现知该车间 1月份每人每天生产一件产品，共生产 1994件。试问： 1月几日开始调进工人？共调进了多少工人？ 解：由于 65*311994，故车间原有人数不多于 64，不 少于 63。现分情况讨论： 若车间原有工人 63 人，则调入工人共生产的产品数为 1994-63*31=41 件。调入工人每天生产的产品恰好构成一个公差为 1 的等差数列。由等差数列求和公式（ a1+an） *n/2=41 知，项数应该是 41*2 的约数，故应取 n=2，此时 a1=20， a2=21，即从 1 月 30 日开始调入工人，共调入 21 人。 若车间原有工人 64 人，则调入工人共生产的产品数为 1994-64*31=10 件。同样由等差数列求和公式（ a1+an） *n/2=10，知 n 是 20 的约数。当 n=2 是， a1+a2=10， a2=a1+1，此时不是整数当 n=4 时， a1+a4=5， a4=a1+3，于是有 a1=1， a4=4， n 为其他值时无解。所以是从 1 月 28 日开始调入工人，一共调入了 4 名工人。 8 100 这个数能写成多少个不同自然数之和？ 100=1+2+3+4+ +12+20 共 13 个 9 70 个数排成一行，除了两头的两个以外，每个数的 3 倍都恰好等于它两边两个数的和。这一行最左边的几个数是这样的： 0， 1， 3， 8， 21，。问最右边的一个数被 6 除余几 找规律：它们的余数分别是 0， 1， 3， 2， 3， 1， 0， 5， 3， 4， 3， 5， 0， 1， 3 0， 1， 3， 2， 3， 1， 0， 5， 3， 4， 3， 5 这 12 个数为一个周期 70/12=5 10 余数是 4 10一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是 1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是： 1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55，。问：这串数的前 100 个数有多少个偶数？ 2 奇 1 偶， 100/3=33 1 最后一个是奇数 33*1=33 个 11有一串数如下： 1， 2， 4， 7， 11， 16，。它的规律是：由 1开始，加 1，加 2，加 3，依次 逐个产生这串数，直到第 50 个数为止。那么在这 50 个数中，被 3 除余 1 的数有多少个？ 找规律：余数依次是 1， 2， 1， 1， 2， 1， 1， 2， 1 ?/P1， 2， 1 一个循环， 50/3=16 2 16*2+1=33 个 12已知一串有规律的数： 1?/3， 5/8， 13/21， 34/55，那么，在这串数中，从左往右数，第 10个数是多少？ 规律是这样的：先写出 1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 233， 377， 610， 987， 1597， 2584， 4181， 6765 此数为 4181/6765 13观察下面的数表 1/1 2/1； 1/2 3/1； 2/2； 1/3 4/1； 3/2； 2/3； 1/4； 5/1； 4/2； 3/3； 2/4； 1/5。 根据前五行所表达的规律，说明： 1991/1949 这个数位于由上而下的第几行？在这一行中，它位于由左向右的第几个？ 解：计算每一行其中一个数分子与分母之和， 1+1=2 2+1=3 3+1=4 1991+1949=3940 位于 3940-1=3939 行。每一行中分母从为 1 开始，所以应该在 1949 列 。 14今要在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等份，在两个分点旁分别标上 1/2 和1/3，如图 18-1 所示。第二次把两段半圆弧二等分，在分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和 5/6=1/2+1/3，如图 18-2 所示。第三次把 4 段圆弧二等分，并在 4 个分点旁标上相邻两等分点旁所标两数的和 1 又 1/3=1/2+5/6， 1 又 1/6=1/3+5/6，如图 18-3 所示。如此继续下去，当第八次标完数以后，圆周上所有已标数的总和是多少？ 此主题相关图片如下： 第一个和是 5/6 第二个是 3*5/6 第三个是 9*5/6 3（ n-1） *5/6 3(8-1)*5/6=1822 又 1/2 15设 1， 3， 9， 27， 81， 243 是 6 个 给定的数，从这 6 个数中每次或者取一个，或者取几个不同的数求和（每个数只能取一次），可以得到一个新数，这样共得到 63个新数，如果把它们从小到答依次排列起来是 1， 3， 4， 9， 10， 12，那么，其中的第 60 个数是多少？ 解：一共有 63 个，要算第 60 个，只能反推。最大的是 1+3+9+27+81+243=364，第 62 个是 364-1=363 第 61 个是 364-3=361 第 60 个是 364-（ 1+3） =360 第 19 讲 数字谜问题第 11 讲 数字谜综合之二（ 77） 1、试将 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7 分别填入下面的方框中，每个数字只用一次： （这是一个三位数），（这是一个三位数），（这是一个一位数），使得这三个数中任意两个都互质。已知其中一个三位数已填好，它是 714，求其他两个数。 解： 714=2 3 7 17， 2， 3， 5， 6 中只有 5 与 714 互质，所以一位数是 5。 剩下的 2， 3， 6 组成另一个三位数，由于与 714 互质，它不能是偶数，所以只能从 263 和 623 中选取。 623=7 89，不与 714 互质， 263 则不能被 3， 7， 17 整除，三位数只能是 263。 答：三位数是 263，一位数是 5。 2、如图 19-1， 4个小三角形的顶点处有 6个圆圈。如果在这些圆圈中分别填上 6个质数，它们的和是 20，而且每个小三角形 3 个顶头上的数之和相等。问这 6 个质数的积是多少？ 解：设每个小三角形 3 顶点之和为 A， 4 个小三角形顶点和为 4A，外面 3 个数计算一次，中间 3 个数计算3 次，所以 4A=20+2A，得 A=10， A 是 3 个质数之和， 3 个质数只能是 2， 3， 5，这 6 个质数是 2， 2， 3，3， 5， 5，它们的乘积是 2 2 3 3 5 5=900 答：这 6 个质数的积是 900。 此主题相关图片 如下： 3、在图 19-2 所示算式的每个方框内填入一个数字，要求所填的数字都是质数，并使竖式成立。 解：所填数字都是质 数，只能是 2， 3， 5， 7，被乘数和乘数中也不能出现 2。 2 个个位数相乘，积的个位是质数，积个位只能是 5，最后结果个位也是 5（确定红色数）。 由于 73 3， 73 5， 73 7 积个位和十位不同时为质数，所以被乘数个位只能是 5。 假设乘数个位是 3，由于 375 3=1175， 575 3=1725，不都是质数，只有 775 3=2523 符合，乘数十位也取 3，乘积也是 2523，得出一组解： 775 33=25575 假设乘数个位是 5，由于 375 5=1875， 575 5=2875， 775 5=3875，不都是质数， 不符合。 假设乘数个位是 7，由于 375 7=2625， 575 7=4025， 775 7=5425，不都是质数，不符合。 答：只有 775 33=25575 这一组答案，如图。 此主题相关图片如下： 4、把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方。那么这个和数是多少？ 解：设原来两位数十位是 B，个位是 A，即两位数是 AB，则新数是 BA， AB+BA=X*X AB+BA=（ 10A+B） +（ 10B+A） =11（ A+B） =X*X， A+B=11=X，所以 X*X=121 答：这个和数是 121。 5、迎杯春杯 =好好好 在上面的乘法算式中，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示 相同的数字。那么“迎 +春 +杯 +好”之和等于多少？ 解：好好好 =好 111=好 3 37， 100 以内 37 的倍数只有 37 和 74，所以“迎杯”或“春杯”中必有 1 个是 37 或 74，判断出“杯”是 7 或 4。 若 杯 =7，则好 =9， 999/37=27，所以，迎 +春 +杯 +好 =3+2+7+9=21 若 杯 =4，则好 =6， 666/74=9，不是两位数，不符合题意 答：迎 +春 +杯 +好 =3+2+7+9=21。 6、数数科学 =学数学 在上面的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，那么，“数学”所代表的 两位数是多少？ 解：学数学是数数的倍数，也就是（ 11数）的倍数 学数学 =学 101+数 10，学数学是数的倍数， 101 是质数，所以学是数的倍数 学数学是 11 的倍数，学 +学 -数 =11，学是数的倍数，数是 11 的约数， 所以，数 =1，学 =（ 11+1） /2=6，数学 =16 答：数学两字代表的两位数是 16。 7、将 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 这 9 个数字分别填入下式的各个方框中，可使此等式成立： = =3634。填好后得到三个两位数和一个三位数，这三个两位数中最大的一个是多少？ 解： 3634=2 23 79，两位数是 79， 46 79=23 158，两位数中最大的是 79。 答：这三个两位数中最大的是 79。 8、六年级的学生总人数是三位数，其中男生占 3/5，男生人数也是三位数，而组成以上两个三位数的 6个数字，恰好是 1， 2， 3， 4， 5， 6。那么六年级共有多少人？ 解：男生人数是总人数的 3/5，总人数是 5 的倍数，个位只能是 5。 男生人数是 3 的倍数，个位必须是奇数，只能是 1 或 3，男生人数的三位数只能由 1， 2， 3 或者 2， 3， 4或者 1， 2， 6 组成（和是 3 的倍数）。 男生人数首位小于 4。 假设男生人数由 1， 2， 3 组成，可能是 123， 213， 321 123 5/3=205， 213 5/3=355， 321 5/3=535，都不符合题意 假设男生人数由 2， 3， 4 组成，只可能是 243， 243 5/3=405，不符合题意 假设男生人数由 1， 2， 6 组成，只可能是 261， 261 5/3=435，符合题意 答：六年级共有 435 人。 9、图 19-3 是三位数与一位数相乘的算式，在每个方格填入一个数字，使算式成立。那么共有多少种不同的填法？ 此主题相关图片如下： 解： 1992=2 2 2 3 83，一位数的约数中， 2， 3， 4， 6， 8 去除 1992 都可以得到三位数，所以可能有 5种填法。 答：共有 5 种不同的填法。 10、在图 19-4 残缺的算式中，只写出 3 个数字 1，那么这个算式的乘积是多少？ 此主题相关图片如下： 解：积的十位是 1，被 乘数与乘数个位乘积的十位也是 1。 被乘数个位与乘数十位的乘积个位是 1，则被乘数个位可能是 1， 3， 7， 9。 被乘数与乘数个位的乘积，前 2 位是 10，积有下列可能： 101， 102， 103， 104， 105， 106， 107， 108， 109，去掉质数 101， 103， 107， 109，去掉个位是 0 的 100。 102=6 17， 104=2 27， 105=5 21， 106=2 53， 108=4 27 若被乘数是 17 或 27，乘数十位必须是 3，都不能进位；若被乘数是 21，乘数十位必须是 1，也不能进位，去掉。所以被乘数只能是 53，乘数相 72， 53 72=3816 答：这个算式的乘积是 3816。 11、图 19-5中一个残缺的乘法竖式，在每个方框中填入一个不是 2的数字，可使其成为正确的算式。那么所得的乘积是多少？ 此主题相关图片如下： 解：最后乘积首位不能是 2，下一位必向首位进位 1，首位是 3。百位最多向千位进 2，千位必定是 2 和不小于 6 的数之和，两位乘数与三位乘数的十位上的数字相乘结果不小于 600，由两位乘数大于 60。三位乘数百位与两位乘数相乘的积不小于 220，不大于 229，这个百位数只能是 3， 220-229 之间 3 的倍数是 222=3 74， 225=3 75， 228=3 76，因为不能填 2，所以去掉 222，剩下 225=3 75， 228=3 76。 75 399 的积小于 30000，去掉，只剩下 228=3 76。 30000/76 大于 394，验算： 76 395=30020，有 2 去掉； 76 396=30096，符合要求； 76 397 乘积个位是 2，去掉； 76 398=30248，有 2 去掉； 76 399=30324，有 2 去掉。只有一组解。 答：所得的乘积是 30096。 12、请补全图 19-6 这个残缺算式。问这个除法算式的商数是多少？ 此主题相关图片如下： 解：首先可以确定商十位是 0，被除数前 2 位是 10，并用红字填出其它确定的格子。 商和除数的个位，可能是 2 4， 2 9， 3 6， 4 7， 6 8 试算得 2 4 这一组无解， 2 9 这一组，当 9 是商的个位， 2 是除数的个位时， 得 10028 92=109； 3 6，4 7， 6 8 这三组都无解。 答：这个除法算式的商数是 109。 13、若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式 学习好勤动脑 5=勤动脑学习好 8 中，“学习好勤动脑”所表示的六位数最少是多少？ 解：因为：学习好勤动脑 5=勤动脑学习好 8，所以：学习好 5000+勤动脑 5=勤动脑 8000+学习好 8 学习好 /勤动脑 =（ 8000-5） /（ 5000-8） =7995/4992=3 13 205/3 13 128 =205/128=410/256=615/384=820/512，其中 410256 和 615384 由 6 个不同数字组成，最小的是 410256。 答：“学习好勤动脑”所表示的六位数最少是 410256。 14、互为反序的两个自然数的积是 92565，求这两个互为反序的自然数。（例如 102 和 201， 35 和 53， 11和 11，称为互为反序的数，但 120 和 21 不是互为反序的数。） 解： 96525=3 3 5 11 11 17，这两个互为反序的自然数都是 3 和 11 的倍数 （ 3 11 5）（ 3 7 17） =165 561 答：这两个数是 165 和 561。 15、开放的中国盼奥运 =盼盼盼盼盼盼盼盼盼 上面的横式中不同的汉字代表不同的数字，代表某个一位数。那么，“盼”字所代表的数字是多少？ 解： 111111111 9=12345679，商的百位是 6，去掉； 888888888 9 商的百位是 4，去掉； 777777777 9 商的百位是 7，得 86419753，符合要求； 试算其它数： 666666666 9 商百位是 0，去掉； 555555555 9 商百位是 3，去掉； 444444444 9 商百位是 7，去掉； 333333333 9 商百位是 0，去掉； 222222222 9 商百位是 3，去掉。所以只有一个解，盼 =7。 答：“盼”字所代表的数字是 7。 第 20 讲 计数问题第 05 讲 计数综合之一（ 81） 1、恰好能被 6， 7， 8， 9 整除的五位数有多少个？ 解： 6， 7， 8， 9=504， 5 位数中最小的 504 的倍数是 10080 99999/504 余数是 207， 5 位数中最大的 504 的倍数是 999999-207=99792 符合要求的 5 位数的个数是（ 99792-10080） /504+1=178+1=179 答 ：恰好能被 6， 7， 8， 9 整除的五位数有 179 个。 2、小明的两个衣服口袋中各有 13 张卡片，每张卡片上分别写着 1， 2， 3， 13。如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写的两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积。那么，其中能被 6整除的乘积共有多少个？ 解：含有一张 3 时，另一张可以是： 212 的偶数，共 6 张； 含有一张 6 时，另一张可以是 113 中的任何一张，共 12 张； 含有一张 12 时，另一张可以是 113 中的任何一张，共 12 张； 其中重复的有 9 个，所以，不同的乘积一共有 21。 答：其中能被 6 整除的乘积有 21 个。 3、 1， 2， 3， 4， 5， 6 这 6 个数中，选 3 个使它们的和能被 3 整除。那么不同的选法有几种？ 解： 16 被 3 除的余数 0、 1、 2 各有两个，要使三个数之和能被 3 整除，只有余数 0、 1、 2 的各选一个； 根据余数情况，把这 6 个数分成三组：（ 1， 4）（ 2， 5）（ 3， 6），从每一个组中各取一个数，共有 2 2 2=8 种选法。 答：不同的选法有 8 种。 4、同时满足以下条件的分数共有多少个？ 大于 1/6，并且小于 1/5； 分子和分母都是质数； 分母是两位数。 解：若分子是 2，分母在 12 和 10 之间，符合条件的是 2/11； 若分子是 3，分母在 18 和 15 之间，符合条件的是 3/17； 若分子是 5，分母在 30 和 25 之间，符合条件的是 5/29； 若分子是 7，分母在 42 和 35 之间，符合条件的是 7/37， 7/41； 若分子是 11，分母在 66 和 55 之间，符合条件的是 11/59， 11/61； 若分子是 13，分母在 78 和 65 之间，符合条件的是 13/67， 13/71， 13/73； 若分子是 17，分母在 102 和 85 之间，符合条件的是 17/89， 17/97。 若分子是 19的有 19/97 答：符合要求 的分数共有 13 个。 5、一个六位数能被 11 整除，它的各位数字非零且互不相同。将这个六位数的 6个数字重新排列，最少还能排出多少个能被 11 整除的六位数？ 解：被 11 整除的数奇偶数位上的数字和的差能被 11 整除，所以，把这个数的奇数位上的 3 个数中的 2 个或 3 个数重排，或者把偶数位上 3 个数中的 2 个或 3 个数重排，或者奇数位上的 3 个数与偶数位上的 3 个数全换，组成的新数一定可以整除 11。 奇数位上的 3 数排列有 3*2*1=6 种，偶数位上的 3 数排列也有 3*2*1=6 种，奇偶数位上数字和都不变，一共有 6*6=36 种。奇数位 上的数改到偶数位，同时偶数位上的数改到奇数位，即奇偶数位上数字和互换，一共也有 6*6=36 种。 因此，这 6 个数排成能被 11 整除的数的排法共有 36+36=72 种， 那么，去掉原数，最少还能排出 72-1=71 种。 答：最少还能排出 71 个能被 11 整除的六位数。 6、在大于等于 1998，小于等于 8991 的整数中，个位数字与十位数字不同的数共有多少个？ 解菏孜唬 ?，只有 1 个， 1998； 首位是 28 共 7 种，百位 09 共 10 种，十位也 10 种，个位与十位不同，有 9 种 共 7*10*10*9=6300 种 ；其中多算了 89928998，即大于 8991 的 7 种。 所以一共有 6300+1-7=6294 种。 答：个位数字与十位数字不同的数共有 6294 种。 7、个位、十位、百位上的 3 个数字之和等于 12 的三位数共有多少个？ 解：百位可取 19 中的数字，十位和个位可取 09 中的数字。 百位是 1，十 +个 =11，有 8 个；百位是 2，十 +个 =10，有 9 个； 百位是 3，十 +个 =9，有 10 个；百位是 4，十 +个 =8，有 9 个； 百位是 5，十 +个 =7，有 8 个；百位是 6，十 +个 =6，有 7 个； 百位是 7，十 +个 =5，有 6 个；百 位是 8，十 +个 =4，有 5 个； 百位是 9，十 +个 =3，有 4 个。一共有： 8+9+10+9+8+7+6+5+4=66 个 答：这样的三位数共有 66 个。 8、一个正整数，如果它顺着看和倒过来看都是一样的，那么称这个数为“回文数”。例如 1331， 7， 202都是回文数，而 220 则不是回文数。问：从一位到六位的回文数一共有多少个？其中的第 1996 个数是多少？ 解： 1 位回文数有 9 个； 2 位回文数有 9*1=9 个； 3 位回文数有 9*10*1=90 个； 4 位回文数有 9*10*1*1=90 个； 5 位回文数有 9*10*10*1*1=900 个； 6 位回文数有 9*10*10*1*1*1=900 个。 一共有： 9+9+90+90+900+900=1998 个。 最后一个是 999999，第 1997 个是 998899，第 1996 个是 997799。 答：从一位到六位的回文数一共有 1998 个，第 1996 个是 997799。 解：把它看成一个五位数，则首位只能是 8这 1种； 千位可以是 05， 6 种； 千位一定，十位可以是 05 中不同于千位的数，有 5 种； 千位和十位一定，百位可以是 09 中不同于首位以及千位和十位的数，有 7 种； 前 4 位一定，个位可以是 09 中不同于前 4 位的数，有 6 种。 所以一共有： 1*6*5*7*6=1260 个 答：一共有 1260 个。 10、有些五位数的各位数字均取自 1， 2， 3， 4， 5，并且任意相邻两位数字（大减小）的差都是 1。问这样的五位数共有多少个？ 解：（ 1）首位取 1 时，千位只能是 2，百位可以是 1 和 3。 百位是 1，十位只能是 2，个位可以是 1 和 3。 2 种。 百位是 3，十位可以是 2 和 4；十位是 2，个位可以是 1 和 3，十位是 4，个位可以是 3 和 5。 4 种。 所以，首位取 1 时，共有 2+4=6 种。 （ 2）首位取 2 时，千位可以是 1 和 3。 千位