曲线积分与曲面积分.ppt

第十章 积分学定积分二重积分三重积分 积分域区间域平面域空间域 曲线积分 曲线域 曲面域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分 曲线积分与曲面积分 第一节 一 对弧长的曲线积分的概念与性质 二 对弧长的曲线积分的计算法 机动目录上页下页返回结束 对弧长的曲线积分 第十章 一 对弧长的曲线积分的概念与性质 假设曲线形细长构件在空间所占 其线密度为 大化小 常代变 近似和 求极限 可得 为计算此构件的质量 一 引例 曲线形构件的质量 采用 机动目录上页下页返回结束 二 光滑曲线和对对弧长的曲线积分的定义 定义1 设空间曲线的参数方程为 若 不同时为零 且在 上连续 则称曲线是光滑曲线 注 曲线是光滑的当且仅当曲线每一点都有切线 且 切线连续变化 光滑当且仅当 上连续 平面曲线 不同时为零且在 光滑当且仅当 连续 故平面曲线 设 是空间中一条有限长的光滑曲线 义在 上的一个有界函数 都存在 上对弧长的曲线积分 记作 若通过对 的任意分割 局部的任意取点 定义2 下列 乘积和式极限 则称此极限为函数 在曲线 或第一类曲线积分 称为被积函数 称为积分弧段 曲线形构件的质量 和对 机动目录上页下页返回结束 如果L是xoy面上的曲线弧 如果L是闭曲线 则记为 则定义对弧长的曲线积分为 注 1 若在L上f x y 1 2 定积分不能看作对弧长曲线积分的特例 对弧长的曲线积分要求ds 0 但定积分中dx可能为负 表示L的弧长 3 中的L是函数 的定义域 例计算 其中 由被积函数 定义域L可知 三 性质 k为常数 由组成 l为曲线弧 的长度 机动目录上页下页返回结束 5 若曲线L关于x y 轴对称 分为对称两部分 即 若 则 若 二 对弧长的曲线积分的计算法 基本思路 计算定积分 定理 且 上的连续函数 证 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 求曲线积分 根据定义 机动目录上页下页返回结束 点 设各分点对应参数为 对应参数为 则 机动目录上页下页返回结束 说明 因此积分限必须满足 2 注意到 因此上述计算公式相当于 换元法 因此 机动目录上页下页返回结束 如果曲线L的方程为 则有 如果方程为极坐标形式 则 推广 设空间曲线弧的参数方程为 则 机动目录上页下页返回结束 例1 计算 其中L是抛物线 与点B 1 1 之间的一段弧 解 上点O 0 0 机动目录上页下页返回结束 例2 计算半径为R 中心角为 的圆弧L对于它的对 称轴的转动惯量I 设线密度 1 解 建立坐标系如图 则 机动目录上页下页返回结束 例3 计算 其中L为圆 解 机动目录上页下页返回结束 的上半圆 在极坐标系下 法一 法二 参数化曲线为 例 计算 其中L为双纽线 解 在极坐标系下 它在第一象限部分为 利用对称性 得 机动目录上页下页返回结束 例 计算曲线积分 其中 为螺旋 的一段弧 解 线 机动目录上页下页返回结束 例6 计算曲线积分 其中 是球面 与平面 解 的交线 参数化曲线 由 注 被积函数 在球面 取值 注意到曲线为圆 思考如何求该圆的半径 若平面是 又如何 例 计算 其中 为球面 被平面所截的圆周 解 由对称性可知 机动目录上页下页返回结束 思考 例 中 改为 计算 解 令 则 圆 的形心在原点 故 如何 机动目录上页下页返回结束 内容小结 1 定义 2 性质 l曲线弧 的长度 机动目录上页下页返回结束 3 计算 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 1 已知椭圆 周长为a 求 提示 原式 利用对称性 分析 机动目录上页下页返回结束 2 设均匀螺旋形弹簧L的方程为 1 求它关于z轴的转动惯量 2 求它的质心 解 设其密度为 常数 2 L的质量 而 1 机动目录上页下页返回结束 故重心坐标为 第二节目录上页下页返回结束 思考 有一半圆弧 其线密度 解 故所求引力为 求它对原点处单位质量质点的引力 机动目录上页下页返回结束 备用题 1 设C是由极坐标系下曲线 及 所围区域的边