小学五年级数学精讲第1-10讲（附答案+精彩讲解）［妈妈身边的好家教］

小学五年级数学精讲讲义 第 01讲 计算问题第 05讲 循环小数与分数（ 1） 华数思维训练导引 计算问题（五）循环小数与分数 思维训练导引五年级第 01 讲 计算问题第 05 讲，循环小数与分数 1、真分数 a/7 化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是 1992，那么 a 是多少？ 解： 1/7=0.141857（ 6 位小数循环）， 2/7=0.285714（ 6 位小数循环）， 3/7=0.428571（ 6 位小数循环）， 4/7=0.571428（ 6 位小数循环）， 5/7=0.714285（ 6 位小数循环）， 6/7=0.857142（ 6 位小数循环）， 循环节数字和是 27， 1992/27=73 21， 8+5+7+1=21 所以 a=6 答： a 是 6。 2、某学生将 1.23（ 3循环）乘以一个数 a时，把 1.23（ 3循环）误看成 1.23，使乘积比正确结果减少 0.3，则正确结果应该是多少？ 解： 1.23（ 3 循环） -1.23=1/300,1/300*a=0.3,a=90 23*90=110.70,110.70+0.3=111 答：正确结果应该是 111 3、计算： 0.1（ 1 循环） +0.125+0.3（ 3 循环） +0.16（ 6 循环），结果保留三位小数。 解： 0.1（ 1 循环） +0.125+0.3（ 3 循环） +0.16（ 6 循环） =1/9+1/8+3/9+15/90=11/18+1/8 =53/72=0.7361（ 1 循环） 保留三位小数约等于 0.736。 此主题相关图片如下： 4、计算： 0.01（ 1循环） +0.12（ 2循环） +0.23（ 3 循环） +0.34（ 4循环） +0.78（ 8循环） +0.89（ 9循环） =1/90+11/90+21/90+31/90+71/90+81/90=216/90=2.4 5、将循环小数 0.027（ 3 位循环）与 0.179672（ 6 位循环）相乘，按四舍五入取近似值，要求保留一百 位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少？ 解： 0.027（ 3 位循环） *0.179672（ 6 位循环） =（ 27/999） *（ 179672/999999） =（ 1/37） *（ 179672/999999） =4856/999999 =0.004856（ 6 位循环） 因为 100/6 商 16 余 4，所以 6 位循环 16 次后第 17 次循环的第 4 位是这个循环小数的第 100 位，就是 8，第 101 位是 5，所以第 100 位小数的近似值是 9。 答：保留一百位小数，近似值的最后一位小数是 9。 6、将下列分数约成最简分数： 16666666666/66666666664。 解： 64/4=4， 664/166=4， 6664/1666=4， 16666666666/66666666664=1/4 此主题相关图片如下： 7、将下列算式约成最简分数： 0.5*236*59/119 解： 0.5*236*59/119=118*59/119=119*59/119-59/119=59-59/119=58（ 60/119） 8、计算： 7（ 4480/8333） /（ 21934/25909） /1（ 18556/35255） =(62811/8333)*(25909/21934)*(35255/53811) =(7*9*997/13*641)*(13*1993/2*11*997)*(5*11*641/3*9*1993) =7*5/2*3 =5(5/6) 9、计算： 1/8128+1/254+1/508+1/1016+1/2032+1/4064+1/8128 =（ 1/8128+1/8128） +1/4064+1/2032+1/1016+1/508+1/254 =2/8128+1/4064+1/2032+1/1016+1/508+1/254 =（ 1/4064+1/4064） +1/2032+1/1016+1/508+1/254 =（ 1/2032+1/2032） +1/1016+1/508+1/254 =（ 1/1016+1/1016） +1/508+1/254 =（ 1/508+1/508） +1/254 =1/254+1/254 =1/127 此主题相关图片如下： 10、 1/4*(4.85/(5/18)-3.6+6.15*3(3/5)+5.5-1.75*(1(2/3)+19/21) =1/4*(485/100*18/5-18/5+615/100*18/5)+(550/100-175/100)*(35/21+19/21) =1/4*18/5*(485/100-1+615/100)+(550/100-175/100*18/7) =9/10*10+(2/11-9/2) =9+1 =10 11、计算： 41.2*8.1+11*9(1/4)+537-0.19 =41.2*8.1+11*9.25+53.7*1.9 =41.2*8.1+11*9.25+41.2*1.9+12.5*1.9 =41.2*(8.1+1.9)+(11*9.25+1.25*19) =41.2*10+(8*11+1.25*11+1.25*19) =412+(88+1.25*30) =500+37.5 =537.5 12、计算： (9(2/7)+7(2/9)/(5/7+5/9) =(16+2/7+2/9)/(45/63+35/63)=(16+18/63+14/63)/(80/63)=(16+32/63)*63/80=(16*63+32)/63*63/80=1040/80=13 此主题相关图片如下： 13、计算：（ 1*2*3+2*4*6+4*8*12+7*14*21） /（ 1*3*5+2*6*10+4*12*20+7*21*35） =（ 1*2*3） *（ 1+2*2*2+4*4*4+7*7*7） /（ 1*3*5） *（ 1+2*2*2+4*4*4+7*7*7） =（ 1*2*3） /（ 1*3*5） =2/5 14、（ 1）已知等式 0.126*79+12(3/5)* -6(3/10)/25=10.08，那么 所代表的数是多少？ （ 2）设上题答案为 a，在算式（ 1993.81+a） *的内，填入一个适当的一位自然数，使乘积的个位数字达到最小值。问内的所填数字是多少？ 解：（ 1）由 0.126*79+12(3/5)* -6(3/10)/25=10.08 0.126*79+12.6* =6(3/10)/25+10.08 12.6*0.79+12.6* =6.3/25+10.08 12.6 =12.6*0.02+12.6-0.8-12.6*0.79 =0.02+0.8-0.79 =0.03 （ 2）（ 1993.81+a） * =（ 1993.81+0.03） * =1993.84* 要求乘积的个位数字最小，假设为 0 3.84*的积个位数字为 0，经过试算是 8 时可以。 答：（ 1） =0.03 (2) =8 15、求下述算式计算结果的整数部分： （ 1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13） *385 =1/2*385+1/3*385+1/5*385+1/7*385+1/13*385=1/2*385+1/3*385+77+55+35+1/13*385 =167+385*（ 1/2+1/3+1/13） =167+385*71/78 385*71/78 约等于 385*0.9103=350.4655 167+385*71/78=167+350.4655=517.4655 计算结果的整数部分是 517。 此主题相关图片如下： 第 02 讲 应用题第 12 讲 和差倍分问题（ 4） 五年级第 02 讲 应用题第 12 讲，和差倍分问题 1、有甲、乙两个数，如果把甲数的小数点向左移两位，就是乙数的 1/8，那么甲数是乙数的多少倍？ 解：甲 /100=乙 /8，甲 /乙 =100/8=12.5 答：甲数是乙数的 12.5 倍。 2、有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子。已知第一堆里的黑子和第 二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的 2/5。如果把每三堆棋子集中在一起，那么白子占全部棋子的几分之几？ 解：因为：黑 1=白 2，每堆总数一样，所以：白 1=黑 2 因为：黑 3=2/5 黑，所以：黑 1+黑 2=黑 -黑 3=（ 1-2/5）黑 =3/5 黑 因为：黑 1+白 1=黑 1+黑 2=3/5 黑，黑 1+白 1=1/3（黑 +白） 所以： 1/3（黑 +白） =3/5 黑，黑 /（黑 +白） =1/3 5/3=5/9 白 /（黑 +白） =1-5/9=4/9 答：白子占全部棋子的 4/9。 3、甲、乙两厂共同完成一批机床的生产任务， 已知甲厂比乙厂少生产 8 台机床，并且甲厂的生产量是乙厂的 12/13，那么甲、乙两厂一共生产了机床多少台？ 解：设甲厂生产 12 堆，则乙厂生产 13 堆，甲比乙少 8 台，所以 13-12=1 堆 =8 台 总数 =（ 12+13）堆 =25 8（台） =200（台） 答：甲、乙两厂一共生产了机床 200 台。 4、足球赛门票 15 元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，那么一张门票降价多少元？ 解：降价后一张票 =15（ 1+1/5） /（ 1+1/2） =15 6/5 2/3=12（元），降了 15-12=3（元） 答：一张门 票降价 3 元。 5、李刚给军属王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的 3/8，第二次运了 50 块。这时，已运来的恰好是没运来的 5/7，问还有多少块蜂窝煤没有运来？ 解：运来 5 堆，没运 7 堆，共 12 堆 第一次运 3/8 12=9/2 堆，第二次运 5-9/2=1/2 堆 一堆有 50/（ 1/2） =100（块），没运 7 100=700（块） 答：还有 700 块蜂窝煤没有运来。 6、有两条纸带，一条长 21 厘米，一条长 13 厘米，把两条纸带都剪下同样长的一段以后，发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下的长度的 8/13。问剪下的一段长多少 厘米？ 解法 1：（ 21-13） /（ 1-8/13） =20.8（厘米）， 21-20.8=0.2（厘米） 解法 2：设剪下的一段长 X 厘米，（ 13-X） /（ 21-X） =8/13，得 X=1/5=0.2（厘米） 答：剪下的一段长 0.2 厘米。 7、为挖通 300 米长的隧道，甲、乙两个施工队分别从隧道两端同时相对施工。第一天甲、乙两队各掘进了 10米，从第二天起，甲队每天的工作效率总是前一天的 2倍，乙队每天的工作效率总是前一天的 1（ 1/2）倍。那么，两队挖通这条隧道需要多少天？ 解：甲队： 10， 10 2=20， 20 2=40， 40 2=80， 80 2=160 乙队： 10， 10 3/2=15， 15 3/2=22.5， 22.5 3/2=33.75， 33.75 3/2=50.625 应该用了 4 天多。 4 天共完成（ 10+20+30+40） +（ 10+15+22.5+33.75） =231.25（米） 还剩下 300-231.25=68.75（米） 需要的时间是 68.75/（ 160+50.625） =110/337 答：两队挖通这条隧道需要 4（ 110/337）天。 8、有一块菜地和一块麦地。菜地的一半和麦地的三分之一放在一起是 13公顷。麦地的一半和菜地的三分之一放在一起是 12 公顷。那么菜地是多少公顷？ 解： 1/2 菜 +1/3 麦 =13， 1/2 麦 +1/3 菜 =12 3 菜 +2 麦 =13 6， 3 麦 +2 菜 =12 6 两个式子相加： 5（菜 +麦） =150，菜 +麦 =30 两个式子相减：菜 -麦 =6 菜 =（ 30+6） /2=18 答：菜地是 18 公顷。 9、春风小学原计划栽种杨树、柳树和槐树共 1500棵。植树开始后，当栽种了杨树总数的 3/5 和 30棵柳树以后，又临时运来了 15棵槐树，这时剩下的 3种树的棵数恰好相等。问原计划要栽植这 3种树各多少棵？ 解：假设杨树有 x棵，种了 3/5，还剩 2/5 槐树开始有 2/5x-15 棵，柳树开始有 2/5x+30 棵 x+2/5x-15+2/5x+30=1500， 得 x=825， 2/5x+30=2/5 825+30=360， 2/5x-15=2/5 825-15=315 答：原计划要栽植杨树 825 棵，柳树 360 棵，槐树 315 棵。 10、师徒二人共同加工 170个零件，师傅加工零件个数的 1/3比徒弟加工零件的 1/4还多 10个。那么，徒弟一共加工了多少个零件？ 解：师傅的 1/3 比徒弟的 1/4 多 10，师傅的比徒弟的 3/4 多 30 徒弟 =（ 170-30） /（ 1+3/4） =80（个） 答：徒弟一共加工了 80 个零件。 11、一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的 1（ 1/2）倍。上午去甲工地的人数是去乙工地人数的 3倍，下午这批工人中有 7/12的人去甲工地，其他人到乙工地。到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需 4 名工人再做 1 天。那么这批工人共有多少名？ 解：设有工人 X 人， 3/4X+7/12X=3/2（ 1/4X+5/12X+4 2），得 X=36（人） 答：这批工人共有 36 名。 12、有一个分数，如果分子加 1，这个分数就等于 1/2；如果分母加 1，这个分数就等于 1/3。问原来的分数是多少？ 解：分子加 1 等于 1/2，所以，分母 =2（分子 +1） =2分子 +2，分母 +1=2分子 +3 分母加 1 等于 1/3，所以，分母 +1=3分子 2分子 +3=3分子，分子 =3，分母 =2（分子 +1） =2（ 3+1） =8 答：原来的分数是 3/8。 13、图 2-1 是某市的园林规划图，其中草地占正方形的 3/4，竹林占圆形的 6/7，正方形和圆形的公共部分是水池。已知竹林的面积比草地的面积大 450 平方米。问 水池的面积是多少平方米？ 此主题相关图片如下： 解：若水池面积是 1，那么草地面积是 3，竹林面积是 6，竹林比草地多 3 3水池 =450，水池 =450/3=150（平方米） 答：水池的面积是 150 平方米。 14、唐僧师徒四人吃了许多馒头，唐僧和猪八戒共吃了总数的 1/2，唐僧和沙僧共吃了总数的 1/3，唐僧和孙悟空共吃了总数的 1/4。那么唐僧吃了总数的几分之几？ 解：唐 +猪 =1/2，唐 +沙 =1/3，唐 +孙 =1/4 3唐 +猪 +沙 +孙 =13/12， 2唐 =13/12-（唐 +猪 +沙 +孙） =13/12-1，唐 =1/24 答：唐僧吃了总数的 1/24。 15、小李和小张同时开始制作同一种零件，每人每分钟能制作 1 个零件，但小李每 制作 3 个零件要休息 1分钟，小张每制作 4个零件要休息 1.5分钟。现在他们要共同完成制作 300个零件的任务，需要多少分钟？ 解：小李 3+1=4 分钟制作 3 个，小张 4+1.5=5.5 分钟制作 4 个 44 分钟小李制作 44/4 3=33（个），小张制作 44/5.5 4=32（个），共 33+32=65（个） 300/65 商 4 余 40，两人制作 65 4=260（个）用 44 4=176 分钟 还剩下 300-260=40（个） 小李： 4 分 3 个， 8 分 6 个， 12 分 9 个， 16 分 12 个， 20 分 15 个， 24 分 18 个 小张： 5.5 分 4 个， 11 分 8 个， 16.5 分 12 个， 22 分 16 个， 24 分 18 个 24 分时刚休息完，已完成 18+18=36（个），还需要（ 40-36） /2=2（分） 一共用了 176+24+2=202（分） 答：需要 202 分钟。 第 03 讲 应用题第 13 讲 行程问题之三（ 8） 1、王师傅驾车从甲地开往乙地交货。如果他往返都以每小时 60千米的速度行驶，正好可以按时返回甲地。可是，当到达乙地时，他发现从甲地到乙地的速度只有每小时 55 千米。如果他想按时返回甲地，他应以多大的速度往回开？ 解 ：设甲、乙距离为 60 55=3300 千米，往返时间应该是： 3300 2/60=110（小时） 实际从甲到乙时间： 3300/55=60（小时），剩下返回时间： 110-60=50（小时） 从乙回甲的速度应该是： 3300/50=66（千米） 答：他应以每小时 66 千米的速度往回开。 2、甲、乙两地相距 100千米，小张先骑摩托车从甲地出发， 1小时后小李驾驶汽车从甲地出发，两人同时到达乙地。摩托车开始速度是每小时 50千米，中途减速后为每小时 40千米。汽车速度是每小时 80千米，汽车曾在途中停驶 10 分钟。那么小张驾驶的摩 托车减速是在他出发后的多少小时？ 解：汽车行驶 100 千米要用时间 100/80=1(1/4)（小时） 所以摩托车行驶时间是 1(1/4)+1+1/6=2(5/12)（小时） 摩托车以每小时 40 千米行驶 2（ 5/12）小时行驶距离为 40 2（ 5/12） =96（ 2/3）千米 100-96（ 2/3） =10/3（千米） 所以用 50 千米行驶（ 10/3） /（ 50-40） =1/3（小时） 答：小张驾驶的摩托车减速是在他出发后的 1/3 小时。 3、一位少年选手，顺风跑 90 米用了 10 秒钟。在同样的风速下，逆风跑 70 米，也用了 10 秒 钟。问：在无风的时候，他跑 100 米要用多少秒？ 解：顺风速度每秒 90/10=9（米），逆风速度每秒 70/10=7（米） 无风速度每秒（ 9+7） /2=8（米），跑 100 米需要 100/8=12.5（秒） 答：在无风的时候，他跑 100 米要用 12.5 秒。 4、一条小河流过 A， B， C 三镇。 A， B两镇之间有汽船来往，汽船在静水中的速度为每小时 11 千米。 B，C 两镇之间有木船摆渡，木船在静水中的速度为每小时 3.5千米。已知 A， C 两镇水路相距 50千米，水流速度为每小时 1.5 千米。某人从 A 镇上船顺流而下到 B镇，吃午饭用去 1小时，接着乘木船又顺流而下到C 镇，共用 8 小时。那么 A， B 两镇间的距离嵌嗌偾 ?br 解：汽船顺流速度每小时 11+1.5=12.5（千米） 木船顺流速度每小时 3.5+1.5=5（千米） 在汽船和木船上的时间一共是 8-1=7（小时） 如果全在汽船上，从 A 到 C 可以行 12.5 7=87.5（千米）， 比实际多出 87.5-50=37.5（千米） 汽船比木船每小时快 11-3.5=7.5（千米） 所以乘木船时间是 37.5/7.5=5（小时），乘木船距离是 5 5=25（千米） A 和 B 离 =50-25=25（千米） 答： A， B 两镇间的距离是 25 千米。 5、一条大河有 A,B 两个港口，水由 A流向 B，水流速度是每小时 4千米。甲、乙两船同时由 A向 B 行驶，各自不停地在 A， B之间往返航行，甲船在静水中的速度是每小时 28千米，乙船在静水中的速度是每小时20千米。已知两船第二次迎面相遇的地点与甲船第二次追上乙船（不算甲、乙在 A处同时出发的那一次）的地点相距 40 千米，求 A， B 两个港口的距离。 解：甲顺水速度： 28+4=32，甲逆水速度： 28-4=24 乙顺水速度： 20+4=24，乙逆水速度： 20-4=16 第二次相遇地点： 从 A 到 B：甲速：乙速 =32： 24=4： 3，甲到 B，乙到 E； 甲从 B到 A，速度 24，甲速：乙速 =24： 24=1： 1，甲、乙在 EB的中点 F点第一次相遇； 乙到 B时，甲到 E，这时甲速：乙速 =24： 16=3： 2，甲到 A点时，乙到 C点； 甲又从 A顺水，这时甲速：乙速 =32： 16=2： 1，所以甲、乙第二次相遇地点是 2/3AC 处的点 H， AH=2/3 1/2AB=1/3AB 第二次追上地点： 甲比乙多行 1来回时第一次追上，多行 2 来回时第二次追上。 设 AB 距离为 1 个单位 甲行一个来回 2AB 时间 1/32+1/24=7/96 乙行一 个来回 2AB 时间 1/16+1/24=10/96 1来回甲比乙少用时间： 10/96-7/96=1/32 甲多行 2来回的时间是： 7/96 2=14/96 说明乙第二次被追上时行的来回数是： （ 14/96） /（ 1/32） =4（ 2/3），甲第二次追上乙时，乙在第 5个来回中，甲在第 7个来回中。 甲行 6个来回时间是 7/96 6=7/16， 乙行 4个来回时间是 10/96 4=5/12， 7/16-5/12=1/48，从 A到 B甲少用时间： 1/24-1/32=1/96 说明第二次追上是在乙行到第五个来回的返回途中。 1/48-1/96=1/96，从 B到 A，甲比乙少用时间： 1/16-1/24=1/48，（ 1/96） /（ 1/48） =1/2，追上地点是从B到 A的中点 C 处。 根据题中条件， HC=40（千米）， AH=1/3AB， AC=1/2AB， HC=AC-AH=(1/2-1/3)AB 所以， AB=HC/(1/2-1/3)=40/（ 1/6） =240（千米） 答： A， B 两个港口的距离是 240 千米。 此主题相关图片如下： 6、甲、乙两船分别在一条河的 A， B 两地同时相向而行，甲顺流而下，乙逆流而上。相遇时，甲、乙两船行了相等的航程，相 遇后继续前进，甲到达 B地、乙到达 A 地后，都立即按原来线路返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行 1000 米。如果从第一次相遇到第二次相遇时间相隔 1 小时 20分，那么河水的流速为每小时多少千米？ 解：第一次相遇时，甲、乙两船行了相等的航程，速度是甲 +水 =乙 -水，甲 =+2 水 =乙 甲从 B、乙从 A 开始开第二次相遇时间是： 1 小时 20 分钟 /2=2/3 小时，速度差是 4 水 1/（ 2/3） /4=3/8（千米） 答：河水的流速为每小时 3/8 千米。 此主题相关图片如下： 7、甲、乙两人骑自行车从环行公路上同一地点同时出发，背向 而行。现在已知甲走一圈的奔涫 ?0 分钟，如果在出发后 45 分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟？ 解： 45 分钟乙行的距离 =（ 70-45） /70=5/14（圈） 乙行每分钟行 =5/14/45=1/126（圈） 答：乙走一圈的时间是 126 分钟。 8、如图 3-1，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了 100 米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前 60 米处又第二次相遇。求此圆形场地的周长。 解：设周长为 2X 米。 从开始到第 1 次相遇，甲、乙共走 X，其中甲走 X-100，乙走 100； 第 1 次到第 2 次相遇，甲、乙共走 2X，其中甲走 100+X-60=X+40，乙走 X-100+60=X-40，甲多走 X+40-（ X-40） =80。 得第 1 次相遇时甲比乙多走 80/2=40， X-100=100+40，所以 X=240 周长 2X=2 240=480（米） 答：此圆形场地的周长是 480 米。 此主题相关图片如下： 9、甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即赝芳铀倥艿诙 ?/3。甲跑第二圈时速度比第一圈提高了 1/3；乙跑第二圈时速度提高了 1/5。已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是 190 米，那么这条椭圆形跑道长多少米？ 解：假设甲开始速度是 X，跑道长是 Y 第一圈甲速度 X，乙速度是 2/3X 第一次相遇时，甲跑了 3/5Y， 甲跑完一圈时，乙跑 2/3Y，这时甲速度是 (1+1/3)X=4/3X， 乙跑完一圈时，甲返回 2/3Y 乙返回时，速度是 (1+1/5) 2/3X=4/5X 这时：甲速度 /乙速度 =(4/3X)/(4/5X)=5:3 甲、乙跑剩下的 1/3Y 到相遇时，甲跑了 5/8 1/3Y，乙跑了 3/8 1/3Y=1/8Y，距离出发点是 1/8Y。 3/5Y-1/8Y=190（米），所以 Y=400（米） 答：这条椭圆形跑道长 400 米。 10、如图 3-2，在 400米的环行跑道上， A， B 两点相距 100米。甲、乙两人分别从 A， B两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲 甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，每人每跑 100 米，都要停 10 秒钟。那么甲追上乙需要时间是多少秒？ 解：答：甲实际跑 100/（ 5-4） =100（秒）时追上乙 甲跑 100/5=20（秒），休息 10 秒； 乙跑 100/4=25（秒），休息 10 秒 甲实际跑 100 秒时，已经休息 4 次，刚跑完第 5 次，共用 140 秒； 这时乙实际跑了 100 秒，第 4 次休息结束。正好追上。 答：甲追上乙需要时间是 140 秒。 此主题相关图片如下： 11、周长为 400米的圆形跑道上，有相距 100米的 A,B 两点。甲、乙两 人分别从 A， B两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到 A 时，乙恰好跑到 B。如果以后甲、乙的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了多少米？ 解：乙从 B 到相遇点再返回，路程相同，所以甲从 A 到相遇点、再从相遇点回到 A 的距离也相同，都是400/2=200（米） 第一次相遇甲跑 200 米，乙跑 100 米 这时 2 人从相遇点开始同向跑，甲多跑一圈追上乙 所以甲一共跑了 200+200（ 400/100） =1000（米） 答：甲共跑了 1000 米。 此主题相关图片如下： 12、如图 3-3，一个长方形的房屋长 13米，宽 8米。甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发，甲每秒钟行3 米，乙每秒钟行 2 米。问：经过多长时间甲第一次看见乙？ 解：甲要看到乙，最大距离是 13 米，至少要比乙多跑 2 8=16（米）， 这段时间是 16/（ 3-2） =16（秒）。 这时甲跑了 16 3=48（米），转过一圈后又离出发点 A 点 6 米处， 乙跑了 16 2=32（米），过 B 点 11 米处。 甲离 B点还有 2 米，需要 2/3 秒到达 B点，此时乙还拐弯，可以看到。 16+2/3=16（ 2/3）（秒） 答：经过 16又 2/3秒甲第一次看见乙。 此主 题相关图片如下： 13、如图 3-4，学校操场的 400 米跑道中套道 300 米小跑道，大跑道与小跑道有 200 米路程相重。甲以每秒钟 6米的速 度沿大跑道逆时针方向跑，乙以每秒 4米的速度沿小跑道顺时针方向，跑，两人同时从跑道的交点 A 处出发，当他们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了多少米？ 解：甲顺时针从 A 到 B 时，乙还在逆时针从 A 到 B 路上， 2 人在甲从 B 到 A 之间第一次相遇。甲跑完一圈回到 A 时，乙跑了（ 400/6） 4=800/399，所以 35， 37， 99 这 33 个数中，每 1 个数都不是另一个数的倍数。 若把这 50 个数都写成 3A*B， B 不能被 3 整除，在 1， 3， 5， 99 这 50 个数中， 3 的倍数有 17 个，剩下 50-17=33 个数不是 3 的倍数，如果取出 34个数，就会有 2 个数被写成了相同的 B，它们就是倍数关系。 答：最多能选出 33 个数。 5.证明：任给 12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数。 解：两位数除以 11 的余数有 11 种： 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10，按余数情况把所有两位数分成11 种。 12 个不同的两位数放入 11 个抽屉，必定有至少 2 个数在同一个抽屉里，这 2 个数除以 11 的余数相同，两者的差一定能整除 11。两个不同的两位数，差能被 11 整除，这个差也一定是两位数（如 11， 22），并且个位与十位相同。 所以，任给 12 个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数。 6.从 1， 2， 3， 49， 50这 50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被 7整除，则最多能取出多少个数？ 解：被 7 除余 1 与余 6 的两个数之和是 7 的 倍数，所以取出的数只能是这两种之一； 同样的，被 7 除余 2 与余 5 的两个数之和是 7 的倍数，所以取出的数只能是这两种之一； 被 7 除余 3 与余 4 的两个数之和是 7 的倍数，所以取出的数只能是这两种之一； 两个数都是 7 的倍数，它们的和也是 7 的倍数，所以 7 的倍数中只能取 1 个。 所以最多可以取出 8+7+7+1=23 个 答：最多能取出 23 个。 7.从 1， 2， 3， 99， 100 这 100 个数中任意选出 51 个数。 证明：（ 1）在这 51个数中，一定有两个数互质；（ 2）在这 51个数中，一 定有两个数的差等于 50；（ 3）在这 51 个数中，一定存在 9 个数，它们的最大公约数大于 1。 解：（ 1）把这 100 个数分成 50 组：（ 1， 2），（ 3， 4），（ 5， 6），（ 99， 100） 在选出的 51 个数中，必有 2 个数属于同一组，这一组中的 2 个数是两个相邻的整数，它们一定互质。 （ 2）把这 100 个数分成 50 组：（ 1， 51），（ 2， 52），（ 3， 53），（ 50， 100） 在选出的 51 个数中，必有 2 个数属于同一组，这一组的 2 个数的差为 50。 （ 3） 1 到 100 这 100 个数中， 2 的倍数有 100/2 商 50 个， 3 的倍数有 100/3 商 33 个，其 中 6 的倍数有 100/6 商 16 个，所以既不是 2 也不是 3 的倍数的数，共有 100-50-33+16=33 个，这 33 个数中不可能存在 9 个数，它们的最大公约数大于 1（ 4*9=3633）。因此，所选的 51 个数中至少有 51-33=18 个数，它们是 2 的倍数或者 3 的倍数。根据抽屉原理，这 18 个数中一定存在 9 个数，它们有公约数 2 或者 3。 8.求证：可以找到一个各位数字都是 4 的自然数，它是 1996 的倍数。 解： 1996 4=499，下面证明可以找到 1 个各位数字都是 1 的自然数，它是 499 的倍数。 取 500 个数： 1， 11， 111， 111 1（ 500 个 1）。用 499 去除这 500 个数，得到 500 个余数 A1， A2， A3， A500。由于余数只能取 0， 1， 2， 498 这 499 个值，所以根据抽屉原则，必有 2 个余数是相同的，这 2 个数的差就是 499 的倍数，差的前若干位是 1，后若干位是 0： 11 100 0。又 499和 10 是互质的，所以它的前若干位由 1 组成的自然数是 499 人倍数，将它乘以 4，就得到一个各位数字都是 4 的自然数，这是 1996 的倍数。 9.有 49 个小孩，每人胸前有一个号码，号码从 1 到 49 各不相同。现在请你挑选 若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于 100。那么你最多能挑选出多少个孩子？ 解： 2 个不同两位数乘积大于 100，因此不能相邻，把 1 位数和两位数相间排列，最多可以排 18 个数。例如： 1-18-2-17-3-16-4-15-5-14-6-13-7-12-8-11-9-10 排成圆圈。 答：最多能挑选出 18 个孩子。 10.在边长为 1 的正方形内随意放进 9 个点，证明其中必有 3 个点构成的三角形的面积不大于 1/8。 证明：把正方形的两组对边中线相连，等分成 4 个小正方形，根据抽屉原则， 9 个点中至 少有 3 个点在同一个小正方形内。小正方形的面积是 1/4，其中任意 3 个点构成的三角形的面积都不大于 1/2*1/4=1/8。 11.某班有 16 名学生，每个月教师把学生分成两个小组。问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里？ 解：第 1 月， 16/2=8，至少有 8 人同组； 第 2 月， 8/2=4，至少有 4 人还是同组； 第 3 月， 4/2=2，至少有 2 人还是同组没分开过； 第 4 月， 2/2=1，可以把同组的全部分开。 4 个月里，每次分组都把一直同组的人平分到两个组中，经过 4 个月， 16/2/2/2/2=1，没有 2 人一直在同一组了。 答：最少经过 4 个月。 12.上体育课时， 21 名男、女学生排成 3 行 7 列的队形做操。教师是否总能从队形中划出一个长方形，便得站在这个长方形 4 个角上的学生或者都是男生，或者都是女生？如果能，请说明理由；如果不能，请举出实例。 解：学生只有男生和女生两种，由抽屉原理，第一列的 7 人中至少有 4 男或 4 女，设前 4 人是男生。 如果第二列的前 4 人中有 2 个男生，那么 4 个角已经同是男生，所以假设第二行的前 4 个人中至少有 3 个女生，就设前 3 个是女生。 第三列的前 3 人至少有 2 个 同男或同女，当有 2 男时与第 1 列男生构成男生长方形，当有 2 女时与第 2 行构成女生长方形。 答：男、女生排成 3 行 7 列，一定能划出一个长方形，它的 4 个角上同是男生或者同是女生。 13.8 个学生解 8 道题目。 (1)若每道题至少被 5 人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被这两个学生中的一个解出。 (2)如果每道题只有 4 个学生解出，那么（ 1）的结论一般不成立。试构造一个例子说明这点。 解：（ 1）设解题最多的人是 K，他解出 N 题。每题至少被 5 人解出，所以 N 不小于 5。 N=8， K 和任意 1 人符合要求。 N=7， 必有人解出剩下那一题 ， K 和此人符合要求。 N=6， 剩下的 2 题个有 5 人解出 ， 5+5 大于 7， 所以至少有 1 人同时解出了这 2 题 ， 此人与 K 符合要求。 N=5，剩下 3 题每题各有 5 人解出， 3*5=15， 7 个人中至少有 1 人解出了这 3 题。此人与 K 符合要求。 （ 2）用字母代表学生，数字代表题号， R 代表解出。 1 2 3 4 5 6 7 8 A R R R R B R R R R C R R R R D R R R R E R R R R F R R R R G R R R R H R R R R 14.时钟的表盘上按标准的方式标着 1， 2， 3， 11， 12 这 12个数，在其上任意做 n 个 120的扇形，每一个都恰好覆盖 4 个数，每两个覆盖的数不全相同。如果从这任做的 n 个扇形中总能恰好取出 3个覆盖整个钟面的全部 12 个数，求 n 的最小值。 解：（ 1）当 n=8 时，有可能不能覆盖 12 个数，比如每块扇形错开 1 个数摆放，盖住的数分别是：（ 12， 1，2， 3）；（ 1， 2， 3， 4）；（ 2， 3， 4， 5）；（ 3， 4， 5， 6）；（ 4， 5， 6， 7）；（ 5， 6， 7， 8）；（ 6， 7， 8， 9）；（ 7，8， 9， 10），都没盖住 11，其中的 3 个扇形当然也不可能盖住全部 12 个数。 （ 2）每个扇形覆盖 4 个数的情况可能是： （ 1， 2， 3， 4）（ 5， 6， 7， 8）（ 9， 10， 11， 12）覆盖全部 12 个数 （ 2， 3， 4， 5）（ 6， 7， 8， 9）（ 10， 11， 12， 1）覆盖全部 12 个数 （ 3， 4， 5， 6）（ 7， 8， 9， 10）（ 11， 12， 1， 2）覆盖全部 12 个数 （ 4， 5， 6， 7）（ 8， 9， 10， 11）（ 12， 1， 2， 3）覆盖全部 12 个数 当 n=9 时，至少有 3 个扇形在上面 4 个组中的一组里，恰好覆盖整个钟面的全部 12 个数。 答： n 的最小值是 9。 15.试卷上共有 4道选择题，每题有 3个可供选择的答案。一群学生参加考试，结果是对 于其中任何 3个，都有一个题目的答案互不相同。问参加考试的学生最多有多少人。 解：设 3 个可供选择的答案是 A， B， C。 （ 1）假设 10 人参加考试，根据抽屉原则，第 1 题答案分别为 A， B， C 的 3 组学生中，必有 1 组不超过 3人。去掉这一组学生，在余下的人中一定有 7 人对第 1 题的答案只有两种。这 7 个人中一定可以选出 5 个，他们第 2 题的答案只有两种可能。这 5 个人中可以选出 4 人，他们第 3 题的答案只有两种可能。这 4 人一定有 3 人，第 4 题的答案只有两种可能。对于这 3 人，没有一道题的答案是互不相同的。所以人数不超过9 人。 （ 2） 9 个人作出下面的答案就能保证每 3 人都至少有 1 道题答案互不相同。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第 1 题 A A A B B B C C C 第 2 题 A B C A B C A B C 第 3 题 A B C C A B B C A 第 4 题 A B C B C A C A B 答：参加考试的学生最多有 9 人。 第 10 讲 杂题第 04 讲 逻辑推理之一（ 37） 1在三个盒子里，一只装有两个黑球，一只装有两个白球，还有一只装有黑球和白球各一个。现在三只盒子上的标签全贴错了，你能否仅从一只盒子里拿出一个球来，就确定这三只盒子里各装的是什么球？ 解： 3 个标签全贴错， 1 黑 1 白的标签一定贴在同色球盒上，从里面拿出 1 只，比如是黑球，那么黑标签一定贴在白球盒上了，白标签贴在 1 黑 1 白球盒上了。 答：能，从标签是 1 黑 1 白的盒子里拿 1 个球就行。 2甲、乙、丙、丁 4位同学的运动衫上印上了不同的号码。赵说：“甲是 2 号，乙是 3号。”钱说：“丙是4 号，乙是 2号。”孙说：“丁是 2号，丙是 3号。”李说：“丁是 1号，乙是 3号。”又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半。那么丙的号码是几号？ 解：假设赵说甲是 2 号是对的，那么钱、孙说 2 号的都错，钱说丙 4，孙说丙 3 应该都对，但 1 人应该 1个号，矛盾，不成立。 所以赵说甲是 2 号是错的，说乙 3 对，得知孙说丙 3 错，说丁 2 对，那么钱说乙 2 错，丙 4 对 ，验证后成立，丙是 4 号。（可以画表推） 答：丙的号码是 4 号。 3某校数学竞赛， A， B， C， D， E， F， G， H 这 8位同学获得前 8名。老师让他们猜一下谁是第一名。A 说：“或者 F是第一名，或者 H 是第一名。” B 说：“我是第一名。” C 说：“ G 是第一名。” D 说：“ B不是第一名。” E说：“ A 说得不对。” F说：“我不是第一名， H也不是第一名。” G 说：“ C 不是第一名。” H说：“我同意 A 的意见。”老师指出： 8 个人中有 3 人猜对了。那么第一名是谁？ 解法一：按说的内容分类 B 和 D 中只有 1 人对， A、 H 和 E、 F 中同时有 2 人对， 2 人错。一共 3 人对，另外 2 人 C， G 一定都错，就是 G 不是第 1 名， C 是第 1 名。 答： C 是第 1 名。 解法二：假设某个人第 1，列出说对的人数 第 1 名 猜对的人 A D， E， F， G4 人 B B， E， F， G4 人 C D， E， F3 人，符合要求 D D， E， F， G4 人 E D， E， F， G4 人 F A， D， G， H4 人 G C， D， E， F， G5 人 H A， D， G， H4 人 所以 C 是第一名。 答：第一名是 C。 4某参观团根据下列条件从 A， B， C， D， E 这 5 个地方中选定参观地点：（ 1）若去 A 地，则也必须去B 地；（ 2） B， C 两地中至多去一地；（ 3） D， E两地中至少去一地；（ 4） C， D 两地都去或者都不去；（ 5）若去 E地，一定要去 A， D 两地。那么参观团所去的地点是哪些？ 解：由（ 2）假设去 B 地，那么不能去 C，由（ 4）就不能去 D，由（ 5）知没去 E，与（ 3）矛盾。 由（ 2）假设去 C，那么不能去 B，由 （ 4）去 D，由（ 1）没去 A，由（ 5）没去 E，符合题意。 由（ 2）假设 B， C 都不去，由（ 1）没去 A，由（ 5）没去 E，由（ 3）去 D，由（ 4）去 C，矛盾。 答：参观 C， D。 5人的血型通常分为 A 型、 B 型、 O 型、 AB 型。子女的血型与其父母间的关系如图 10-1 所示。现有 3个分别身穿红、黄、蓝上衣的孩子，他们的血型依次为 O， A， B。每个孩子的父母都戴着同颜色的帽子，颜色也分红、黄、蓝 3种，依次表示所具有的血型为 AB， A， O。问穿红、黄、蓝上衣的孩子的父母各戴什么颜色的帽子？ 父母的血型 子女可能的血型 O， O O O， A A， O O， B B， O O， AB A， B A， A A， O A， B A， B， AB， O A， AB A， B， AB B， B B， O B， AB A， B， AB AB， AB A， B， AB （图 10-1） 解：父母同血型， O 型父母孩子只能 O 型， O 型孩子穿红上衣，父母戴蓝帽子。 A 型父母孩子不能再是 O，只能是 A， A 型孩子穿黄上衣，父母戴黄帽子。 剩下父母是 AB 型的孩子只能是 B， B 型孩子穿蓝上衣，父母带红帽子。 答：穿红、黄、蓝上衣的孩子的父母分别戴蓝、黄、红帽子。 6如图 10-2，有一座 4 层楼房，每个窗户的 4块玻璃分别涂上黑色和白色，每个窗户代表一个数字。每层楼有 3 个窗户，由左向右表示一个三位数。 4个楼层表示的三位数为： 791， 275， 362， 612。问：第二层楼表示哪 个三位数？ 此主题相关图片如下： 解： 362， 612 个位都是 2，图中 2， 4 层个位相同，说明这两个数各代表 2， 4 层中的一个。 362 的十位与 612 的百位相同，图中 2 层的百位与 4 层的十位相同，说明 2 层百位是 6，所以 612 是 2 层。 答：第二层楼表示 612。 7房间里有 12个人，其中有些人总说假话，其余的人总说真话。其中一个人说：“这里没有一个老实人。”第二个人说骸罢饫镏炼嘤幸桓隼鲜等恕！钡谌?1 个老实人。”问房间里究竟有多少个老实人？ 解：假设第一个人说真话，他说没有一个老实人就是假话，所以他说假话，第十二个人说至多有 11 个老实人就是真话。 已经有 1 个老实人 了，第二个人说只有一个老实人就不可能是真话，有 2 个说假话的了，第十一个人说至多有 110 个老实人就是真话。 同样，第三，第四，第五，第六个人也说假话，第七，第八，第九，第十个人说真话。说真话的共有 6 人。 答：房间里有 6 个老实人。 8甲、乙、丙、丁约定上午 10 时在公园门口集合。见面后， 甲说：“我提前了 6 分钟，乙是正点到的。” 乙说：“我提前了 4 分钟，丙比我晚到 2 分钟。” 丙说：“我提前了 3 分钟，丁提前了 2 分钟。” 丁说：“我还以为我迟到了 1 分钟呢，其实我到后 1 分钟才听到收音机报北京时间 10 时整 。” 请根据以上谈话分析，这 4 个人中，谁的表最快，快多少分钟？ 解：由丁的话知道丁提前 1 分到，他的表快 2 分到； 丙以为丁提前 2 分，所以他的表慢 1 分，丙提前 2 分到； 乙比丙早 2 分，应该是提前 4 分到，他的表正确； 甲以为乙正点，他的表快 4 分。 答：这 4 个人中，甲的表最快，快 4 分钟。 9桌子上放了 8张扑克牌，都背面向上，牌放置的位置如图 10-3所示。现在知道：（ 1）每张牌都是 A，K， Q， J 中的某一张；（ 2）这 8 张牌中至少有一张是 Q；（ 3）某中只有一张 A；（ 4）所有的 Q 都珍在两张 K之间；（ 5）至 少有一张 K 夹在两张 K之间；（ 6）至少有两张 K 相邻；（ 7） J 与 Q 互不相邻； A 与 K也互不相邻。试确定这 8 张牌各是什么？ 此主题相关图片如下： 解：由（ 5）知道有 JKJ，可以有如图 a， b， c， d 这 4 种排列； 由（ 4）所有 Q 夹在两张 K 之间，去掉 a， b 两图； 由（ 6）应有两张 K 相邻，去掉 c 图；只剩下 d 图； 由（ 7），（ 3）知道 Q 左边不能是 J， Q，若是 K，就没 A 了，所以 Q 左边只能是 A； A 左边不能是 K， Q，A，只能是 J。 10甲、乙、丙、丁 4个同学在一间教室里，他们当中一个人在做数学题，一个人在念英语，一个人在看