平面向量与解斜三角形结合0817.doc

专题6平面向量与解斜三角形结合考点动向：自新教材实施以来，平面向量与解斜三角形的结合成为是高考中的新题型，自新教材实施以来，在高考的解答题中，不时考查平面向量与函数有关知识的结合。这类题目，实际上是以向量为载体考查解斜三角形的知识：正弦定理、余弦定理及面积公式，利用向量的知识将问题转化为解斜三角形的问题：求边角、求面积、求值（包括最大值、最小值），转化时不要把向量实数搞混淆。可以预测到，今后的高考中，还会继续出现这方面的题目。可以预测到，今后的高考中，还会继续出现解斜三角形这方面的考题。方法范例例1（2005年全国卷）ABC中，内角A，B，C的对边分别a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且.（）求的值；（）设的，求的值.分析 （）运用把三角公式“切化弦”把转化成，由得出；运用正弦定理及，将“边边关系”化为“角角关系”得，从而.（）利用向量运算，由已知得，2；由余弦定理，得，将“边角”关系转化为“边边”关系，从而进一步得.答案解：（）由，得.因为a，b，c成等比数列，所以由正弦定理，得，所以.于是，.（）由，得.因为，所以2，即2.由余弦定理，得5，所以，.例2(2005年，江西卷)在OAB中，O为坐标原点，则当OAB的面积达最大值时，（ ）A，B，C，D分析题设虽然没有向量出现，但是利用向量数量积和三角形面积公式等知识进行求解也不失是一种好方法 答案解：设，则 由三角形面积公式，得又 应选（D）.例3（2006年，江西卷）如图，已知ABC是边长为1的，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过ABC的中心G，设MGAa（）.（1） 试将AGM、AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为a的函数.（2） 求y的最大值与最小值.分析 （1）利用正三角形中心的特性和正弦定理GM、GN再利用三角形面积公式求S1与S2；（2）先经过三角变形，再用三角函数值变化规律求出最大值与最小值.答案解：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，所以 AG，MAG，由正弦定理，得.则S1GMGAsina，同理可求得S2.（2）y72（3cot2a），因为，所以当a或a时，y取得最大值ymax240.当a时，y取得最小值ymin216. 规律小结（1）平面向量与解斜三角形结合的题目，利用向量的知识将问题转化为解斜三角形的问题：利用正弦定理、余弦定理，结合三角恒等变形来解，要注意角的范围与三角函数值符号之间的联系与影响，注意利用大边对大角来确定解是否合理，要注意利用ABC中，A+B+C，等，进行三角变换的运用；判断三角形的形状，必须从研究三角形的边与边的关系，或角与角的关系入手，要充分利用正弦定理、余弦定理进行转换；求三角形的面积，必须选择好适当的面积公式。（2）正弦定理：（3）余弦定理：，.（4）三角形的面积公式： （两边一夹角）（为外接圆半径）（其中为内切圆半径，）海仑公式（其中）（5）利用三角公式可以把 “切与弦”进行转化；利用正弦定理可以把“边边关系”与“角角关系”进行互相转化；利用余弦定理可以把“边角关系”与“边边关系”进行互相转化.(6)判断三角形形状,主要根据正弦定理,余弦定理及三角形内角和为,化简有两个方向：角化边, 边化角.考点误区分析（1）考生可能由于对于向量计算、正弦定理、余弦定理等有关知识不够熟练，造成用错公式，求错结果或求不出结果. （2）求三角形的面积，考生经常没有用好公式，必须做到首先要根据题目已知条件进行选择适当的面积公式，然后才进行顺利求解. 同步训练：1、（2005年武汉模拟）已知ABC中，AB1，BC2，则C的取值范围是.2、在ABC中，AB2，BC1，则ABC，平面ABC外一点满足PAPBPC2，则三棱锥P-ABC的体积是.3、（2006年全国卷I）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则（）.A B C D4、在ABC中，设求证：ABC为等边三角形.5、（2004年北京卷）在ABC中， AC2，AB3，求的值和ABC的面积.6、设的外心为O，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H。（1）若用；（2）求证：；（3）设中，外接圆半径为R，用R表示.(外心是三角形外接圆的圆心) 参考答案1、解析 考虑“大边对大角”，由于，所以C不是最大角。由于，由正弦定理，得，因为，所以，又因为，所以AC，所以C的取值范围是C.答案 C.2、解析 过P作PO平面ABC，由PAPBPC2，故O是ABC的外心，在ABC中，由余弦定理，得7，所以.由正弦定理，得，所以，在Rt POA中，PA2，OA1，所以PO，又由面积公式，得，所以三棱锥P-ABC的体积为.答案 .3、解析 用特值法，设，则，.答案 选B.4、解析由，得 ，；又由正弦定理： ，同理：B=C，C=A，A=B=C，ABC为等