五年级奥数题200道

五年级 奥数题 （一） 100 题 1. 76521327 76532727 解：原式 =76527(213+327)= 76527540=76520=15300 2. (9999 9997 9001)-(1 3 999) 解：原式 =（ 9999-999） +（ 9997-997） +（ 9995-995） + +(9001-1) =9000+9000+ .+9000 (500 个 9000) =4500000 3 1998199919991998-1998199819991999 解：（ 19981998+1） 19991998-1998199819991999 =1998199819991998-1998199819991999+19991998 =19991998-19981998 =10000 4 (873477-198)(476874 199) 解： 873477-198=476874 199 因此原式 =1 5 20001999 -19991998 19981997 -19971996 21 解：原式 1999 （ 2000 1998） 1997 （ 1998 1996） 3 （ 4 2） 21 （ 1999 1997 3 1） 2 2000000。 6 297 293 289 209 解：（ 209+297） *23/2=5819 7计算： 解：原式 =（ 3/2） *（ 4/3） *（ 5/4） * *(100/99)*(1/2)*(2/3)*(3/4)* *(98/99) =50*(1/99)=50/99 8. 解：原式 =（ 1*2*3） /(2*3*4)=1/4 9. 有 7 个数，它们的平均数是 18。去掉一个数后，剩下 6 个数的平均数是 19；再去掉一个数后，剩下的 5 个数的平均数是 20。求去掉的两个数的乘积。 解： 7*18-6*19=126-114=12 6*19-5*20=114-100=14 去掉的两个数是 12 和 14 它们的乘积是 12*14=168 10. 有七个排成一列的数，它们的平均数是 30，前三个数的平均数是 28，后五个数的平均数是 33。求第三个数。 解： 283 335 -307=39 。 11. 有两组数，第一组 9 个数的和是 63，第二组的平均数是 11，两个组中所有数的平均数是 8。问：第二组有多少个数？ 解：设第二组有 x 个数，则 63 11x=8 （ 9+x），解得 x=3。 12小明参加了六次测验，第三、第四次的平均分比前两次的平均分多 2 分，比后两次的平均分少 2 分。如果后三次平均分比前三次平均分多 3 分，那 么第四次比第三次多得几分？ 解：第三、四次的成绩和比前两次的成绩和多 4 分，比后两次的成绩和少 4 分，推知后两次的成绩和比前两次的成绩和多 8 分。因为后三次的成绩和比前三次的成绩和多 9 分，所以第四次比第三次多 9 8=1（分）。 13. 妈妈每 4 天要去一次副食商店，每 5 天要去一次百货商店。妈妈平均每星期去这两个商店几次？ (用小数表示 ) 解：每 20 天去 9 次， 9207=3.15 （次）。 14. 乙、丙两数的平均数与甲数之比是 137 ，求甲、乙、丙三数的平均数与甲数之比。 解： 以甲数为 7 份，则乙、丙两数共 132 26（份） 所以甲乙丙的平均数是（ 26+7） /3=11（份） 因此甲乙丙三数的平均数与甲数之比是 11： 7。 15. 五年级同学参加校办工厂糊纸盒劳动，平均每人糊了 76 个。已知每人至少糊了 70 个，并且其中有一个同学糊了 88 个，如果不把这个同学计算在内，那么平均每人糊 74 个。糊得最快的同学最多糊了多少个？ 解：当把糊了 88 个纸盒的同学计算在内时，因为他比其余同学的平均数多 88-7414（个），而使大家的平均数增加了 76 74=2（个），说明总人数是 142 7（人）。因此糊得最快的同学最多糊了 746 -705 94（个）。 16. 甲、乙两班进行越野行军比赛，甲班以 4.5 千米时的速度走了路程的一半，又以 5.5 千米时的速度走完了另一半；乙班在比赛过程中，一半时间以 4.5 千米时的速度行进，另一半时间以 5.5 千米时的速度行进。问：甲、乙两班谁将获胜？ 解：快速行走的路程越长，所用时间越短。甲班快、慢速行走的路程相同，乙班快速行走的路程比慢速行走的路程长，所以乙班获胜。 17. 轮船从 A 城到 B 城需行 3 天，而从 B城到 A城需行 4天。从 A城放一个无动力的木筏，它漂到 B 城需多少天？ 解： 轮船顺流用 3 天，逆流用 4 天， 说明轮船在静水中行 4 3 1（天），等于水流 3 4 7（天），即船速是流速的 7 倍。所以轮船顺流行 3 天的路程等于水流 3 37 24（天）的路程，即木筏从 A 城漂到 B 城需 24 天。 18. 小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走 52 米，小强每分走 70 米，二人在途中的 A 处相遇。若小红提前 4 分出发，且速度不变，小强每分走 90 米，则两人仍在 A 处相遇。小红和小强两人的家相距多少米？ 解：因为小红的速度不变，相遇地点不变，所以小红两次从出发到相遇的时间相同。也就是说，小强第二次比第一次少走 4 分。由 （ 704 ） （ 90 70） 14（分） 可知，小强第二次走了 14 分，推知第一次走了 18 分，两人的家相距 （ 52 70） 18 2196（米）。 19. 小明和小军分别从甲、乙两地同时出发，相向而行。若两人按原定速度前进，则4 时相遇；若两人各自都比原定速度多 1 千米时，则 3 时相遇。甲、乙两地相距多少千米？ 解：每时多走 1 千米，两人 3 时共多走 6 千米，这 6千米相当于两人按原定速度 1时走的距离。所以甲、乙两地相距 64 24（千米） 20. 甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方 向跑去。相遇后甲比原来速度增加 2 米秒，乙比原来速度减少 2 米秒，结果都用 24秒同时回到原地。求甲原来的速度。 解：因为相遇前后甲、乙两人的速度和不变，相遇后两人合跑一圈用 24 秒，所以相遇前两人合跑一圈也用 24 秒，即 24 秒时两人相遇。 设甲原来每秒跑 x 米，则相遇后每秒跑（ x 2）米。因为甲在相遇前后各跑了 24 秒，共跑 400 米，所以有 24x 24（ x 2） 400，解得 x=7 又 1/3 米。 21. 甲、乙两车分别沿公路从 A， B 两站同时相向而行，已知甲车的速度是乙车的1.5 倍，甲、乙两车到达途中 C 站的时刻分别为 5： 00 和 16： 00，两车相遇是什么时刻？ 解： 924 。解：甲车到达 C 站时，乙车还需 16-5 11（时）才能到达 C 站。乙车行 11 时的路程，两车相遇需 11 （ 1 1.5） 4.4（时） 4 时 24 分，所以相遇时刻是 924 。 22. 一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是 280 米，慢车的车长是 385 米。坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是 11 秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少秒？ 解： 快车上的人看见慢车的速度与慢车上的人看见快车的速度相同，所以两车的车长比等于两车经过对方的时间比，故所求时间为 11 23. 甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑 10 米，则甲跑 5 秒可追上乙；若乙比甲先跑 2 秒，则甲跑 4 秒能追上乙。问：两人每秒各跑多少米？ 解：甲乙速度差为 10/5=2 速度比为（ 4+2）： 4=6： 4 所以甲每秒跑 6 米，乙每秒跑 4 米。 24甲、乙、丙三人同时从 A 向 B 跑，当甲跑到 B 时，乙离 B 还 有 20 米，丙离 B 还有 40 米；当乙跑到 B 时，丙离 B 还有 24米。问： （ 1） A， B 相距多少米？ （ 2）如果丙从 A 跑到 B 用 24 秒，那么甲的速度是多少？ 解：解：（ 1）乙跑最后 20 米时，丙跑了 40-24 16（米），丙的速度 25. 在一条马路上，小明骑车与小光同向而行，小明骑车速度是小光速度的 3 倍，每隔 10 分有一辆公共汽车超过小光，每隔 20 分有一辆公共汽车超过小明。已知公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，问：相邻两车间隔几分？ 解：设车速为 a，小光的速度为 b，则小明骑车的速度为 3b。根据追及问题 “ 追及时间 速度差追及距离 ” ，可列方程 10（ a b） 20（ a 3b）， 解得 a 5b，即车速是小光 速度的 5 倍。小光走 10 分相当于车行 2 分，由每隔10 分有一辆车超过小光知，每隔 8 分发一辆车。 26. 一只野兔逃出 80 步后猎狗才追它，野兔跑 8 步的路程猎狗只需跑 3 步，猎狗跑 4 步的时间兔子能跑 9 步。猎狗至少要跑多少步才能追上野兔？ 解： 狗跑 12 步的路程等于兔跑 32 步的路程，狗跑 12 步的时间等于兔跑 27步的时间。所以兔每跑 27 步，狗追上 5 步（兔步），狗要追上 80 步（兔步）需跑 27 （ 805 ） 8083 192（步）。 27. 甲、乙两人在铁路旁边以同样的速度沿铁路方向相向而行，恰好有一列火车开来，整个 火车经过甲身边用了 18 秒， 2 分后又用 15 秒从乙身边开过。问： （ 1）火车速度是甲的速度的几倍？ （ 2）火车经过乙身边后，甲、乙二人还需要多少时间才能相遇？ 解：（ 1）设火车速度为 a 米秒，行人速度为 b 米秒，则由火车的是行人速度的 11 倍； （ 2）从车尾经过甲到车尾经过乙 ，火车走了 135 秒，此段路程一人走需135011=1485 （秒），因为甲已经走了 135 秒，所以剩下的路程两人走还需（ 1485 135） 2 675（秒）。 28. 辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高 20，那么可以比原定时间提前 1 时到达；如果以原速行驶 100 千米后再将车速提高 30，那么也比原定时间提前 1 时到达。求甲、乙两地的距离。 29. 完成一件工作，需要甲干 5 天、乙干 6 天，或者甲干 7 天、乙干 2 天。问：甲、乙单独干这件工作各需多少天？ 解：甲需要 (7*3-5)/2=8(天 ) 乙需要 (6*7-2*5)/2=16（天） 30一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管 5 时可将空池灌满，单开排水管 7 时可将满池水排完。如果放水管开了 2 时后再打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？ 31 小松读一本书，已读与未读的页数之比是 34 ，后来又读了 33 页，已读与未读的页数之比变为 53 。这本书共有多少页？ 解：开始读了 3/7 后来总共读了 5/8 33/(5/8-3/7)=33/(11/56)=56*3=168 页 32 一件工作甲做 6 时、乙做 12 时可完成，甲做 8 时、乙做 6 时也可以完成。如果甲做 3 时后由乙接着做，那么还需多少时间才能完成？ 解：甲做 2 小时的等于乙做 6 小时的，所以乙单独做需要 6*3+12=30（小时） 甲单独做需要 10 小时 因此乙还需要 (1-3/10)/(1/30)=21 天才可以完成。 33. 有一批待加工的零件，甲单独做需 4 天，乙单独做需 5 天，如果两人合作，那么完成任务时甲比乙多做了 20 个零件。这批零件共有多少个？ 解：甲和乙的工作时 间比为 4： 5，所以工作效率比是 5： 4 工作量的比也 5： 4，把甲做的看作 5 份，乙做的看作 4 份 那么甲比乙多 1 份，就是 20 个。因此 9 份就是 180个 所以这批零件共 180 个 34.挖一条水渠，甲、乙两队合挖要 6 天完成。甲队先挖 3 天，乙队接着 解：根据条件，甲挖 6 天乙挖 2 天可挖这条水渠的 3/5 所以乙挖 4 天能挖 2/5 因此乙 1 天能挖 1/10，即乙单独挖需要 10 天。 甲单独挖需要 1/（ 1/6-1/10） =15 天。 35. 修一段公路，甲队独做要用 40 天，乙队独做要用 24 天。现在两队同时从两端开工，结果在距中点 750 米处相遇。这段公路长多少米？ 36. 有一批工人完成某项工程，如果能增加 8 个人，则 10 天就能完成；如果能增加 3 个人，就要 20 天才能完成。现在只能增加 2 个人，那么完成这项工程需要多少天？ 解：将 1人 1天完成的工作量称为 1份。调来 3人与调来 8人相比， 10天少完成（ 8-3）10=50 （份）。这 50 份还需调来 3 人干 10 天，所以原来有工人 5010 3 2（人），全部工程有（ 2+8） 10=100 （份）。调来 2 人需 100 （ 2+2） =25（天）。 37. 解：三角形 AOB 和三角形 DOC 的面积和为长方形的 50% 所以三角形 AOB 占 32% 16 32%=50 38. 解： 1/2*1/3=1/6 所以三角形 ABC 的面积是三角形 AED 面积的 6 倍。 39.下面 9 个图中，大正方形的面积分别相等，小正方形的面积分别相等。问：哪几个图中的阴影部分与图（ 1） 阴影部分面积相等？ 解：（ 2） （ 4） （ 7） （ 8） （ 9） 40. 观察下列各串数的规律，在括号中填入适当的数 2， 5， 11， 23， 47，（ ）， 解：括号内填 95 规律：数列里地每一项都等于它前面一项的 2 倍减 1 41. 在下面的数表中，上、下两行都是等差数列。上、下对应的两个数字中，大数减小数的差最小是几？ 解： 1000-1=999 997-995=992 每次减少 7， 999/7=142 5 所以下面减上面最小是 5 1333-1=1332 1332/7=190 2 所以上面减下面最小是 2 因此这个差最小是 2。 42. 如果四位数 68 能被 73 整除，那么商是多少？ 解：估计这个商的十位应该是 8，看个位 可以知道是 6 因此这个商是 86。 43. 求各位数字都是 7，并能被 63 整除的最小自然数。 解： 63=7*9 所以至少要 9 个 7 才行（因为各位数字之和必须是 9 的倍数） 44. 12315 能否被 9009 整除？ 解：能。 将 9009 分解质因数 9009=3*3*7*11*13 45. 能否用 1， 2， 3， 4， 5， 6 六个数码组成一个没有重复数字，且能被 11 整除的六位数？为什么？ 解：不能。因为 1 2 3 4 5 6 21，如果能组成被 11 整除的六位数，那么奇数位的数字和与偶数位的数字和一个为 16，一个为 5，而最小的三个数字之和 1 2 3 6 5，所以不可能组成。 46. 有一个自然数，它的最小的两个约数之和是 4，最大的两个约数之和是 100，求这个自然数。 解：最小的两个约数是 1 和 3，最大的两个约数一个是这个自然数本身，另一个是这个自然数除以 3 的商。最大的约数与第二大 47.100 以内约数个数最多的自然数有五个，它们分别是几？ 解：如果恰有一个质因数，那么约数最多的是 26=64，有 7 个约数； 如果恰有两个不同质因数，那么约数最多的是 23 32 72和 25 3 96，各有 12 个约数； 如果恰有三个不同质因数，那么约数最多的是 22 35 60， 22 37 84 和 23 25=90，各有 12 个约数。 所以 100 以内约数最多的自然数是 60， 72， 84， 90 和 96。 48. 写出三个小于 20 的自然数，使它们的最大公约数是 1，但两两均不互质。 解： 6， 10， 15 49. 有 336 个苹果、 252 个桔子、 210 个梨，用这些果品最多可分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？ 解： 42 份；每份有苹果 8 个，桔子 6 个，梨 5 个。 50. 三个连续自然数的最小公倍数是 168，求这三个数。 解： 6， 7， 8。 提示：相邻两个自然数必互质，其最小公倍数就等于这两个数的乘积。而相邻三个自然数，若其中只有一个偶数，则其最小公倍数等于这三个数的乘积；若其中有两个偶数，则其最小公倍数等于这三个数乘积的一半。 51. 一副扑克牌共 54 张，最上面的一张是红桃 K。如果每次把最上面的 12 张牌移到最下面而不改变它 们的顺序及朝向，那么，至少经过多少次移动，红桃 K 才会又出现在最上面？ 解：因为 54， 12=108，所以每移动 108 张牌，又回到原来的状况。又因为每次移动 12 张牌，所以至少移动 10812=9 （次）。 52. 爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的 7 倍，过几年是你的 6 倍，再过若干年就分别是你的 5 倍、 4 倍、 3 倍、 2 倍。 ” 你知道爷爷和小明现在的年龄吗？ 解：爷爷 70 岁，小明 10 岁。 提示：爷爷和小明的年龄差是 6， 5， 4， 3， 2 的公倍数，又考虑到年龄的实际情况，取公倍数中最小的。 （ 60 岁） 53. 某质数加 6 或减 6 得 到的数仍是质数，在 50 以内你能找出几个这样的质数？并将它们写出来。 解： 11， 13， 17， 23， 37， 47。 54. 在放暑假的 8 月份，小明有五天是在姥姥家过的。这五天的日期除一天是合数外，其它四天的日期都是质数。这四个质数分别是这个合数减去 1，这个合数加上 1，这个合数乘上2 减去 1，这个合数乘上 2 加上 1。问：小明是哪几天在姥姥家住的？ 解：设这个合数为 a，则四个质数分别为（ a 1），（ a 1），（ 2a 1），（ 2a 1）。因为（ a 1）与（ a 1）是相差 2 的质数，在 1 31 中有五组： 3， 5； 5， 7； 11， 13； 17， 19；21， 31。经试算，只有当 a 6 时，满足题意，所以这五天是 8 月 5， 6， 7， 11， 13 日。 55. 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数。求这两个整数。 解： 3， 74； 18， 37。 提示：三个数字相同的三位数必有因数 111。因为 111 337 ，所以这两个整数中有一个是37 的倍数（只能是 37 或 74），另一个是 3 的倍数。 56. 在一根 100 厘米长的木棍上，从左至右每隔 6 厘米染一个红点，同时从右至左每隔 5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开 。问：长度是 1 厘米的短木棍有多少根？ 解：因为 100 能被 5 整除，所以可以看做都是自左向右染色。因为 6 与 5的最小公倍数是 30，即在 30 厘米处同时染上红点，所以染色以 30 厘米为周期循环出现。一个周期的情况如下图所示： 由上图知道，一个周期内有 2 根 1 厘米的木棍。所以三个周期即 90 厘米有 6 根，最后 10 厘米有 1 根，共 7 根。 57. 某种商品按定价卖出可得利润 960 元，若按定价的 80出售，则亏损 832 元。问：商品的购入价是多少元？ 解： 8000 元。按两种价格出售的差额为 960 832=1792（元），这个差额是按定价出售收入的 20，故按定价出售的收入为 179220 =8960（元），其中含利润 960 元，所以购入价为 8000 元。 58. 甲桶的水比乙桶多 20，丙桶的水比甲桶少 20。乙、丙两桶哪桶水多？ 解：乙桶多。 59. 学校数学竞赛出了 A， B， C 三道题，至少做对一道的有 25 人，其 中做对 A 题的有 10人，做对 B 题的有 13 人，做对 C 题的有 15 人。如果二道题都做对的只有 1 人，那么只做对两道题和只做对一道题的各有多少人？ 解：只做对两道题的人数为（ 10 13 15） -25 -21 11（人）， 只做对一道题的人数为 25 11 1=13（人）。 60. 学校举行棋类比赛，设象棋、围棋和军棋三项，每人最多参加两项。根据报名的人数，学校决定对象棋的前六名、围棋的前四名和军棋的前三名发放奖品。问：最多有几人获奖？最少有几人获奖？ 解：共有 13 人次获奖，故最多有 13 人获奖。又每人最多参加两项，即 最多获两项奖，因此最少有 7 人获奖。 61. 在前 1000 个自然数中，既不是平方数也不是立方数的自然数有多少个？ 解：因为 312 1000 322， 103 1000，所以在前 1000 个自然数中有 31 个平方数， 10个立方数，同时还有 3 个六次方数（ 16， 26， 36）。所求自然数共有 1000（ 31 10） 3 962（个）。 62. 用数字 0， 1， 2， 3， 4 可以组成多少个不同的三位数（数字允许重复）？ 解： 4*5*5=100 个 63. 要从五年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体各一个，有多少种不同的评选 结果？ 解： 6*6*6=216 种 64. 已知 15120=24 33 57 ，问： 15120 共有多少个不同的约数？ 解： 15120 的约数都可以表示成 2a 3b 5c 7d的形式，其中 a=0， 1， 2， 3， 4， b=0， 1，2， 3， c=0， 1， d=0， 1，即 a， b， c， d 的可能取值分别有 5， 4， 2， 2 种，所以共有约数 5422=80 （个）。 65. 大林和小林共有小人书不超过 50 本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？ 解： 他们一共可能有 0 50 本书，如果他们共有 n 本书，则大林可能有书 0 n 本 ，也就是说这 n 本书在两人之间的分配情况共有（ n 1）种。所以不超过 50 本书的所有可能的分配情况共有 1 2 3 51=1326（种）。 66. 在右图中，从 A 点沿线段走最短路线到 B 点，每次走一步或两步，共有多少种不同走法？（注：路线相同步骤不同，认为是不同走法。） 解： 80 种。提示：从 A 到 B 共有 10 条不同的路线，每条路线长 5 个线段。每次走一个或两个线段，每条路线有 8 种走法，所以不同走法共有 810=80 （种）。 67.有五本不同的书，分别借给 3 名同学，每人借一本，有多少种不同的借法？ 解： 5*4*3=60 种 68 有三本不同的书被 5 名同学借走，每人最多借一本，有多少种不同的借法？ 解： 5*4*3=60 种 69. 恰有两位数字相同的三位数共有多少个？ 解：在 900 个三位数中，三位数各不相同的有 998 648（个），三位数全相同的有9 个，恰有两位数相同的有 900 648 9=243（个 ）。 70. 从 1， 3， 5 中任取两个数字，从 2， 4， 6 中任取两个数字，共可组成多少个没有重复数字的四位数？ 解： 三个奇数取两个有 3 种方法，三个偶数取两个也有 3 种方法。共有 334 ！ =216（个）。 71. 左下图中有多少个锐角？ 解： C(11,2)=55 个 72. 10 个人围成一圈，从 中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？ 解 :c(10,2)-10=35 种 73. 一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供 27 头牛吃 6 周，或供 23 头牛吃 9 周。那么可供 21 头牛吃几周？ 解：将 1 头牛 1 周吃的草看做 1 份，则 27 头牛 6 周吃 162 份， 23 头牛 9 周吃 207 份，这说明 3 周时间牧场长草 207-162 45（份），即每周长草 15 份，牧场原有草 162 156 72（份）。 21 头牛中的 15 头牛吃新长出的草，剩下的 6 头牛吃原有的草，吃完需 726 12（周）。 74. 有一水池，池底有泉水不断涌出。要想把水池的水 抽干， 10 台抽水机需抽 8 时， 8台抽水机需抽 12 时。如果用 6 台抽水机，那么需抽多少小时？ 解：将 1 台抽水机 1 时抽的水当做 1 份。泉水每时涌出量为 （ 812 -108 ） （ 12-8） =4（份）。 水池原有水（ 10-4） 8 48（份）， 6 台抽水机需抽 48 （ 6-4） =24（时）。 75. 规定 a*b=(b a)b ，求 (2*3)*5。 解： 2*3=(3+2)*3=15 15*5=(15+5)*5=100 76. 1！ +2！ +3！ +99 ！的 个 位数字是多少？ 解： 1！ +2！ +3！ +4！ =1+2+6+24=33 从 5！开始， 以后每一项的个位数字都是 0 所以 1！ +2！ +3！ +99 ！的 个 位数字是 3。 77（ 1） 有一批 四种颜色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各种信号。在 200 个信号中至少有多少个信号完全相同？ 解： 4*4*4=64 200 64=3 8 所以至少有 4 个信号完全相同。 77. （ 2） 在今年入学的一年级新生中有 370 多人是在同一年出生的。试说明：他们中至少有 2 个人是在同一天出生的。 解：因为一年最多有 366 天，看做 366 个抽屉 因为 370366,所以根据抽屉原理至少有 2 个人是在同一天出生的。 78. 从前 11 个自然数中 任意取出 6 个，求证：其中必有 2 个数互质。 证明：把前 11 个自然数分成如下 5 组 （ 1， 2， 3）（ 4， 5）（ 6， 7）（ 8， 9）（ 10， 11） 6 个数放入 5 组必然有 2 个数在同一组，那么这两个数必然互质。 79. 小明去爬山，上山时每时行 2.5 千米，下山时每时行 4 千米，往返共用 3.9 时。小明往返一趟共行了多少千米？ 80. 长江沿岸有 A， B 两码头，已知客船从 A 到 B 每天航行 500千米，从 B到 A每天航行400 千米。如果客船在 A， B 两码头间往返航行 5 次共用 18 天，那么两码头间的距离是多少千米？ 解： 800 千米。 提示：从 A 到 B 与从 B 到 A 的速度比是 54 ，从 A到 B用 81. 请在下式中插入一个数码，使之成为等式： 111111= 111111 解答： 91*11*111=111111 82甲、乙、丙三数的和是 100，甲数除以乙数与丙数除以甲数的结果都是商 5 余 1。问：乙数是多少？ 解：设乙数是 x，那么甲数 就是 5x+1 丙数是 5(5x+1)+1=25x+6 因此 x+5x+1+25x+6=100 31x=93 x=3 所以乙数是 3 83 12345654321(1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1)是哪个数的平方 解： 12345654321=111111 的平方 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36=6 的平方 所以原式 =666666 的平方。 84.某剧院有 25 排座位，后一排比前一排多 2 个座位，最后一排有 70 个座位。问：这个剧院一共有多少个座位？ 解：第一排有 70-24*2=22 个座位 所以总座 位数是 (22+70)*25/2 =1150 85. 某城市举行小学生数学竞赛，试卷共有 20 道题。评分标准是：答对一道给 3 分，没答的题每题给 1 分，答错一道扣 1 分。问：所有参赛学生的得分总和是奇数还是偶数？为什么？ 解：一定是偶数，因为每个人 20 道题得分都分别是奇数， 20 个奇数的和一定是偶数。每个人的得分都是偶数，所以无论有多少参赛学生，参赛学生的得分总和一定是偶数。 86. 可以分解为三个质数之积的最小的三位数是几？ 解： 102=2*3*17 87. 两个质数的和是 39，求这两个质数的积。 解：注意到奇偶性可 以知道这 2 个质数分别是 2 和 37 它们的乘积是 2*37=74 88. 有 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 九张牌，甲、乙、丙各拿了三张。甲说： “ 我的三张牌的积是 48。 ” 乙说： “ 我的三张牌的和是 15。 ” 丙说： “ 我的三张牌的积是 63。 ” 问：他们各拿了哪三张牌？ 解： 63=7*1*9 所以丙拿的 1， 7， 9 48=2*3*8 所以甲拿的 2， 3， 8 4+5+6=15 因此乙拿的是 4， 5， 6 89. 四个连续自然数的积是 3024，求这四个数。 解：考虑末尾数字， 1*2*3*4 末尾是 4 6*7*8*9 末尾也是 4 其他情况下末尾都是 0 11*12*13*14=24024 太大 6*7*8*9=3024 刚好 所以这 4 个数是 6， 7， 8， 9 90. 证明：任何一个三位数，连着写两遍得到一个六位数，这个六位数一定能被 7， 11， 13整除。 解：该数形如 ABCABC=ABC*1001 1001=7*11*13 所以这个六位数一定能被 7， 11， 13 整除。 91在 1 100 中，所有的只有 3 个约数的自然数的和是多少？ 解： 4+9+25+49=87 92. 有一种电子钟，每到正点响一次铃，每过九分钟亮一次灯。如 果中午 12 点整它既响铃又亮灯，那么下一次既响铃又亮灯是什么时间？ 解： 60,9=180 180/60=3 下次是下午 3 点钟。 93. 有一个数除以 3 余 2，除以 4 余 1。问：此数除以 12余几？ 解：除以 3 余 2 的数是 2， 5， 8， 11， 14。 除以 4 余 1 的数是 1， 5， 9，。 所以此数除以 12 余 5 94. 把 16 拆成若干个自然数的和，要求这些自然数的乘积尽量大，应如何拆？ 解： 16=3+3+3+3+2+2 乘积是 3*3*3*3*2*2=324 95. 小明按 1 3 报数，小红按 1 4 报数。 两人以同样的速度同时开始报数，当两人都报了 100 个数时，有多少次两人报的数相同？ 解：每 12 次作为一个周期 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 每个周期两人有 3 次报的数一样 100=12*8+4 所以两个人有 8*3+3=27 次报的数相同。 96. 某自然数加 10 或减 10 皆为平方数，求这个自然数。 解：设这个数是 x x+10=m2 x-10=n2 m2-n2=20 (m+n)(m-n)=20 m=6,n=4 所以 x=62-10=26 97. 已知某铁路桥长 1000 米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120 秒，整列火车完全在桥上的时间为 80 秒。求火车的速度和长度。 解： 120 秒行驶的距离是桥长 +车长 80 秒行驶的距离是桥长 -车长 所以 80(1000+车长 )=120（ 1000-车长） 车长 =200 米 火车的速度是 10 米 /秒 98. 甲、乙二人按顺时针方向沿圆形跑道练习跑步，已知甲跑一圈要 12 分，乙跑一圈要 15分，如果他们分别从圆形跑道直径的两端同时出发，那么出发后多少分甲追上乙？ 解： (1/2)/(1/12-1/15)=(1/2)/(1/60)=30 分钟 99. 甲、乙比赛乒乓球，五局三胜。已知甲胜了第一局，并最终获胜。问：各局的胜负情况有多少种可能？ 解：甲 甲 甲 甲 甲 乙 甲 甲 甲 乙 乙 甲 甲 乙 甲 甲 甲 乙 甲 乙 甲 甲 乙 乙 甲 甲 经枚举发现共有 6 种可能。 100. 甲、乙二人 2 时共可加工 54 个零件，甲加工 3 时的零件比乙加工 4 时的零件还多 4个。问：甲每时加工多少个零件？ 解：甲乙二人一小时共可加工零件 27 个 设甲每小时加工 x 个，那么乙每小时加工 27-x 个 根据条件得 3x=4(27-x)+4 7x=112 x=16 答：甲每小时加工零件 16 个。 五年级 奥数题 （二） 100道 六年综合奥数题 工程问题 1甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要 20小时， 16小时 .丙水管单独开，排一池水要 10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管， 5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？ 解： 1/20+1/16 9/80表示甲乙的工作效率 9/805 45/80表示 5小时后进水量 1-45/80 35/80表示还要的进水量 35/80（ 9/80-1/10） 35表示还要 35小时注满 答： 5小时后还要 35小时就能将水池注满。 2修一条水渠，单独修，甲队需要 20天完成，乙队需要 30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划 16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？ 解：由题意得，甲的工效为 1/20，乙的工效为 1/30，甲乙的合作工效为 1/20*4/5+1/30*9/107/100，可知甲乙合作工效 甲的工效 乙的工效。 又因为，要求 “两队合作的天数尽可能少 ”，所以应该让做的快的甲多做， 16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能 “两队合作的天数尽可能少 ”。 设合作时间为 x天，则甲独做时间为（ 16-x）天 1/20*（ 16-x） +7/100*x 1 x 10 答：甲乙最短合作 10天 3一件工作，甲、乙合做需 4小时完成，乙、丙合做需 5小时完成。现在先请甲、丙合做 2小时后，余下的乙还需做 6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？ 解： 由题意知， 1/4表示甲 乙合作 1小时的工作量， 1/5表示乙丙合作 1小时的工作量 （ 1/4+1/5） 2 9/10表示甲做了 2小时、乙做了 4小时、丙做了 2小时的工作量。 根据 “甲、丙合做 2小时后，余下的乙还需做 6小时完成 ”可知甲做 2小时、乙做 6小时、丙做 2小时一共的工作量为 1。 所以 1 9/10 1/10表示乙做 6-4 2小时的工作量。 1/102 1/20表示乙的工作效率。 11/20 20小时表示乙单独完成需要 20小时。 答：乙单独完成需要 20小时。 4一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天 甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需 17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？ 解：由题意可知 1/甲 +1/乙 +1/甲 +1/乙 +1/ 甲 1 1/乙 +1/甲 +1/乙 +1/甲 +1/ 乙 +1/甲 0.5 1 （ 1/甲表示甲的工作效率、 1/乙表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否则第二种做法就不比第一种多 0.5天） 1/甲 1/乙 +1/甲 0.5（因为前面的工作量都相等） 得到 1/甲 1/乙 2 又因为 1/乙 1/17 所以 1/甲 2/17，甲等于 172 8.5天 5师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了 1/2时，徒弟完成了 120个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了 4/5这批零件共有多少个？ 答案为 300个 120（ 4/52） 300个 可以这样想：师傅第一次完成了 1/2，第二次也是 1/2，两次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了 4/5，可以推算出第一次完成了 4/5的一半是 2/5，刚好是 120个。 6一 批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽 6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽 10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？ 答案是 15棵 算式： 1（ 1/6-1/10） 15棵 7一个池上装有 3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管， 20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管， 30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙 ,丙两管用了 18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？ 答案 45分钟。 1（ 1/20+1/30） 12 表示乙丙合作将满池水放完需要的 分钟数。 1/12*（ 18-12） 1/12*6 1/2 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了 6分钟的水，也就是甲 18分钟进的水。 1/218 1/36 表示甲每分钟进水 最后就是 1（ 1/20-1/36） 45分钟。 8某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？ 答案为 6天 解： 由 “若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成， ”可知： 乙做 3天的工作量甲 2天的工作量 即：甲乙的工作效率比是 3： 2 甲、乙分别做全部的的工作时间比是 2： 3 时间比的差是 1份 实际时间的差是 3天 所以 3（ 3-2） 2 6天，就是甲的时间，也就是规定日期 方程方法： 1/x+1/（ x+2） 2+1/（ x+2） （ x-2） 1 解得 x 6 9两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要 2小时，而点完一根细蜡烛要 1小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭 ，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的 2倍，问：停电多少分钟？ 答案为 40分钟。 解：设停电了 x分钟 根据题意列方程 1-1/120*x（ 1-1/60*x） *2 解得 x 40 二鸡兔同笼问题 1鸡与兔共 100只 ,鸡的腿数比兔的腿数少 28条 ,问鸡与兔各有几只 ? 解： 4*100 400， 400-0 400 假设都是兔子，一共有 400只兔子的脚，那么鸡的脚为 0只，鸡的脚比兔子的脚少 400只。 400-28 372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少 28只，相差 372只，这是为什么？ 4+2 6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少 4只（从 400只变为 396只），鸡的总脚数就会增加 2只（从 0只到 2只），它们的相差数就会少 4+2 6只（也就是原来的相差数是 400-0 400，现在的相差数为 396-2 394，相差数少了 400-394 6） 3726 62 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的 100只兔子中有 62只改为了鸡，所以脚的相差数从 400改为 28，一共改了 372只 100-62 38表示兔的只数 三数字数位问题 1把 1至 2005这 2005个自然数依次写下来得到一个多位数 123456789.2005,这个多位数除以9余数是多少 ? 解：首先研究能被 9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被 9整除，那么这个数也能被 9整除；如果各个位数字之和不能被 9整除，那么得的余数就是这个数除以 9得的余数。 解题： 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45； 45能被 9整除 依次类推： 11999这些数的个位上的数字之和可以被 9整除 1019， 20299099 这些数中十位上的数字都出现了 10次，那么十位上的数字之和就是10+20+30+90=450 它有能被 9整除 同样的道理， 100900 百位上的数字之和为 4500 同样被 9整除 也就是说 1999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被 9整除； 同样的道理： 10001999这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的数字之和可以被 9整除 （这里千位上的 “1”还没考虑，同时这里我们少 200020012002200320042005 从 10001999千位上一共 999个 “1”的和是 999，也能整除； 200020012002200320042005的各位 数字之和是 27，也刚好整除。 最后答案为余数为 0。 2 A和 B是小于 100的两个非零的不同自然数。求 A+B分之 A-B的最小值 . 解 ： (A-B)/(A+B) = (A+B - 2B)/(A+B) = 1 - 2 * B/(A+B) 前面的 1 不会变了 ， 只需求后面的最小值 ， 此时 (A-B)/(A+B) 最大。 对于 B / (A+B) 取最小时 ， (A+B)/B 取最大 ， 问题转化为求 (A+B)/B 的最大值。 (A+B)/B = 1 + A/B ， 最大的可能性是 A/B = 99/1 (A+B)/B = 100 (A-B)/(A+B) 的最大值是 ： 98 / 100 3 已知 A.B.C都是非 0自然数 ,A/2 + B/4 + C/16的近似值市 6.4,那么它的准确值是多少 ? 答案为 6.375或 6.4375 因为 A/2 + B/4 + C/16 8A+4B+C/166.4， 所以 8A+4B+C102.4， 由于 A、 B、 C为非 0自然数 ， 因此 8A+4B+C为一个整数 ， 可能是 102，也有可能是 103。 当是 102时， 102/16 6.375 当是 103时， 103/16 6.4375 4一个三位数的各位数字 之和是 17.其中十位数字比个位数字大 1.如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调 ,得到一个新的三位数 ,则新的三位数比原三位数大 198,求原数 . 答案为 476 解：设原数个位为 a，则十位为 a+1，百位为 16-2a 根据题意列方程 100a+10a+16-2a 100（ 16-2a） -10a-a 198 解得 a 6，则 a+1 7 16-2a 4 答：原数为 476。 5一个两位数 ,在它的前面写上 3,所组成的三位数比原两位数 的 7倍多 24,求原来的两位数 . 答案为 24 解：设该两位数为 a，则该三位数为 300+a 7a+24 300+a a 24 答：该两位数为 24。 6把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数 ,它与原数相加 ,和恰好是某自然数的平方 ,这个和是多少 ? 答案为 121 解：设原两位数为 10a+b，则新两位数为 10b+a 它们的和就是 10a+b+10b+a 11（ a+b） 因为这个和是一个平方数，可以确定 a+b 11 因此这个和就是 1111 121 答：它们的 和为 121。 7一个六位数的末位数字是 2,如果把 2移到首位 ,原数就是新数的 3倍 ,求原数 . 答案为 85714 解：设原六位数为 abcde2，则新六位数为 2abcde（字母上无法加横线，请将整个看成一个六位数） 再设 abcde（五位数）为 x，则原六位数就是 10x+2，新六位数就是 200000+x 根据题意得，（ 200000+x） 3 10x+2 解得 x 85714 所以原数就是 857142 答：原数为 857142 8有一个四位数 ,个位数字与百位数字的和是 12,十位数字 与千位数字的和是 9,如果个位数字与百位数字互换 ,千位数字与十位数字互换 ,新数就比原数增加 2376,求原数 . 答案为 3963 解：设原四位数为 abcd，则新数为 cdab，且 d+b 12， a+c 9 根据 “新数就比原数增加 2376”可知 abcd+2376=cdab,列竖式便于观察 abcd 2376 cdab 根据 d+b 12，可知 d、 b可能是 3、 9； 4、 8； 5、 7； 6、 6。 再观察竖式中的个位，便可以知道只有当 d 3， b 9；或 d 8， b 4时成立。 先取 d 3， b 9代入竖式 的百位，可以确定十位上有进位。 根据 a+c 9，可知 a、 c可能是 1、 8； 2、 7； 3、 6； 4、 5。 再观察竖式中的十位，便可知只有当 c 6， a 3时成立。 再代入竖式的千位，成立。 得到： abcd 3963 再取 d 8， b 4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。 9有一个两位数 ,如果用它去除以个位数字 ,商为 9余数为 6,如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和 ,则商为 5余数为 3,求这个两位数 . 解：设这个两位数为 ab 10a+b 9b+6 10a+b 5（ a+b） +3 化简得到一样： 5a+4b 3 由于 a、 b均为一位整数 得到 a 3或 7， b 3或 8 原数为 33或 78均可以 10如果现在是上午的 10点 21分 ,那么在经过 28799.99(一共有 20个 9)分钟之后的时间将是几点几分 ? 答案是 10： 20 解： （ 287999 （ 20个 9） +1） /60/24整除，表示正好过了整数天，时间仍然还是 10：21，因为事先计算时加了 1分钟，所以现在时间是 10： 20 四排列组合问题 1有五对夫妇围成一圈， 使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ） A 768种 B 32种 C 24种 D 2的 10次方中 解： 根据乘法原理，分两步： 第一步是把 5对夫妻看作 5个整体，进行排列有 54321 120种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生 5个 5个重复，因此实际排法只有 1205 24种。 第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有 2种排法，总共又22222 32种 综合两步，就有 2432 768种。 2 若把英语单词 hello的字母写错 了 ,则可能出现的错误共有 ( ) A 119种 B 36种 C 59种 D 48种 解： 5全排列 5*4*3*2*1=120 有两个 l所以 120/2=60 原来有一种正确的所以 60-1=59 五容斥原理问题 1 有 100种赤贫 .其中含钙的有 68种 ,含铁的有 43种 ,那么 ,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是 ( ) A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11 解：根据容斥原理最小值 68+43-100 11 最大值就是含铁的有 43种 2 在多元智能大赛的决赛中只有三道题 .已知 :(1)某校 25名学生参加竞赛 ,每个学生至少解出一道题 ；(2)在所有没有解出第一题的学生中 ,解出第二题的人数是解出第三题的人数的 2倍 :(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多 1人 ；(4)只解出一道题的学生中 ,有一半没有解出第一题 ,那么只解出第二题的学生人数是 ( ) A， 5 B， 6 C， 7 D， 8 解：根据 “每个人至少答出三题中的一道题 ”可知答题情况分为 7类：只答第 1题，只答第 2题，只答第 3题，只答第 1、 2题，只答第 1、 3题，只答 2、 3题，答 1、 2、 3题。 分别设各类的人数为 a1、 a2、 a3、 a12、 a13、 a23、 a123 由 （ 1） 知 ： a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123 25 由 （ 2） 知 ： a2+a23（ a3+ a23） 2 由 （ 3） 知 ： a12+a13+a123 a1 1 由 （ 4） 知 ： a1 a2+a3 再由 得 a23 a2 a32 再由 得 a12+a13+a123 a2+a3 1 然后将 代入 中，整理得到 a24+a3 26 由于 a2、 a3均表示人数， 可以求出它们的整数解： 当 a2 6、 5、 4、 3、 2、 1时， a3 2、 6、 10、 14、 18、 22 又根据 a23 a2 a32 可知： a2a3 因此，符合条件的只有 a2 6， a3 2。 然后可以推出 a1 8， a12+a13+a123 7， a23 2，总人数 8+6+2+7+2 25，检验所有条件均符。 故只解出第二题的学生人数 a2 6人。 3一次考试共有 5道试题。做对第 1、 2、 3、 4、 5题的分别占参加考试人数的 95%、 80%、79%、 74%、 85%。如果做对三道或三道以上为 合格，那么这次考试的合格率至少是多少？ 答案：及格率至少为 71。 假设一共有 100人考试 100-95 5 100-80 20 100-79 21 100-74 26 100-85 15 5+20+21+26+15 87（表示 5题中有 1题做错的最多人数） 873 29（表示 5题中有 3题做错的最多人数，即不及格的人数最多为 29人） 100-29 71（及格的最少人数，其实都是全对的） 及格率至少为 71 六抽屉原理、奇偶性问题 1一只布袋中装有大小 相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最少要摸出几只手套才能保证有 3副同色的？ 解：可以把四种不同的颜色看成是 4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有一副同色的，就是 1个抽屉里至少有 2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出 5只手套。这时拿出 1副同色的后 4个抽屉中还剩 3只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出 2只手套，又能保证有一副手套是同色的，以此类推。 把四种颜色看做 4个抽屉，要保证有 3副同色的，先考虑保证有 1副就要摸出 5只手套。这时拿出 1副同色的后， 4个抽屉中还剩下 3只手套。根据抽屉原理，只要再摸出 2只手套，又能保证有 1副是同色的。以此类推，要保证有 3副同色的，共摸出的手套有： 5+2+2=9（只） 答：最少要摸出 9只手套，才能保证有 3副同色的。 2有四种颜色的积木若干，每人可任取 1-2件，至少有几个人去取，才能保证有 3人能取得完全一样？ 答案为 21 解： 每人取 1件时有 4种不同的取法 ,每人取 2件时 ,有 6种不同的取法 . 当有 11人时 ,能保证至少有 2人取得完全一样 : 当有 21人时 ,才能保证到少有 3人取得完全一样 . 3某盒子内装 50只球，其中 10只是红色， 10只是绿色， 10只是黄色， 10只是蓝色，其余是白球和黑球，为了确保取出的球中至少包含有 7只同色的球，问：最少必须从袋中取出多少只球？ 解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数。 当黑球或白球其中没有大于或等于 7个的，那么就是： 6*4+10+1=35(个 ) 如果黑球或白球其中有等于 7个的，那么就是： 6*5+3+1 34（个） 如果黑球或白球其中有等于 8个的，那么就是： 6*5+2+1 33 如果黑球或白球其中有等于 9个的，那么就是： 6*5+1+1 32 4地上有 四堆石子，石子数分别是 1、 9、 15、 31如果每次从其中的三堆同时各取出 1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同 ?（如果能请说明具体操作，不能则要说明理由） 不可能。 因为总数为 1+9+15+31 56 56/4 14 14是一个偶数 而原来 1、 9、 15、 31都是奇数，取出 1个和放入 3个也都是奇数，奇数加减若干次奇数后，结果一定还是奇数，不可能得到偶数（ 14个）。 七路程问题 1狗跑 5步的时间马跑 3步，马跑 4步的距离狗跑 7步，现在狗已跑出 30米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？ 解： 根据 “马跑 4步的距离狗跑 7步 ”，可以设马每步长为 7x米，则狗每步长为 4x米。 根据 “狗跑 5步的时间马跑 3步 ”，可知同一时间马跑 3*7x米 21x米，则狗跑 5*4x 20米。 可以得出马与狗的速度比是 21x： 20x 21： 20 根据 “现在狗已跑出 30米 ”，可以知道狗与马相差的路程是 30米，他们相差的份数是 21-20 1，现在求马的 21份是多少路程，就是 30（ 21-20） 21 630米 2甲乙辆车同时从 a b两地相对开出 ，几小时后再距中点 40千米处相遇？已知，甲车行完全程要 8小时，乙车行完全程要 10小时，求 a b 两地相距多少千米？ 答案 720千米。 由 “甲车行完全程要 8小时，乙车行完全程要 10小时 ”可知，相遇时甲行了 10份，乙行了 8份（总路程为 18份），两车相差 2份。又因为两车在中点 40千米处相遇，说明两车的路程差是（ 40+40）千米。所以算式是（ 40+40） （ 10-8） （ 10+8） 720千米。 3在一个 600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔 12分钟相遇一次，若两个人 速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔 4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？ 答案为两人跑一圈各要 6分钟和 12分钟。 解： 60012=50，表示哥哥、弟弟的速度差 6004=150，表示哥哥、弟弟的速度和 （ 50+150） 2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数 （ 150-50） /2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数 600100=6分钟，表示跑的快者用的时间 600/50=12分钟，表示跑得慢者用的时间 4慢车车长 125米，车速每秒行 17米，快车车长 140米，车速每秒行 22米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？ 答案为 53秒 算式是（ 140+125)(22-17)=53秒 可以这样理解： “快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车 ”就是快车车尾上的点追及慢车车头的点，因此追及的路程应该为两个车长的和。 5在 300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每秒 5米，乙平均速度是每秒 4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线 前几米？ 答案为 100米 300（ 5-4.4） 500秒，表示追及时间 5500 2500米，表示甲追到乙时所行的路程 2500300 8圈 100 米，表示甲追及总路程为 8圈还多 100米，就是在原来起跑线的前方 100米处相遇。 6一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过 57秒火车经过她前面，已知火车鸣笛时离他 1360米， (轨道是直的 ),声音每秒传 340米，求火车的速度（得出保留整数） 答案为 22米 /秒 算式： 1360(1360340+57） 22米 /秒 关键理解：人在听到声音后 57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的地方行出1360340 4秒的路程。也就是 1360米一共用了 4+57 61秒。 7猎犬发现在离它 10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑 5步的路程，兔子要跑 9步，但是兔子的动作快，猎犬跑 2步的时间，兔子却能跑 3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。 正确的答案是猎犬至少跑 60米才能追上。 解： 由 “猎犬跑 5步的路程，兔子要跑 9步 ”可知当猎犬每步 a米，则兔子每步 5/9米。由 “猎犬跑 2步的时间 ，兔子却能跑 3步 ”可知同一时间，猎犬跑 2a米，兔子可跑 5/9a*3 5/3a米。从而可知猎犬与兔子的速度比是 2a： 5/3a 6： 5，也就是说当猎犬跑 60米时候，兔子跑 50米，本来相差的 10米刚好追完 8 AB两地 ,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是 4:5,如果甲乙二人分别同时从 AB两地相对行使 ,40分钟后两人相遇 ,相遇后各自继续前行 ,这样，乙到达 A地比甲到达 B地要晚多少分钟 ? 答案： 18分钟 解：设全程为 1,甲的速度为 x乙的速度为 y 列式 40x+40y=1 x:y=5:4 得 x=1/72 y=1/90 走完全程甲需 72分钟 ,乙需 90分钟 故得解 9甲乙两车同时从 AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点后立即返回。第二次相遇时离 B地的距离是 AB全程的 1/5。已知甲车在第一次相遇时行了 120千米。 AB两地相距多少千米？ 答案是 300千米。 解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了 1个 AB的路程，从开始到第二次相遇，一共又行了 3个 AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次相遇前各自所走的路程的 3倍。即甲共走的路程是 120*3 360千米，从线段图可以看出，甲一共走了全程的（ 1+1/5）。 因此 360（ 1+1/5） 300千米 从 A地到 B地，甲、乙两人骑自行车分别需要 4小时、 6小时，现在甲乙分别 AB两地同时出发相向而行，相遇时距 AB两地中点 2千米。如果二人分别至 B地， A地后都立即折回。第二次相遇点第一次相遇点之间有（）千米 10一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要 6小时 ；逆流 8小时。如果水流速度是每小时 2千米，求两地间的距离？ 解：（ 1/6-1/8） 2 1/48表示水速的分率 21/48 96千米表示总路程 11快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行 33千米，相遇是已行了全程的七 分之四，已知慢车行完全程需要 8小时，求甲乙两地的路程。 解： 相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是 4： 3 时间比为 3： 4 所以快车行全程的时间为 8/4*3 6小时 6*33 198千米 12小华从甲地到乙地 ,3分之 1骑车 ,3分之 2乘车 ；从乙地返回甲地 ,5分之 3骑车 ,5分之 2乘车 ,结果慢了半小时 .已知 ,骑车每小时 12千米 ,乘车每小时 30千米 ,问 :甲乙两地相距多少千米 ? 解： 把路程看成 1，得到时间系数 去时时间系数： 1/312+2/330 返回时间系数： 3/512+2/530 两者之差：（ 3/512+2/530） -（ 1/312+2/330） =1/75相当于 1/2小时 去时时间： 1/2（ 1/312） 1/75和 1/2（ 2/330） 1/75 路程： 12 1/2（ 1/312） 1/75 +30 1/2（ 2/330） 1/75 =37.5（千米） 八比例问题 1甲乙两人在河边钓鱼 ,甲钓了三条 ,乙钓了两条 ,正准备吃 ,有一个人请求跟他们一起吃 ,于是三人将五条鱼平分了 ,为了表示感谢 ,过路人留下 10元 ,甲、乙怎么分？快快快 答案：甲收 8元，乙收 2元。 解： “三人将五条鱼平分，客人拿出 10元 ”，可以理解为五条鱼总价值为 30元，那么每条鱼价值 6元。 又因为 “甲钓了三条 ”，相当于甲吃之前已经出资 3*6 18元， “乙钓了两条 ”，相当于乙吃之前已经出资 2*6 12元。 而甲乙两人吃了的价值都是 10元，所以 甲还可以收回 18-10 8元 乙还可以收回 12-10 2元 刚好就是客人出的钱。 2一种商品，今年的成本比去年增加了 10分之 1，但仍保持原售价，因此，每份利润下降了 5分之 2，那么，今年这种商品的成本占售价的几分之几？ 答案 22/25 最好画线段图思考： 把去年原来成本看成 20份，利润看成 5份，则今年的成本提高 1/10，就是 22份，利润下降了2/5，今年的利润只有 3份。增加的成本 2份刚好是下降利润的 2份。售价都是 25份。 所以，今年的成本占售价的 22/25。 3甲乙两车分别从 A.B两地出发 ,相向而行 ,出发时 ,甲 .乙的速度比是 5:4,相遇后 ,甲的速度减少 20%,乙的速度增加 20%,这样 ,当甲到达 B地时 ,乙离 A地还有 10千米 ,那么 A.B两地相距多少千米 ? 解： 原来甲 .乙的速度比是 5:4 现在的甲： 5（ 1-20） 4 现在的乙： 4（ 1+20） 4.8 甲到 B后，乙离 A还有： 5-4.8 0.2 总路程： 100.2（ 4+5） 450千米 4一个圆柱的底面周长减少 25%，要使体积增加 1/3，现在的高和原来的高度比是多少？ 答案为 64： 27 解：根据 “周长减少 25 ”，可知周长是原来的 3/4，那么半径也是原来的 3/4，则 面积是原来的 9/16。 根据 “体积增加 1/3”，可知体积是原来的 4/3。 体积 底面积高 现在的高是 4/39/16 64/27，也就是说现在的高是原来的高的 64/27 或者现在的高：原来的高 64/27： 1 64： 27 5某市场运来香蕉、苹果、橘子和梨四种水果其中橘子、苹果共 30吨香蕉、橘子和梨共 45吨。橘子正好占总数的 13分之 2。一共运来水果多少吨？ 第二题：答案为 65吨 橘子 +苹果 30吨 香蕉 +橘子 +梨 45吨 所以橘子 +苹果 +香蕉 +橘子 +梨 75吨 橘子 （香蕉 +苹果 +橘子 +梨） 2/13 说明：橘子是 2份，香蕉 +苹果 +橘子 +梨是 13份 橘子 +香蕉 +苹果 +橘子 +梨一共是 2+13 15份 过桥问题（ 1） 1. 一列火车经过南京长江大桥，大桥长 6700米，这列火车长 140米，火车每分钟行 400米，这列火车通过长江大桥需要多少分钟？ 分析：这道题求的是通过时间。根据数量关系式，我们知道要想求通过时间，就要知道路程和速度。路程是用桥长加上车长。火车的速度是已知条件。 总路程： （米） 通过时间： （分钟） 答：这列火车通过长江大桥需要 17.1分钟。 2. 一列火车长 200米，全车通过长 700米的桥需要 30秒钟，这列火车每秒行多少米？ 分析与解答：这是一道求车速的过桥问题。我们知道，要想求车速，我们就要知道路程和通 过时间这两个条件。可以用已知条件桥长和车长求出路程，通过时间也是已知条件，所以车速可以很方便求出。 总路程： （米） 火车速度： （米） 答：这列火车每秒行 30米。 3. 一列火车长 240米，这列火车每秒行 15米，从车头进山洞到全车出山洞共用 20秒，山洞长多少米？ 分析与解答：火车过山洞和火车过桥的 思路是一样的。火车头进山洞就相当于火车头上桥；全车出洞就相当于车尾下桥。这道题求山洞的长度也就相当于求桥长，我们就必须知道总路程和车长，车长是已知条件，那么我们就要利用题中所给的车速和通过时间求出总路程。 总路程： 山洞长： （米） 答：这个山洞长 60米。 和倍问题 1. 秦奋和妈妈的年龄加在一起是 40岁，妈妈的年龄是秦奋年龄的 4倍，问秦奋和妈妈各是多少岁？ 我们把秦奋的年龄作为 1倍， “妈妈的年龄是秦奋的 4倍 ”，这样秦奋和妈妈年龄的和就相当于秦奋年龄的 5倍是 40岁，也就是（ 4 1）倍 ，也可以理解为 5份是 40岁，那么求 1倍是多少，接着再求 4倍是多少？ （ 1）秦奋和妈妈年龄倍数和是： 4 1 5（倍） （ 2）秦奋的年龄： 405 8岁 （ 3）妈妈的年龄： 84 32岁 综合： 40（ 4 1） 8岁 84 32岁 为了保证此题的正确，验证 （ 1） 8 32 40岁 （ 2） 328 4（倍） 计算结果符合条件，所以解题正确。 2. 甲乙两架飞机同时从机场向相反方向飞行， 3小时共飞行 3600千米，甲的速度是乙的 2倍，求它们的速度各是多少？ 已知两架飞机 3小时共飞 行 3600千米，就可以求出两架飞机每小时飞行的航程，也就是两架飞机的速度和。看图可知，这个速度和相当于乙飞机速度的 3倍，这样就可以求出乙飞机的速度，再根据乙飞机的速度求出甲飞机的速度。 甲乙飞机的速度分别每小时行 800千米、 400千米。 3. 弟弟有课外书 20本，哥哥有课外书 25本，哥哥给弟弟多少本后，弟弟的课外书是哥哥的 2倍？ 思考：（ 1）哥哥在给弟弟课外书前后，题目中不变的数量是什么？ （ 2）要想求哥哥给弟弟多少本课外书，需要知道什么条件？ （ 3）如果把哥哥剩下的课外书看作 1倍，那么 这时（哥哥给弟弟课外书后）弟弟的课外书可看作是哥哥剩下的课外书的几倍？ 思考以上几个问题的基础上，再求哥哥应该给弟弟多少本课外书。根据条件需要先求出哥哥 剩下多少本课外书。如果我们把哥哥剩下的课外书看作 1倍，那么这时弟弟的课外书可看作是哥哥剩下的课外书的 2倍，也就是兄弟俩共有的倍数相当于哥哥剩下的课外书的 3倍，而兄弟俩人课外书的总数始终是不变的数量。 （ 1）兄弟俩共有课外书的数量是 20 25 45。 （ 2）哥哥给弟弟若干本课外书后，兄弟俩共有的倍数是 2 1 3。 （ 3）哥哥剩下的课外书的本数是 453 15。 （ 4）哥哥给弟弟课外书的本数是 25 15 10。 试着列出综合算式： 4. 甲乙两个粮库原来共存粮 170吨，后来从甲库运出 30吨，给乙库运进 10吨，这时甲库存粮是乙库存粮的 2倍，两个粮库原来各存粮多少吨？ 根据甲乙两个粮库原来共存粮 170吨，后来从甲库运出 30吨，给乙库运进 10吨，可求出这时甲、乙两库共存粮多少吨。根据 “这时甲库存粮是乙库存粮的 2倍 ”，如果这时把乙库存粮作为 1倍，那么甲、乙库所存粮就相当于乙存粮的 3倍。于是求出这时乙库存粮多少吨，进而可求出乙库原来存粮多少吨 。最后就可求出甲库原来存粮多少吨。 甲库原存粮 130吨，乙库原存粮 40吨。 列方程组解应用题（一） 1. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身 16个，或制盒底 43个，一个盒身和两个盒底配成一个罐头盒，现有 150张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，才能使盒身与盒底正好配套？ 依据题意可知这个题有两个未知量，一个是制盒身的铁皮张数，一个是制盒底的铁皮张数，这样就可以用两个未知数表示，要求出这两个未知数，就要从题目中找出两个等量关系，列出两个方程，组在一起，就是方程组。 两个等量关系是： A做盒身张数 +做盒底的张数 =铁皮总张数 B制出的盒身数 2=制出的盒底数 用 86张白铁皮做盒身， 64张白铁皮做盒底。 奇数与偶数（一） 其实，在日常生活中同学们就已经接触了很多的奇数、偶数。 凡是能被 2整除的数叫偶数，大于零的偶数又叫双数；凡是不能被 2整除的数叫奇数，大于零的奇数又叫单数。 因为偶数是 2的倍数，所以通常用 这个式子来表示偶数（这里 是整数）。因为任何奇数除以2其余数都是 1，所以通常用式子 来表示奇数（这里 是整数）。 奇数和偶数有许多性质，常用的有： 性质 1 两个偶数的和或者差仍然是偶数。 例如： 8+4=12， 8-4=4等。 两个奇数的和或差也是偶数。 例如： 9+3=12， 9-3=6等。 奇数与偶数的和或差是奇数。 例如： 9+4=13， 9-4=5等。 单数个奇数的和是奇，双数个奇数的和是偶数，几个偶数的和仍是偶数。 性质 2 奇数与奇数的积是奇数。 偶数与整数的积是偶数。 性质 3 任何一个奇数一定不等于任何一个偶数。 1. 有 5张扑克牌，画面向上。小明每次翻转其中的 4张，那么，他能在翻动若干次后，使 5张牌的画面都向下吗 ？ 同学们可以试验一下，只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的画面由向上变为向下。要想使5张牌的画面都向下，那么每张牌都要翻动奇数次。 5个奇数的和是奇数，所以翻动的总张数为奇数时才能使 5张牌的牌面都向下。而小明每次翻动 4张，不管翻多少次，翻动的总张数都是偶数。 所以无论他翻动多少次，都不能使 5张牌画面都向下。 2. 甲盒中放有 180个白色围棋子和 181个黑色围棋子，乙盒中放有 181个白色围棋子，李平每次任意从甲盒中摸出两个棋子，如果两个棋子同色，他就从乙盒中拿出一个白子放入甲盒；如果两个棋子不 同色，他就把黑子放回甲盒。那么他拿多少后，甲盒中只剩下一个棋子，这个棋子是什么颜色的？ 不论李平从甲盒中拿出两个什么样的棋子，他总会把一个棋子放入甲盒。所以他每拿一次，甲盒子中的棋子数就减少一个，所以他拿 180+181-1=360次后，甲盒里只剩下一个棋子。 如果他拿出的是两个黑子，那么甲盒中的黑子数就减少两个。否则甲盒子中的黑子数不变。也就是说，李平每次从甲盒子拿出的黑子数都是偶数。由于 181是奇数，奇数减偶数等于奇数。所以，甲盒中剩下的黑子数应是奇数，而不大于 1的奇数只有 1，所以甲盒里剩下的一个棋子应该是黑子。 奥赛专题 - 称球问题 例 1 有 4堆外表上一样的球，每堆 4个。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个重 10克，次品球每个重 11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。 解 ：依次从第一、二、三、四堆球中，各取 1、 2、 3、 4个球，这 10个球一起放到天平上去称，总重量比 100克多几克，第几堆就是次品球。 2 有 27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称三次（不用砝码），把次品球找出来。 解 ：第一次：把 27个球分为三堆，每堆 9个，取 其中两堆分别放在天平的两个盘上。若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。 第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆 3个球，按上法称其中两堆，又可找出次品在其中较轻的那一堆。 第三次：从第二次找出的较轻的一堆 3个球中取出 2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。 例 3 把 10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次品找出来。 解：把 10个球分成 3个、 3个、 3个、 1个四组，将 四组球及其重量分别用 A、 B、 C、 D表示。把 A、 B两组分别放在天平的两个盘上去称，则 （ 1）若 A=B，则 A、 B中都是正品，再称 B、 C。如 B=C，显然 D中的那个球是次品；如 BC，则次品在 C中且次品比正品轻，再在 C中取出 2个球来称，便可得出结论。如 B C，仿照B C的情况也可得出结论。 （ 2）若 A B，则 C、 D中都是正品，再称 B、 C，则有 B=C，或 B C（ B C不可能，为什么？）如 B=C，则次品在 A中且次品比正品重，再在 A中取出 2个球来称，便可得出结论；如B C，仿前也可得出结论。 （ 3）若 A B， 类似于 A B的情况，可分析得出结论。 奥赛专题 - 抽屉原理 【例 1】一个小组共有 13名同学，其中至少有 2名同学同一个月过生日。为什么？ 【分析】每年里共有 12个月，任何一个人的生日，一定在其中的某一个月。如果把这 12个月看成 12个 “抽屉 ”，把 13名同学的生日看成 13只 “苹果 ”，把 13只苹果放进 12个抽屉里，一定有一个抽屉里至少放 2个苹果，也就是说，至少有 2名同学在同一个月过生日。 【例 2】任意 4个自然数，其中至少有两个数的差是 3的倍数。这是为什么？ 【分析与解】首先我们要弄清这样一 条规律：如果两个自然数除以 3的余数相同，那么这两个自然数的差是 3的倍数。而任何一个自然数被 3除的余数，或者是 0，或者是 1，或者是 2，根据这三种情况，可以把自然数分成 3类，这 3种类型就是我们要制造的 3个 “抽屉 ”。我们把 4个数看作 “苹果 ”，根据抽屉原理，必定有一个抽屉里至少有 2个数。换句话说， 4个自然数分成 3类，至少有两个是同一类。既然是同一类，那么这两个数被 3除的余数就一定相同。所以，任意 4个自然数，至少有 2个自然数的差是 3的倍数。 【例 3】有规格尺寸相同的 5种颜色的袜子各 15只混装在箱内，试问不论如何取 ，从箱中至少取出多少只就能保证有 3双袜子（袜子无左、右之分）？ 【分析与解】试想一下，从箱中取出 6只、 9只袜子，能配成 3双袜子吗？回答是否定的。 按 5种颜色制作 5个抽屉，根据抽屉原理 1，只要取出 6只袜子就总有一只抽屉里装 2只，这 2只就可配成一双。拿走这一双，尚剩 4只，如果再补进 2只又成 6只，再根据抽屉原理 1，又可配成一双拿走。如果再补进 2只，又可取得第 3双。所以，至少要取 6 2 2=10只袜子，就一定会配成 3双。 思考： 1.能用抽屉原理 2，直接得到结果吗？ 2.把题中的要求改为 3双不同色袜子 ，至少应取出多少只？ 3.把题中的要求改为 3双同色袜子，又如何？ 【例 4】一个布袋中有 35个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球各有 10个，另外还有 3个蓝色球、 2个绿色球，试问一次至少取出多少个球，才能保证取出的球中至少有 4个是同一颜色的球？ 【分析与解】从最 “不利 ”的取出情况入手。 最不利的情况是首先取出的 5个球中，有 3个是蓝色球、 2个绿色球。 接下来，把白、黄、红三色看作三个抽屉，由于这三种颜色球相等均超过 4个，所以，根据 抽屉原理 2，只要取出的球数多于（ 4-1） 3=9个，即至少 应取出 10个球，就可以保证取出的球至少有 4个是同一抽屉（同一颜色）里的球。 故总共至少应取出 10 5=15个球，才能符合要求。 思考：把题中要求改为 4个不同色，或者是两两同色，情形又如何？ 当我们遇到 “判别具有某种事物的性质有没有，至少有几个 ”这样的问题时，想到它 抽屉原理，这是你的一条 “决胜 ”之路。 奥赛专题 - 还原问题 【例 1】某人去银行取款，第一次取了存款的一半多 50元，第二次取了余下的一半多 100元。这时他的存折上还剩 1250元。他原有存款多少元？ 【分析】从上面那个 “重新包装 ”的事例中，我们应受到启发：要想还原，就得反过来做（倒推）。由 “第二次取余下的一半多 100元 ”可知， “余下的一半少 100元 ”是 1250元，从而 “余下的一半 ”是 1250+100=1350（元） 余下的钱（余下一半钱的 2倍）是： 13502=2700（元） 用同样道理可算出 “存款的一半 ”和 “原有存款 ”。综合算式是： （ 1250+100） 2+502=5500（元） 还原问题的一般特点是：已知对某个数按照一定的顺序施行四则运算的结果，或把一定数量的物品增加或减少的结果，要求最初（ 运算前或增减变化前）的数量。解还原问题，通常应当按照与运算或增减变化相反的顺序，进行相应的逆运算。 【例 2】有 26块砖，兄弟 2人争着去挑，弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶来了。哥哥看弟弟挑得太多，就拿来一半给自己。弟弟觉得自己能行，又 从哥哥那里拿来一半。哥哥不让，弟弟只好给哥哥 5块，这样哥哥比弟弟多挑 2块。问最初弟弟准备挑多少块？ 【分析】我们得先算出最后哥哥、弟弟各挑多少块。只要解一个 “和差问题 ”就知道：哥哥挑“（ 26+2） 2=14”块，弟弟挑 “26-14=12”块。 提示：解还原问题所 作的相应的 “逆运算 ”是指：加法用减法还原，减法用加法还原，乘法用除法还原，除法用乘法还原，并且原来是加（减）几，还原时应为减（加）几，原来是乘（除）以几，还原时应为除（乘）以几。 对于一些比较复杂的还原问题，要学会列表，借助表格倒推，既能理清数量关系，又便于验算。 奥赛专题 - 鸡兔同笼问题 例 1 鸡兔同笼，头共 46，足共 128，鸡兔各几只？ 分析 ：如果 46只都是兔，一共应有 446=184只脚，这和已知的 128只脚相比多了184-128=56只脚 .如果用一只鸡来置换一只兔，就要 减少 4-2=2（只）脚 .那么， 46只兔里应该换进几只鸡才能使 56只脚的差数就没有了呢？显然， 562=28，只要用 28只鸡去置换 28只兔就行了 .所以，鸡的只数就是 28，兔的只数是 46-28=18。 解： 鸡有多少只？ （ 46-128） （ 4-2） =（ 184-128） 2 =562 =28（只） 免有多少只？ 46-28=18（只） 答：鸡有 28只，免有 18只。 例 2 鸡与兔共有 100只，鸡的脚比兔的脚多 80只，问鸡与兔各多少只？ 分析 ： 这个例题与前面例题 是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差 .这又如何解答呢？ 假设 100只全是鸡，那么脚的总数是 2100=200（只）这时兔的脚数为 0，鸡脚比兔脚多 200只，而实际上鸡脚比兔脚多 80只 .因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（ 200-80） =120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡 .每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加 2只，兔的脚数减少 4只 .那么，鸡脚与兔脚的差数增加（ 2+4） =6（只），所以换成鸡的兔子有 1206=20（只） .有鸡（ 100-20） =80（只）。 解：（ 2100-80） （ 2+4） =20（只）。 100-20=80（只）。 答：鸡与兔分别有 80只和 20只。 例 3 红英小学三年级有 3个班共 135人，二班比一班多 5人，三班比二班少 7人，三个班各有多少人？ 分析 1 我们设想，如果条件中三个班人数同样多，那么，要求每班有多少人就很容易了 .由此得到启示，是否可以通过假设三个班人数同样多来分析求解。 结合下图可以想，假设二班、三班人数和一班人数相同，以一班为标准，则二班人数要比实际人数少 5人 .三班人数要比实际人数多 7-5=2（人） .那么，请你算一算，假设二班、三 班人数和一班人数同样多，三个班总人数应该是多少？ 解法 1： 一班： 135-5+（ 7-5） 3=1323 =44（人） 二班： 44+5=49（人） 三班： 49-7=42（人） 答：三年级一班、 二班、三班分别有 44人、 49人和 42人。 分析 2 假设一、三班人数和二班人数同样多，那么，一班人数比实际要多 5人，而三班要比实际人数多 7人 .这时的总人数又该是多少？ 解法 2：（ 135+ 5+ 7） 3 = 1473 = 49（人） 49-5=44（人）， 49-7=42（人） 答：三年级一班、二班、三班分别有 44人、 49人和 42人。 例 4 刘老师带了 41名同学去北海公园划船，共租了 10条船 .每条大船坐 6人，每条小船坐 4人，问大船、小船各租几条？ 分析 我们分步来考虑： 假设租的 10条船都是大船，那么船上应该坐 610= 60（人）。 假设后的总人数比实际人数多了 60-（ 41+1） =18（人），多的原因是把小船坐的 4人都假设成坐 6人。 一条小船当成大船多出 2人，多出的 18人是把 182=9（条）小船当成大船。 解： 610-(41+1） （ 6-4） = 182=9（条） 10-9=1（条） 答：有 9条小船， 1条大船。 例 5 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共 18只，共有腿 118条，翅膀 20对（蜘蛛 8条腿；蜻蜓 6条腿，两对翅膀；蝉 6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？ 分析 这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题 .观察数字特点，蜻蜓、蝉都是 6条腿，只有蜘蛛 8条腿 .因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数 .我们假设三种动物都是 6条腿，则总腿数为 618=108（条），所差 118-108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而 造成的 .所以，应有（ 118-108） （ 8-6） =5（只）蜘蛛 .这样剩下的 18-5=13（只）便是蜻蜓和蝉的只数 .再从翅膀数入手，假设 13只都是蝉，则总翅膀数 113=13（对），比实际数少 20-13 7（对），这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求 7（ 2-1） =7（只） . 解： 假设蜘蛛也是 6条腿，三种动物共有多少条腿？ 618=108（条） 有蜘蛛多少只？ （ 118-108） （ 8-6） =5（只） 蜻蜒、蝉共有多少只？ 18-5=13（只） 假设蜻蜒也是一对翅膀，共有多少对翅膀？ 113=13（对） 蜻蜒多少只？ （ 20-13） 2-1） = 7（只） 答：蜻蜒有 7只 . 牛吃草问题 1 一个牧场，草每天匀速生长，每头牛每天吃的草量相同， 17头牛 30天可以将草吃完，19头牛只需要 24天就可以将草吃完，现有一群牛，吃了 6天后，卖掉 4头牛，余下的牛再吃 2天就将草吃完。问没有卖掉 4头牛之前，这一群牛一共有多少头？ 1730=510（头） 1924=456（头）（ 510-456） （ 30-24） =9（头） 3017-309=240（头）（ 6+2） 9=72（头） 240+72+24=320（头） 320（ 6+2） =40（头） 2 一个蓄水池，每分钟流入 4立方米水。如果打开 5个水龙头， 2小时半就把水池中的水放光；如果打开 8个水龙头， 1小时半就把池中的水放光，现打开 13个水龙头，问要多少时间才能把水池中的水放光（每个水龙头每小时放走的水量相同）？ 3 甲、乙、丙 3个仓库，各存放着同样数量的化肥，甲仓库用皮带输送机一台和 12个工人，需要 5小时才能把甲仓库搬空；乙仓库用一台皮带输送机和 28个工人 ，需要 3小时才能把乙仓库搬空；丙仓库有两台皮带输送机，如果要求 2小时把丙仓库搬空，同时还需要多少工人（皮带输送机的功效相同，每个工人每小时的搬运量相同，皮带输送机与工人同时往处搬运化肥）？ 15=5（台）