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西南交通大学 高等数学 II 答案

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w w w z h i n a n ch e co m 西南交通大学西南交通大学西南交通大学西南交通大学 2008200820082008 2009200920092009学年第学年第学年第学年第 2 2 2 2 学期考试试卷学期考试试卷学期考试试卷学期考试试卷 课程代码课程代码课程代码课程代码6011320601132060113206011320课程名称课程名称课程名称课程名称 高等数学高等数学高等数学高等数学 II II II II A A A A 卷 卷 卷 卷 考试时间考试时间考试时间考试时间 120120120120 分钟分钟分钟分钟 阅卷教师签字 一 单项选择题 每小题 4 分 共 16 分 1 对于微分方程 一 单项选择题 每小题 4 分 共 16 分 1 对于微分方程 x eyyy 23 其特解 其特解 y设法正确的是 B A 设法正确的是 B A x Aey B B x Axey C C x eBAxy D D x eAxy 2 2 设空间区域2 设空间区域0 2222 zRzyx 000 2222 1 zyxRzyx 则 c A 则 c A 1 d d d4d d dx x y zx x y z B B 1 d d d4d d dy x y zy x y z C C 1 d d d4d d dz x y zz x y z D D 1 d d d4d d dxyz x y zxyz x y z 3 设3 设0 1 2 n an 且 且 1 n n a 收敛 收敛 0 2 则级数 则级数 2 1 1 tan n n n na n B A 条件收敛 B 绝对收敛 C 发散 D 收敛性与 B A 条件收敛 B 绝对收敛 C 发散 D 收敛性与 有关 4 设二元函数 有关 4 设二元函数 f x y满足满足 0 0 1 0 0 2 xy ff 则 D A 则 D A f x y在点在点 0 0 连续 B 连续 B 0 0 d d2df x yxy C C 0 0 cos2cos f l 其中 其中cos cos 为为l的方向余弦 D 的方向余弦 D f x y在点在点 0 0 沿沿x x x x轴负方向的方向导数为轴负方向的方向导数为1 二 填空题 每小题 4 分 共 16分 5 设函数 二 填空题 每小题 4 分 共 16分 5 设函数 y x yxyxfarcsin 1 则 则 1 xfx 1 1 6 曲面 6 曲面 22 zxy 被柱面被柱面 22 1xy 所割下部分的面积为所割下部分的面积为2 题题题题 目目目目 一一一一二二二二 三三三三四四四四五五五五 总总总总 分分分分9 9 9 91010101011111111121212121313131314141414151515151616161617171717 得得得得 分分分分 班班班班级级级级学学学学号号号号姓姓姓姓名名名名 密封装订线密封装订线密封装订线密封装订线密封装订线密封装订线 w w w z h i n a n ch e co m 7 设7 设 2 01 f xxx 而 而 1 sin n n S xbn xx 其中 其中 1 0 2 sin 1 2 n bf xn xdxn 则则 1 2 S 1 4 9 S 0 0 8 幂级数 8 幂级数 2 1 2 n n x n 的收敛域为的收敛域为 1 1 1 1 3 3 3 3 三 解答下列各题 每小题 7 分 共 28 分 9 设 三 解答下列各题 每小题 7 分 共 28 分 9 设 zz x y 是由方程是由方程 2 0F xy zx 确定的隐函数 确定的隐函数 F u v可微 计算可微 计算 zz xy xy 解 解 解 解 12 2 2 x z FyFFz xFF 1 2 y z F xFz yFF 2 zz xzx xy 10 在曲面10 在曲面xyz 上求一点 使该点处的法线垂直于平面上求一点 使该点处的法线垂直于平面093 zyx 解解解解 令令令令 F x y zzxy 则在点则在点则在点则在点 000 xyz的法向量为的法向量为的法向量为的法向量为 00 1yx 平面平面平面平面093 zyx 的法向量为的法向量为的法向量为的法向量为 1 3 1 00 1 131 yx 得 得 得 得 00 3 1xy 又 又 又 又 000 zx y 得得得得 0 3z 故满足题意的点为故满足题意的点为故满足题意的点为故满足题意的点为 3 3 3 3 1 1 1 1 3 3 3 3 11 将函数11 将函数 2 1 32 f x xx 展开为展开为x的幂级数 的幂级数 解 解 解 解 111 1 2 12 f x xxxx 0 11 1 11 11 nn n xx xx 1 0 111 1 22 222 1 2 n n n n x x x x 1 0 1 1 1 11 2 nn n n f xxx 12 计算12 计算d d dIz x y z 是由曲面是由曲面 34 22 yxz 及及 22 yxz 所围成的闭区域 所围成的闭区域 解 解 解 解 22 22 21432143 0000 rr rr Izdxdydzddrzrdzdrdrzdz 2 2 11 24 324 00 1 2 43 2 r r rzdrrrrdr 12 13 四 解答下列各题 每小题 10 分 共 30分 13 10 分 设 四 解答下列各题 每小题 10 分 共 30分 13 10 分 设 f x具 有 二 阶 连 续 导 数 具 有 二 阶 连 续 导 数 0 0 0 1ff 曲 线 积 分 曲 线 积 分 w w w z h i n a n ch e co m 2 d d L xy xyyf xxfxx yy 与路径无关 求与路径无关 求 f x 解 解 解 解 Pxy xyyf x 2 Qfxx y 2 22 xy QfxxyPxxyf x 2 fxf xx 0fxf x 的通解为的通解为的通解为的通解为 12 cossincxcx 设设设设 2 fxf xx 特解特解特解特解 2 yaxbxc 代入得 代入得 代入得 代入得1 0 2abc 2 fxf xx 的 通 解 为的 通 解 为的 通 解 为的 通 解 为 2 12 cossin2fcxcxx 由 由 由 由 0 0 0 1ff 得 得 得 得 12 2 1cc 2 2cossin2f xxxx 14 10分 计算积分14 10分 计算积分 22 dd 4 L x yy x xy 其中 其中L为圆周为圆周 1 1 222 RRyx 按逆时针方向 按逆时针方向 解解解解 2222 0 44 yxQP PQ xyxyxy 1 1 1 1 故当 故当 故当 故当1R时 构造曲线时 构造曲线时 构造曲线时 构造曲线 222 4lxy 取得足够小保证取得足够小保证取得足够小保证取得足够小保证l含在含在含在含在L所围区域 所围区域 所围区域 所围区域 方向为逆时针方向为逆时针方向为逆时针方向为逆时针 即即即即 1 cos 022 sin x l y 则曲线则曲线则曲线则曲线Ll 围成复连通区域围成复连通区域围成复连通区域围成复连通区域 1 D且为且为且为且为 1 D的的的的 正向边界 故在复连通区域正向边界 故在复连通区域正向边界 故在复连通区域正向边界 故在复连通区域 1 D 22 4 L l xdyydx xy 满足格林公式条件 故满足格林公式条件 故满足格林公式条件 故满足格林公式条件 故 1 22 00 4 L lD xdyydx d xy 即即即即 222222 444 Lll xdyydxxdyydxxdyydx xyxyxy 2222 22 2 00 11 cossin 1 22 2 dd w w w z h i n a n ch e co m 15 10 分 计算15 10 分 计算 2 d dd dd dIy y zx z xzx y 其中 其中 为锥面为锥面 22 zxy 被被1 2zz 所 截部分的外侧 所 截部分的外侧 解解解解 2 2222 1 xy Iyx zdxdy xyxy 22 2223 01 xy D z dxdyxydxdydd 15 2 五 综合题 每小题 5 分 共 10分 16 在椭球面 五 综合题 每小题 5 分 共 10分 16 在椭球面 222 221xyz 上求一点 使函数上求一点 使函数 222 f x y zxyz 在该点沿方向在该点沿方向 1 1 0 l 的方向导数最大 并求出最大值 的方向导数最大 并求出最大值 解 解 解 解 0 1 1 1 0 2 l coscoscos2 xyz f fffxy l 问题变为求问题变为求问题变为求问题变为求2 xy 在在在在 222 221xyz 下的最大值点 下的最大值点 下的最大值点 下的最大值点 222 2 221 F x y zxyxyz 222 240 240 20 2210 x y z Fx Fy Fz Fxyz 解 得解 得解 得解 得 11 0 22 x y z 求 得 点 求 得 点 求 得 点 求 得 点 11 0 22 x y z 沿沿沿沿 1 1 0 l 的方向导数最大值的方向导数最大值的方向导数最大值的方向导数最大值2 17 证明 设17 证明 设 n U是单调递增的有界正数列 判断级数是单调递增的有界正数列 判断级数 1 1 1 n n n U U 是否收敛 并证明你的 结论 是否收敛 并证明你的 结论 解 解 解 解 1 1 1 n n n U U 为正项级数为正项级数为正项级数为正项级数 设设设设 n UM 则 则 则 则 111 11 11 nn SUUMU UU 故 故 故 故 1 1 1 n n n U U 收敛收敛收敛收敛

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