河南省洛阳市中成外国语学校高考数学 不等式与不等关系复习导练.doc

1 河南省洛阳市中成外国语学校高考数学复习导练 不等式与不等关河南省洛阳市中成外国语学校高考数学复习导练 不等式与不等关 系系 考纲要求 了解现实世界和日常生活中的不等关系 了解不等式 组 的实际背景 知识梳理 1 两个实数大小的比较原理 1 差值比较原理 设 a b r 则 a b a b 0 a b a b 0 a b a b 0 2 商值比较原理 设 a b r 则 a b 1 a b a b 1 a b a b 1 a b 2 不等式的性质 性质 1 a b bc 传递性 性质 3 a b a c b c 性质 4 a b c 0 ac bc a b c 0 acb c 加法法则 性质 6 a b 0 c d 0 ac bd 乘法法则 性质 7 a b 0 n n an bn 乘方法则 性质 8 a b 0 n n n 2 开方法则 n a n b 性质 9 ab 0 a b b a b ab ac2 bc2 4 a b 0 c d 0 ad bc 5 如果 n n n 1 a b 为正数 则 a b an bn a b n a n b 6 若ab 0 则a b b 0 a m 0 则 b成立的充分而不必要的条件是 a a b 1 b a b 1 c a2 b2 d a3 b3 2 2010 江苏卷 设实数x y满足 3 xy2 8 4 9 则的最大值是 x2 y x3 y4 3 已知f x ax2 c且 4 f 1 1 1 f 2 5 则f 3 的取值范围是 答案 1 a 2 27 3 1 20 2 本题需要通过换元法来处理 由 2 16 2 81 可 x3 y4 x2 y 1 xy2 x2 y 1 8 1 xy2 1 3 得所求最大值为 27 此时x 3 y 1 3 用已知的f 1 f 2 来表示f 3 然后利用不等式的性质解决 由题意得error error 解得error error 所以f 3 9a c f 1 f 2 5 3 8 3 因为 4 f 1 1 所以 f 1 因为 1 f 2 5 所以 f 2 5 3 5 3 20 3 8 3 8 3 40 3 两式相加得 1 f 3 20 故f 3 的取值范围是 1 20 变式题 1 已知三个不等式 ab 0 bc ad 以其中两个作条件余下一个作 c a d b 结论 则可以组成的正确命题的个数是 3 a 1 b 2 c 3 d 0 2 2011 浙江卷 若a b为实数 则 0 ab 1 是 a 的 1 b 1 a a 充分而不必要条件 b 必要而不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件 答案 1 c 2 a 探究点 2 利用不等式的性质证明不等式 例 2 已知a b c r a b c 0 abc0 1 a 1 b 1 c 思路 通分得 又abc 0 故只需证明分子ab ac bc0 ab ac bc 0 1 a 1 b 1 c ab bc ca abc abc 0 且ab ac bc0 1 a 1 b 1 c 变式题 a 0 b 0 求证 aabb ab a b 2 解答 ab aabb ab a b 2 a b 2 b a 2 a b a b 2 当a b时 1 a b a b 2 当a b 0 时 1 0 1 a b a b 2 a b a b 2 当b a 0 时 0 1 1 a b a b 2 a b a b 2 综上所述 对于任意的a 0 b 0 都有aabb ab a b 2 探究点 3 数式大小比较问题 数式大小的比较是高考中最常见的一种命题方式 涉及的知识点和问题求解的方法不仅局 限于不等式知识 而且更多的关联到函数 数列 三角函数 向量 解析几何 导数等知 识 内容丰富多彩 命题的方式主要是选择题 填空题 考查不等式性质 函数性质的应 用 1 作差法 2011 陕西 设 0 a b 则下列不等式中正确的是 b a a b b a b ab a b 2ab a b 2 c a b d a b ab a b 2ab a b 2 2 作商法 4 若 0 x 1 a 0 且a 1 则 loga 1 x 与 loga 1 x 的大小关系是 a a loga 1 x loga 1 x b loga 1 x loga 1 x c 不确定 由a的值决定 d 不确定 由x的值决定 3 中间量法 示例 若a 20 6 b log 3 c log2sin 则 a 2 5 a a b c b b a c c c a b d b c a 探究点 4 不等式的实际应用 1 糖水是日常生活中再简单不过的东西 谁没有喝过糖水呢 下列关于糖水浓度的问题 能提炼出一个怎样的不等式呢 1 如果向一杯糖水里加点糖 糖水加糖变甜了 2 把原来的糖水 淡 与加糖后的糖水 浓 混合到一起 得到的糖水一定比淡的浓 比浓的 淡 解答 1 设糖水b克 含糖a克 易知浓度为 加入m克糖后的浓度为 a b a m b m 则提炼出的不等式为 若b a 0 m 0 则 a1 0 b2 a2 0 且 则 b 则下列不等式中恒成立的是 b a a2 b2b 2 1 a 0d b a 1 3 已知a b c d均为实数 有下列命题 1 若ab 0 bc ad 0 则 2 ab 0 则bc ad 00 b d a c 0 b d a c 其中正确命题的个数是则若 0 0 3 ab b d a c adbc a 0 b 1 c 2 d 3 4 若 则与的大小关系为 2 31f xxx 2 21g xxx f x g x a b c d 随x值变化而变化 f xg x f xg x f xg x 5 已知 则的范围是 22 2 a b c d 0 2 0 2 0 2 0 2 6 2004 湖北 若 则下列不等式 0 11 ba abba ba ba 中 正确的不等式有 b 2 b a a b a 1 个b 2 个c 3 个d 4 个 7 若 则不等式等价于 d 0 0ab 1 ba x a b 11 00 xx ba 或 11 x ab c d 11 xx ab 或 11 xx ba 或 8 函数 ax2 bx 满足 1 2 2 4 求的取值范围 xf 1 f 1 f 2 f 解 由 f x ax2 bx 得 f 1 a b f 1 a b f 2 4a 2b a f 1 f 1 b f 1 f 1 2 1 2 1 则 f 2 2 f 1 f 1 f 1 f 1 3f 1 f 1 由条件 1 f 1 2 2 f 1 4 可得 3 1 2 3f 1 f 1 3 2 4 9 a b 0 m 0 n 0 则 的由大到小的顺序是 a b b a ma mb nb na b a nb na ma mb a b 6 10 已知三个不等式 0ab cd ab bc ad 以其中两个作为条件 余下 一个作为结论 则可组成 个真命题 解 cdbcad abab 若 0 abbcad 则 0 bcad ab cd ab 若 cd ab 0ab 则bc ad 若 cd ab bc ad 则 0 0 bcad bcad ab 0ab 因此 可组成三个真命题 11 在等差数列 an 和等比数列 bn 中 a1 b1 0 a3 b3 0 a1 a3 试比较下面两 组数的大小 1 a2与 b2 2 a5与 b5 解 设 an a1 n 1 d bn a1qn 1 依题意 a1 2d a1q2 d a1q2 a1 2 1 2 1 1 a2 b2 a1 d a1q a1 a1q a q2 a aq2 a1q a q 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 a1 a3 a1 a1 2d 即 d 0 q 1 a2 b2 a q 1 2 0 a2 b2 2 1 2 a5 b5 a1 4d a1q4 a1 a1q4 2a1q2 2a1 a1q4 2a1q2 a1 a1 q2 1 2 0 a5b c a b c 0 方程ax2 bx c 0 的两个实根为x1 x2 证明 1 2 1 a b 解 1 a b c a b