河南省洛阳市第二外国语学校高考数学 闯关密练特训《97用向量方法证明平行与垂直》试题 理 新人教A版.doc

河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训9-7用向量方法证明平行与垂直试题 理 新人教a版1.已知正方体abcda1b1c1d1中，e为侧面cc1d1d的中心若zxy，则xyz的值为()a1b. c2d.答案c解析.xyz12.2若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的可能是()aa(1,0,0)，n(2,0,0)ba(1,3,5)，n(1，2,1)ca(0,2,1)，n(1,0，1)da(1，1,3)，n(0,3，1)答案b解析欲使l，应有na，na0，故选b.3二面角l等于60，a、b是棱l上两点，ac、bd分别在半平面、内，acl，bdl，且abaca，bd2a，则cd的长等于()a.a b.a c2a da答案c解析如图二面角l等于60，与夹角为60.由题设知，|a，|2a，|2|2|2|2|22224a2，|2a.4已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(4,5，x)，若a、b、c三向量共面，则|c|()a5 b6 c. d.答案c解析a、b、c三向量共面，存在实数、，使cab，(4，5，x)(2，4，32)，x5，|c|.5已知空间四边形abcd的每条边和对角线的长都等于a，点e、f分别是bc、ad的中点，则的值为()aa2 b.a2c.a2 d.a2答案c解析()()(a2cos60a2cos60)a2.故选c.6将边长为1的正方形abcd沿对角线bd折成直二面角，若点p满足，则|2的值为()a. b2c. d.答案d解析由题意，翻折后acabbc，abc60，|2|2|2|2|2211cos601cos451cos45.7(2012河南六市联考)如图，在平行四边形abcd中，0,2 2 24，若将其沿bd折成直二面角abdc，则三棱锥abcd的外接球的体积为_答案解析因为abbd，二面角abdc是直二面角，所以ab平面bcd，abbc，addc.故abc，adc均为直角三角形取ac的中点m，则mamcmdmb，故点m即为三棱锥abcd的外接球的球心由222422224，ac2，r1.故所求球的体积为v.8(2011金华模拟)已知点a(4,1,3)，b(2，5,1)，c为线段ab上一点且，则点c的坐标为_答案(，1，)解析c为线段ab上一点，存在实数0，使，又(2，6，2)，(2，6，2)，(，2，)，c(，1，)9.如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，e、f分别是棱bc、dd1上的点，如果b1e平面abf，则ce与df的和的值为_答案1解析以d1为原点，直线d1a1、d1c1、d1d为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则a(1,0,1)，b(1,1,1)，b1(1,1,0)，设dft，cek，则d1f1t，f(0,0,1t)，e(k,1,1)，要使b1e平面abf，易知abb1e，故只要b1eaf即可，(1,0，t)，(k1,0,1)，1kt0，kt1，即cedf1.10.(2012天津调研)如图，四棱锥pabcd中，pa平面abcd，pb与底面所成的角为45，底面abcd为直角梯形，abcbad90，pabcad1.(1)求证：平面pac平面pcd；(2)在棱pd上是否存在一点e，使ce平面pab？若存在，请确定e点的位置；若不存在，请说明理由解析(1)证明：pa平面abcd，pb与平面abcd所成的角为pba45.ab1，由abcbad90，易得cdac，accd.又pacd，paaca，cd平面pac，又cd平面pcd，平面pac平面pcd.(2)分别以ab、ad、ap为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系p(0,0,1)，c(1,1,0)，d(0,2,0)，设e(0，y，z)，则(0，y，z1)，(0,2，1)，y(1)2(z1)0(0,2,0)是平面pab的法向量，又(1，y1，z)，ce平面pab.(1，y1，z)(0,2,0)0，y1.将y1代入，得z.e是pd的中点，存在e点使ce平面pab，此时e为pd的中点.能力拓展提升11.二面角的棱上有a、b两点，直线ac、bd分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于ab.已知ab4，ac6，bd8，cd2，则该二面角的大小为()a150 b45 c60 d120答案c解析由条件知，0，0，.|2|2|2|2222624282268cos，11696cos，(2)2，cos，120，所以二面角的大小为60.12在棱长为1的正方体ac1中，o1为b1d1的中点求证：(1)b1d平面acd1；(2)bo1平面acd1.证明建立如图所示的空间直角坐标系，由于正方体的棱长为1，则b(1,0,0)，o1(，1)，d1(0,1,1)，c(1,1,0)，d(0,1,0)，b1(1,0,1)，(1,1，1)，(0,1,1)，(1,1,0)，(，1)(1)0，0，与不共线，平面acd1，b1d平面acd1.(2)0，平面acd1.又bo1平面acd1，bo1平面acd1.点评第(2)问还可以通过证明(其中o为ac中点)证明13在四棱锥pabcd中，pd底面abcd，底面abcd为正方形，pddc，e、f分别是ab、pb的中点(1)求证：efcd；(2)在平面pad内求一点g，使gf平面pcb，并证明你的结论解析(1)证明：pd底面abcd，四边形abcd是正方形，ad、dc、pd两两垂直，如图，以da、dc、dp所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设ada，则d(0,0,0)、a(a,0,0)、b(a，a,0)、c(0，a,0)、e(a，0)、p(0,0，a)、f(，).(，0，)，(0，a,0)0，即efcd.(2)设g(x,0，z)，则(x，z)，若使gf平面pcb，则由(x，z)(a,0,0)a(x)0，得x；由(x，z)(0，a，a)a(z)0，得z0.g点坐标为(，0,0)，即g点为ad的中点14(2011海口调研)在四棱锥pabcd中，平面pad平面abcd，pad是等边三角形，底面abcd是边长为2的菱形，bad60，e是ad的中点，f是pc的中点(1)求证：be平面pad；(2)求证：ef平面pab；(3)求直线ef与平面pbe所成角的余弦值解析解法一：(1)e是ad中点，连接pe，ab2，ae1.be2ab2ae22abaecosbad41221cos603.ae2be2134ab2，beae.又平面pad平面abcd，交线为ad，be平面pad.(2)取pb中点为h，连接fh，ah，ae綊bc，又hf是pbc的中位线，hf綊bc，ae綊hf，四边形ahfe是平行四边形，efah，又ef平面pab，ah平面pab，ef平面pab.(3)由(1)知，bcbe，pebc，又pe，be是平面pbe内两相交直线，bc平面pbe，又由(2)知，hfbc，hf平面pbe，feh是直线ef与平面pbe所成的角，易知bepe，在rtpeb中，eh，tanfeh，cosfeh.故直线ef与平面pbe所成角的余弦值为.解法二：容易证明ep，ea，eb两两垂直，建立空间直角坐标系exyz如图易求bepe，则e(0,0,0)，a(1,0,0)，b(0，0)，c(2，0)，d(1,0,0)，p(0,0，)，因为f是pc的中点，则f(1，)(1)010000，即ebea，00000，即ebep，ea，ep是平面pad内的两相交直线，eb平面pad.(2)取pb中点为h，连接fh，ah，则h(0，)，(1，)，(0，)(1,0,0)(1，)，又ef平面pab，ah平面pab，ef平面pab.(3)y轴平面pbe，z轴平面pbe，平面pbe的法向量为n(1,0,0)，(1，)，设直线ef与平面pbe所成角为，sin，cos，故直线ef与平面pbe所成角的余弦值为.15(2012辽宁理，18)如图，直三棱柱abcabc，bac90，abacaa，点m、n分别为ab和bc的中点(1)证明：mn平面aacc；(2)若二面角amnc为直二面角，求的值解析(1)连结ab，ac，由已知bac90，abac，三棱柱abcabc为直三棱柱，所以m为ab中点又因为n为bc的中点，所以mnac.又mn平面aacc，ac平面aacc，因此mn平面aacc.(2)以a为坐标原点，分别以直线ab、ac、aa为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系oxyz，如图所示设aa1，则abbc，于是a(0,0,0)，b(，0,0)，c(0，0)，a(0,0,1)，b(，0,1)，c(0，1)，所以m(，0，)，n(，1)设m(x1，y1，z1)是平面amn的法向量，由得可取m(1，1，)设n(x2，y2，z2)是平面mnc的法向量由得可取n(3，1，)因为amnc为直二面角，所以mn0.即3(1)(1)20，解得.1在正三棱柱abca1b1c1中，h、f分别为ab、cc1的中点，各棱长都是4.(1)求证ch平面fa1b.(2)求证平面abb1a1平面fa1b.(3)设e为bb1上一点，试确定e的位置，使hebc1.解析在正三棱柱中，h为ab中点，chab，过h作hmab交a1b1于m，分别以直线ab、hc、hm为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则b(2,0,0)，c(0，2，0)，f(0,2，2)，a(2,0,0)，a1(2,0,4)，c1(0，2，4)(1)(0,2，0)，(2，2，2)，(2，2，2)，()，与不共线，平面fa1b，hc平面fa1b，hc平面fa1b.(2)平面abb1a1的一个法向量为n1(0,2，0)，设平面fa1b的一个法向量n(x，y，z)，则令x1得n(1,0,1)，nn10，nn1，平面abb1a1平面fa1b.(3)e在bb1上，设e(2,0，t)，(t0)，则(2,0，t)，(2,2，4)，hebc1，44t0，t1，e是bb1上靠近b点的四等分点(或bebb1)2如图，已知矩形abcd，pa平面abcd，m、n、r分别是ab、pc、cd的中点求证：(1)直线ar平面pmc；(2)直线mn直线ab.解析证法1：(1)连接cm，四边形abcd为矩形，crrd，bmma，cmar，又ar平面pmc，ar平面pmc.(2)连接mr、nr，在矩形abcd中，abad，pa平面ac，paab，ab平面pad，mrad，nrpd，平面pda平面nrm，ab平面nrm，则abmn.证法2：(1)以a为原点，ab、ad、ap所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设aba，adb，apc，则b(a,0,0)，d(0，b,0)，p(0,0，c)，c(a，b,0)，m、n、p分别为ab、pc、cd的中点，m(，0,0)，n(，)，r(，b,0)，(，b,0)，(，0，c)，(，b,0)，设，armc，ar平面pmc，ar平面pmc.(2)(0，)，(a,0,0)，0，mnab.3(2012天津理，17)如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，acad，abbc，bac45，paad2，ac1.(1)证明：pcad；(2)求二面角apcd的正弦值；(3)设e为棱pa上的点，满足异面直线be与cd所成的角为30，求ae的长分析因为acad，pa平面abcd，故以a为原点建立空间直角坐标系，写出a、b、c、d、p的坐标(1)运用0证明pcad；(2)先求两平面apc与平面dpc的法向量夹角的余弦值，再用平方关系求正弦值；(3)将异面直线所成的角通过平移转化成向量与的夹角，利用向量夹角公式列等式解析如图，以点a为原点建立空间直角坐标系，依题意得a