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2016届高考一轮复习备考策越与计划 之函数篇一考情分析 考纲对函数专题的要求是： （一）函数概念与基本初等函数 1函数（1） 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.（2） 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.（3） 了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.（4） 理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义.（5） 会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.2指数函数（1） 了解指数函数模型的实际背景.（2） 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3） 理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，1/2，1/3的指数函数的图像（4） 体会指数函数是一类重要的函数模型.3对数函数（1） 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.（2） 理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，10，1/2的对数函数的图像（3） 体会对数函数是一类重要的函数模型；（4） 了解指数函数与对数函数互为反函数.4幂函数（1）了解幂函数的概念.（2）结合函数 的图像，了解它们的变化情况.5函数与方程 结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.6函数模型及其应用（1）了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.（二）导数及其应用 （1）了解导数概念的实际背景. （2） 通过函数图像直观理解导数的几何意义. （3） 根据导数的定义求函数 (c为常数)的导数. （4） 能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b）的复合函数）的导数.常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：常用的导数运算法则：法则1.法则2 .法则3 .（5）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（6） 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.（7）会用导数解决某些实际问题.（8）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.（9） 了解微积分基本定理的含义.全国卷与湖北卷的联系和区别 全国新课标数学卷1（以下简称全国卷1）和湖北卷都紧扣课程标准和考试说明，命题科学、注重基础、考察面广、布局合理、难度与区分度合适，重视数学能力和数学思想方法的考查，效果都非常好。同时它们之间也有区别的，比如： 1. 全国卷与湖北卷的试卷结构、题量和分值是有所不同的。 全国数学理科卷：共有24题，第1卷为12个必考选择题，第2卷必考题部分有4个填空题和5个大题，选考题部分有“几何证明选讲”、“坐标系与参数方程”、“不等式选讲”各一个大题，考生从中选做一题。考生共需作答试题22道。全国数学理科卷与文科卷在分值设置上相同，选择题每题5分共60分、填空题每题5分共20分，前五道大题每题12分，选考大题（三选一）10分。六道大题共70分。 湖北数学理科卷：共有22题，第1卷为10个必考选择题，第2卷必考题部分有4个必考填空题、二个选考填空题（从中选做一题），6个必考大题。考生共需作答试题21道。湖北数学理科卷选择题每题5分共50分，填空题每题5分（含二选一填空题）共25分，六道大题共75分，后两道大题一般都为14分。 全国卷1题量比湖北卷多一题，难度比湖北卷低一点。根据全国卷与湖北卷试卷结构、题量、分值的不同，数学复习备考时应按照新课标和全国卷数学考试说明的要求、参照全国卷1的考题结构、题型、题量有针对性地复习和训练。 首先，结合考点加强对选择题、填空题全面性、准确性、熟练性的练习，综合卷考试（训练）时要保障选择题、填空题合适的答题时间，追求高得分率。这80分的得分高低很大程度决定了考生数学成绩的好坏即选择题、填空题是数学高分之本。 其次，近6年全国卷前三道大题分别考查数列、解三角形与三角变换、立体几何、统计，试题难度一般不高，第四大题考查解析几何，第五大题考查函数导数的应用，试题难度较高，后面三选一大题试题难度一般不算高。考生在模考训练时注意养成先考虑解答前三大题，接着解答三选一大题，然后解答第四、第五大题的答题习惯，这对合理把握考试时间有效得分是十分重要的。 2. 全国卷与湖北卷在考查内容上也有区别（1）反函数：全国卷有要求，偶有考查，湖北卷未要求未作考查。（2）分段函数：全国卷几乎每年必考，对函数分三段的有要求有考查，湖北卷对分段函数时有考查，对函数分三段的未要求未作考查。（3）伸缩变换：全国卷有要求暂未考查过，湖北卷对此没有要求。（4）圆与方程：全国卷比湖北卷对此要求更高、考查更多。（5）抽样：新课标卷有要求“理解随机抽样的必要性和重要性”，曾有过考查，湖北卷无此要求。（6）随机数：新课标卷有要求“了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率” 暂未考查， 湖北卷对此无要求。（7）独立性检验：新课标卷有要求“了解独立性检验的思想、方法及其初步应用”有考查， 湖北卷对此未要求。 3全国卷1未考查或极少考查而湖北卷常有考查的主要考查内容（1）柯西不等式：湖北卷常考查，全国卷未考查。（2）合情推理湖北卷每年考查，全国卷1考查较少。（3）异面直线角：异面直线所成的角湖北卷有要求有过几次考查，全国卷仅在2015年理科卷有一次考查。（4）事件的关系与运算：湖北卷有要求有过考查，全国卷无要求未考查。（5）参数方程与普通方程：湖北卷对此比全国卷要求高且广泛。（6）函数模型与函数的实际应用：湖北卷有要求有考查，全国卷有要求未考查。（7）线性回归：湖北卷有要求有考查，全国卷有要求未考查。（8）数学归纳法：湖北卷有要求有考查，全国卷有要求未考查。（9）几何概型：湖北卷有要求有考查，全国卷有要求未考查。（10）定积分：湖北卷有要求常有考查，全国卷仅见一次考查。 根据上述对比分析，湖北卷与全国卷的考查内容、目标、侧重是有差别的，数学备考复习应改变原来湖北卷的思路和框架，向全国卷的考查内容、目标、侧重点靠拢。二近三年全国卷I函数专题考试特点与命题规律1. 函数试题分布情况 2015年全国I卷中，第12，第13，第21题为函数题，分别考查利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、导数的综合应用，其中选择压轴第12题难度较大，21题为大题压轴。 2014年全国I卷中，第3，第11，第21题为函数题，分别考查函数的奇偶性、利用导数研究函数的零点问题、导数的综合应用，其中第11题难度较大，还用到了数形结合的思想。 2013年全国I卷中，第11，第16，第21题为函数题，分别考查函数图象的综合应用、函数的最值、导数的综合应用，其中第11题难度较大，第16题作为填空压轴出现，难度很大。通过近三年高考函数题的分布可以发现，近三年均没有出现过定积分的试题，函数基本是一个选择，一个填空题，往往有一个难度较大，或者作为小题压轴出现，主要考查基本初等函数，函数的性质，利用导数研究函数的单调性等等。 2. 函数试题的命题规律 函数的基本性质主要考查函数的单调性、奇偶性等，难度通常为中等，基本初等函数通常考查指数函数与对数函数，有时候会与函数的图象、函数与方程等相结合，考查数形结合思想的灵活应用，有时候也会融入导数的应用等，这类题目通常难度偏大，一般作为选择题或填空题的压轴题出现.对导数的考查通常以函数的单调性、函数的极值或最值、不等式的证明或不等式恒成立问题为载体，考查导数的综合应用.在解决这类问题时，有时候需要对问题进行转化或构造相应的函数，因此对等价转化、数形结合的数学思想也有较高的要求，正确求出函数的导数，并灵活应用导数与单调性的关系是解题的关键.从这几年的命题规律来看，这一部分通常出现在第20题或21题的位置，题型比较稳定.3 函数专题的总体构思 “函数”是高中数学中起联接和支撑作用的主干知识，也是进一步学习高等数学的基础。其知识、观点、思想和方法贯穿于高中代数的全过程，同时也应用于几何问题的解决。因此，在高考中函数是一个极其重要的部分，而对函数的复习则是高三数学第一轮复习的重头戏。1. 注重对概念的理解函数部分的一个鲜明特点是概念多，对概念理解的要求高。而在实际的复习中，学生对此可能不是很重视，其实，概念能突出本质，产生解决问题的方法。对概念不重视，题目一定也做不好。就高考而言，直接针对函数概念的考题也不少，例如13年全国高考数学新课标I卷的第16题就是考察学生是否理解函数最大值的概念。在高中数学的代数证明问题中，函数问题是最多最突出的一个部分，如函数的单调性、奇偶性、周期性的证明等等，而用定义法判断和证明这些性质往往是最直接有效的方法。全国课标卷连续两年都考查了这方面的内容与方法，如15年理科的第13题，考查的是函数的奇偶性，14年课标II卷第15题，考察的是函数奇偶性、单调性及不等式的综合。2. 构建知识、方法与技能网当问到学生类似于“函数主要有哪些内容？”等问题时，学生的回答大多是一些零散的数学名词或局部的细节，这说明学生对知识还缺少整体把握。所以复习的首要任务是立足于教材，将高中所学的函数知识进行系统梳理，用简明的图表形式把基础知识进行有机的串联，以便于找出自己的缺漏，明确复习的重点，合理安排复习计划。就函数部分而言，大体分为三个层次的内容：1、函数的概念与基本性质，主要有函数的概念与运算、单调性、奇偶性与对称性、周期性、最值与值域、图像等。2、一些简单函数的研究，主要是二次函数、幂、指、对函数等。3、函数综合与实际应用问题，如函数-方程-不等式的关系与应用，用函数思想解决的实际应用问题等。当然，在这个过程中也发现，学生梳理知识的过程过于被动、机械，只是将课本或是参考书中的内容抄在本子上，缺少了自己的认识与理解，将知识与方法割裂开来，整理的东西成了空中楼阁，自然没什么用。这时，就需对每一个内容细化，问问自己复习这个内容时需要解决好哪些问题，以此为载体来提炼与总结基本方法。以函数的单调性为例，可以从哪些问题入手复习呢？问题一：什么是函数的单调性？可以借助一些概念的辨析题来帮助理解。问题二：如何判断和证明一个函数在某个区间上的单调性？对这个问题的解决，需要的知识基础有：理解函数单调性的概念，熟知所学习过的各种基本函数(如一次函数、二次函数、反比例函数、幂、指、对函数等)的单调性，和函数(如y=x+ax(a0)以及简单的复合函数单调性等。基本的方法主要是利用单调性的定义、以及不等式的性质进行判断和证明。问题三：函数的单调性有哪些简单应用？主要的应用是求函数的最值，此外还可能涉及到不等式、比较大小等问题。最后还可以进一步总结易错、易漏点，如讨论函数的单调性必须在其定义域内进行，两个单调函数的积函数的单调性不确定等。3. 抓典型问题强化训练高三学生在复习中大都愿意花大量时间做题，追求解题技巧，虽然这样做有一定的作用，但题目做得太多太杂，未必有利于基本方法的落实。其实对于每一个知识点都有典型问题，抓住它们进行训练，将同一知识，同一方法的问题集中在一起练习，并努力使自己表达规范、正确，相信能达到更高效的复习效果。还是以函数的单调性的判断与证明为例，一般也就两类典型问题。第一是正确判断与证明某个函数的单调性，写出单调区间，要注意函数的各种形式，如分式的(如y=x+1), 简单的复合函数(如y=）,以及带有根式和绝对值的等等。第二是它的逆问题，知道函数在某个区间上的单调性如何求字母参数的取值范围，如函数在区间5，10上递增，求实数a的取值范围等。另一方面，可以在同一个问题的背景下，自己做一些小小的变化与发展，从中做一些深入的探究。例如将函数y=变化为单调性会怎样变化？如果变化为情况又如何？再复杂一些，如变化为呢？反之，如果函数在区间(-，1)上单调递减，a的取值范围是什么？在此基础上再想一想还能提出什么问题来研究呢？例如函数的值域为R，a的取值范围是什么？函数是否可以有最大值，如果有，a的取值范围是什么？对自己提出的问题加以解决，能使自己的复习更有针对性，真正掌握解题的规律和方法，并帮助自己跳出盲目的题海战。总之，在复习中把握函数的基本概念，将知识、方法和技能有机地整合起来，建立一个立体网络,就一定能达到良好的复习效果。四重、难点知识突破策越从历年全国卷看，数学试题都把考查重点放在高中数学课程中基础知识、基本技能和核心的内容上，试题的交汇也主要是“双基”的综合运用。现实复习中，很多学生对“双基”不以为然、甚至极不重视，也有少数老师对“双基”让学生在复习资料上浏览一下一带而过，就直奔问题讲解。这样做，往往导致学生概念模糊，理解不清，方法错误，漏洞百出，效果极其差。 因此，在函数的第一轮复习时，对于基础知识和基本技能不能马虎应对，而是应该在老师主导下逐条梳理，回顾主要知识点的形成过程和相互联系，明晰基本技能的原理和运用方法，通过练习加强基础知识、基本技能的理解和应用，使“双基”骨肉相连融为一体。 在“双基”牢固的基础上，应注重选择、填空函数题的答题方法和策略的指导，即以“双基”和数学思想方法常规运用为主，再加结合某些高考真题选讲，指导检验法、排除法、反推法、特例法、合情判断等的运用，还应强调对卡壳题不要多磨时间纠缠不放。不能指望选择、填空题的答题策略在高考前强调一下，高考中学生就能良好运用，好的应试策略需要一个较长时间养成。高考中选择、填空题顺利展开、高效得分，是数学高分之本。 历年全国数学卷的又一个特色是淡化特殊方法和技巧，坚持数学通性通法的运用，注重用基础知识思考分析，用基本公式计算求解，用基本原理定理推理论证，用常规思想方法探究解决问题，重视考查学生的数学素养和数学能力。全国卷对通性通法和数学能力的考查如绵绵细雨贯穿始终，又不露声色坚持贯彻。因此，复习中应突出函数题通性通法的地位和作用，切实培养数学能力。具体方法：配方法、换元法、待定系数法、数形结合法、参数法、数学归纳法、反证法、比较法、构造法、解析法、归纳法、类比法等。高考数学中主要考查的数学能力为：运算求解能力、空间想象能力、数据处理能力，抽象概括能力，逻辑推理能力。高考数学中常用的数学思想方法为：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论与整合思想、转化与化归思想。复习中，只有突出函数“双基”、通性通法、数学能力的地位和作用，通过问题解析和加强训练、落实反馈，才能牢固“双基”，夯实通性通法，有效提升数学能力。这样才能向数学高分挺进。具体如何操作，接下来将以三种题型具体讲解。1. 函数选择题的常见题型和解题方法、突破策略。 （2015年全国I卷理科第12题）设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（ ） 【解析1】由已知函数关系式，先找到满足的整数，由的唯一性列不等式组求解.又是唯一的使的整数，即解得.又，否定选项和选项再考察，此时，有，且易知对，对，从而上单调递减，在上单调递增.所以因此存在唯一的整数满足题设，否定选项故选【解析2】由题意可知存在唯一的整数，使得，设，由可知在上单调递减，在上单调递增，作出与的大致图象如图所示，故即所以.故选.【命题立意】本题通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而求解参数的取值范围，考查了导数在解决函数问题中的运用，考查考生的数形结合思想及运算求解能力.试题难度：难.（2014年全国I卷理科第3题）设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是 （ ）.是偶函数 .|是奇函数.|是奇函数 .|是奇函数 【解析】 设，则，是奇函数，是偶函数，为奇函数，选C.【命题立意】本题考查函数奇偶性的定义和性质，试题难度：易.（2014年全国I卷理科第11题）已知函数=，若存在唯一的零点，且0，则的取值范围为 （ ）.（2，+） .（-，-2） .（1，+） .（-，-1）【解析1】 由已知，令，得或，当时，；且，有小于零的零点，不符合题意。当时，要使有唯一的零点且0，只需，即，选B【解析2】 由已知，=有唯一的正零点，等价于有唯一的正零根，令，则问题又等价于有唯一的正零根，即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧记，由，要使有唯一的正零根，只需，选B【命题立意】本题考查利用函数导数判断函数的单调性和极值，从而求解参数的取值范围，考查了导数在解决函数问题中的运用，考查考生的数形结合思想及运算求解能力.试题难度：中. （2013年全国I卷理科第11题）已知函数 若|f(x)|ax，则a的取值范围是（ ）A(，0 B(，1 C2，1 D2，0【解析】画出函数y=|f(x)|的图象如图所示,当时，故.当时，由于上任意点的切线斜率都要大于，所以，综上.故选D.【命题立意】本题利用导数与切线斜率的关系，求解参数的取值范围，考查了导数在解决函数问题中的运用，考查考生的数形结合思想能力，难度，中。2. 函数填空的常见题型和解题方法、突破策略。（2015年全国新课标理科第13题）若函数为偶函数，则a=_. 【命题立意】本题考查函数奇偶性的定义和性质，试题难度：易.（2013年全国新课标理科第16题）若函数的图像关于直线对称，则的最大值为_.【解题指南】首先利用数的图像关于直线对称求出的值，然后利用导数判断函数的单调性，这里要采用试根的的方法对导函数进行因式分解.【解析】因为函数的图像关于直线对称，所以，得，又，而，.得即，解得，.故，则令，即，则或或.当变化时，的变化情况如下表：故的最大值为.【命题立意】利用导数判断函数的单调性，采用试根的的方法对导函数进行因式分解，考查了导数在解决函数问题中的运用，考查考生的数形结合思想及运算求解能力.试题难度：难.3. 函数大题的常见题型和解题方法、突破策略。（2015年全国新课标卷理科第21题）已知函数f（x）= () 当a为何值时，x轴为曲线 的切线；（II）用 表示m,n中的最小值，设函数 ，讨论h（x）零点的个数.【解析】（）设曲线与轴相切于点，则，即解得因此，当时，轴为曲线的切线.（） 当时，从而，故在上无零点. 当时，若，则，故是的零点；若，则，故不是的零点. 当时，所以只需考虑在上的零点