初等变换法在求解矩阵方程与线性方程组中的应用.pdf

第20卷第3期辽 宁 工 学 院 学 报Vol 20 No 3 2 0 0 0年 6月JOURNAL OF LIAONING INST IT UTE OF TECHNOLOGYJun 2 0 0 0 文章编号 1005 1090 2000 03 0066 05 初等变换法在求解矩阵方程 与线性方程组中的应用 王 玲 辽宁商业高等专科学校 辽宁 锦州 121000 摘 要 讨论了在系数矩阵可逆的前提下 如何用初等变换的方法直接求解矩阵方程 使求解过程更简化 同时 给出一般线性方程组的初等变换直观解法 关键词 初等变换 初等矩阵 可逆矩阵 中图分类号 O241 6 文献标识码 A Applications of Primary Transformation Solving Process to Matrix Equations and Linear Equations WANG Ling Liaoning Commercial High Academy Jinzhou 121001 China Key words primary transformation primary matrix reversible matrix Abstract The way of solving matrix equation directly with primary transformation method is discussed with the premise of the matrix of coefficients being reversible which makes the solving procedures more simple A visualized primary transformation solving process to general linear equations is given in the meantime 求解矩阵方程与线性方程组是线性代数中的一个主要内容 当系数矩阵可逆时 我们一般的解法是先求 系数矩阵的逆 再做矩阵乘法运算求得未知矩阵 但求逆过程一般是比较麻烦的 本文将给出如何把求逆过 程与求解方程的过程同时进行 不写出逆矩阵而直接得出方程解的方法 对一般的线性方程组也可用同样的 方法直接求出其全部解 1 预备知识 1 初等矩阵 对单位矩阵 I 施以一次初等变换所得到的矩阵 称为初等矩阵 2 定理 设 Am n aij m n 对 A 的行 施以某种初等变换得到的矩阵等于用同种的m 阶初等矩阵左乘A 对 A 的列 施以某种初等 变换得到的矩阵等于用同种的 n 阶初等矩阵右乘 A 2 当系数矩阵可逆时 用初等变换的方法求解矩阵方程 命题1 设矩阵方程A X B 其中A 为n 阶可逆矩阵 对A 进行若干次初等行变换 将A 化成单位矩阵 收稿日期 1999 01 10 作者简介 王 玲 1964 女 辽宁锦州人 辽宁商业高等专科学校讲师 In 同时对 B 进行同样的初等行变换 则 B 化成 X 即 A B 行 I n X 证明 A 可逆 A 1存在且 A 1也可逆 从而 A 1 P 1P2 P s 其中 Pi为初等矩阵 i 1 2 s 又 AX B X A 1B 即 X P 1P2 P sB 而 P1P2 P sB X P1P2 P sA In 同时P1P2 P sB X 即 P1P2 PsA In P1P2 PsB X 用符号表示即为 A B 行 In X 命题 1 得证 命题 2 设矩阵方程 XA B 其中 A 可逆 则有 对 A 进行若干次初等列变换将 A 化成单位矩阵 In 同 时对B 进行同样的初等列变换 可将 B 化成 X 即 A B 列 In X 命题 2的证明方法同命题 1 证明从略 命题 3 设矩阵方程 A XC B 其中 A C 分别为 n 阶 m 阶可逆矩阵 对 A 作 s 次初等行变换 将 A 化 为单位矩阵 In 对 C 作 t 次初等列变换 将 C 化为单位矩阵 Im 若对 B 作与A 同样的 s 次初等行变换及与 C 同样的 t 次初等列变换 则 B 可化为 X 即解矩阵方程 AXC B 可分如下两步进行 1 A B 行 In B 2 C B1 列 In X 证明 A C 可逆 A 1 C 1存在 且 A 1 p1p2 ps C 1 Q1Q2 Qt 其中Pi Qj均为初等矩阵 i 1 2 s j 1 2 t A 1A P 1P2 PsA In CC 1 C Q1Q2 Qt Im 而 AX C B 方程两边分别左乘 A 1 右乘C 1 即 A 1 A X C C 1 A 1 B C 1 得到X A 1 B C 1 于是X P1P2 PsB Q1Q2 Qt 综上有P1P2 PsA In C Q1Q2 Qt Im P1P2 PsB Q1Q2 Qt X 所以命题 3成立 例 1 解矩阵方程 25 13 X 4 6 21 解 设矩阵 A 25 13 B 4 6 21 作矩阵 A B 254 6 1321 1 2 1321 254 6 2 1 2 1321 0 10 8 1 2 3 102 23 0 10 8 2 1 102 23 0108 由命题 1 得X 2 23 08 对系数矩阵可逆的线性方程组 也可使用这种方法求解 并可直接 读 出其解 从上面的例题可看到 用初等变换法解矩阵方程时 系数阵是否可逆不用单独去检验 因为在求解过程 中 需把 A 化成单位阵 A 若能化成单位矩阵 那么 A 必然是可逆的 67 2000年 总第 73期 王 玲 初等变换法在求解矩阵方程与线性方程组中的应用 例 2 解矩阵方程 X 123 012 453 01 1 3 11 解 设矩阵A 123 012 453 B 01 1 3 11 作矩阵 A B 123 012 453 01 1 3 11 2 1 2 3 1 3 100 012 4 3 9 01 1 3 7 8 3 2 2 100 010 4 3 3 01 3 3 76 3 1 3 100 010 4 31 011 3 72 1 3 4 2 3 3 100 010 001 441 11 13 2 由命题 2 可知 X 441 11 13 2 例 3 解矩阵方程 14 12 X 20 11 31 0 1 解 设A 14 12 C 20 11 B 31 0 1 作矩阵 A B 1431 120 1 2 1 1 1431 0630 2 1 6 1431 01 1 2 0 1 2 4 1011 01 1 2 0 得B1 11 1 2 0 再作矩阵 C B1 20 11 11 1 2 0 1 1 2 10 1 2 1 1 2 1 1 2 0 1 2 1 2 10 01 11 1 4 0 由命题 3 得 X 11 1 4 0 3 一般线性方程组的初等变换解法 设线性方程组 a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm 1 其矩阵形式为AX B 68 辽宁工学院学报 自然科学版 第 20 卷第 3 期 其中A a11a12 a1n a21a22 a2n am1am2 amn B b1 b2 bm 记方程组的增广矩阵为 A A B 则有 命题 设矩阵 C A In 1 若秧 A r 则C 经过列的初等变换可化为 G DmrO1O2 On rEm1 mr 1 2 n rFn1 O1rOO O 1 2 其中O1 O2 On r均为 m 维零向量 1 2 n r均为 n维列向量 由此命题可知 求解一般线性方程 1 可分如下三步进行 第一步 写出矩阵 C A In 1 第二步 对 C 作初等列变换 将 C 化成 G 若 G 中 Em1 0 则 1 有解 否则无解 第三步 若线性方程组 1 有解 则 G 中的 1 2 n r就是 1 的导出组的一个基础解系 Fn1就是 1 的一个特解 则 1 的通解为 k1 1 k 2 2 kn r n r F n1 其中 k1 k 2 k n r为任意常数 例 求线性方程组 x1 x2 3x3 x4 1 3x1 x2 3x3 4x4 4 x1 5x2 9x3 8x4 0 的全部解 解 作矩阵 C A I5 并对 C 作初等列变换 C A I5 11 3 11 3 1 344 15 9 80 10000 01000 00100 00010 00001 2 1 1 3 1 3 4 1 1 5 1 1 10000 3 4671 14 6 7 1 1 131 1 01000 00100 00010 00001 2 1 4 3 2 3 2 4 2 7 4 5 2 1 4 10000 3 1671 11 6 7 1 1 1 4 31 1 0 1 4 000 00100 00010 00001 4 3 7 6 5 3 1 6 10000 3 1000 11000 1 1 43 2 3 4 5 4 01 43 27 41 4 00100 00010 00001 5 1 10000 3 1000 11000 1 1 43 2 3 4 5 4 01 43 27 4 1 4 00100 00010 0000 1 G 该矩阵即为命题中的矩阵 G 在 G 中 E31 0 所以原方程组有解 且其导出组的基础解系为 1 3 2 3 2 1 0 2 3 4 7 4 0 1 69 2000年 总第 73期 王 玲 初等变换法在求解矩阵方程与线性方程组中的应用 方程组的特解 F41 5 4 1 4 0 0 从而得方程组的全部解为 x k1 1 k 2 2 F 41 k 1 k 2为任意常数 例 求解线性方程组 x1 2x2 3x3 4x4 0 2x1 3x2 x3 0 x1 9x2 10 x3 12x4 0 解 作矩阵 C A I 12 340 2 3100 19 101211 10000 01000 00100 00010 00001 2 1 2 3 1 3 4 1 4 10000 2 77 80 17 7811 1 23 40 01000 00100 00010 00001 3 2 1 4 2 8 7 10000 2 7000 170011 1 21 12 7 0 011 8 7 0 00100 00010 00001 G 在 G 中 由于 E31 0 0 11 0 所以方程组无解 用这种方法求解线性方程组 较之大多数教材中的方法更为简单 直观了 参 考 文 献 1 线性代数 M 北京 中国人民大学出版社 2 张禾瑞 郝钅 丙新编 高等代数 M 北京 高等教育出版社 1983 责任编辑 傅春玲 上接第 59页 3 处理方案 为避免过大的费用支出 将屋面部分拆除 拆除 长度以水平长度不超过 2 5 m 为宜 以防止荷载变 化较大发生另半跨屋架上拉力变为压力 在距支座 1 9 m 处加竖杆 145 240 及 2 块夹杆 80 240 因为端部标高下降 故破除底部天棚 在立杆下面加 支撑钢管 150 再将支柱临时支撑 用牛尾楔对打 提升或用千斤顶将屋架高度提至原标高 然后在 1 1 及 2 2 截面处截断 见图 4 拆除支座上 下 弦更换新杆 145 240 加夹板 80 240 用 12 螺栓紧固后涂防腐剂 复原 下弦支承部分加850 240 80的托木 涂蒽油两度以防腐 托木下的枕木 采用 500 120 240 其与墙相接处刷蒽油两度