关于递推数列通项公式的寻求.doc

关于递推数列通项公式的寻求内容提要：数列在理论上和实践中均有较高的价值，是培养学生观察能力、理解能力、逻辑思维能力的绝好载体，对数列的考察在八十年代末发展到了极致，以后逐渐冷落，但最近几年又逐渐升温，随着与大学知识的接轨，竞赛题的释放，很多省市的数学卷都把数列题作为压轴题，而递推数列经常被隆重推出。本文想总结一下在高中阶段，求常见递推数列的通项公式的常用方法和策略，希望能抛砖引玉。关键词：递推数列 通项公式一、利用数列前项和求。由可得1、条件中的最高次为一次。 此时往往消去，从所得的数列前一项与后一项的关系式中发现规律，或通过构造辅助数列，再求出。例若数列对任意，满足，求数列的通项。【解法1】：时， 2时， ，即是等比数列， 【解法2】：分别求出，推测，再用数学归纳法证之，略。2、条件中的最高次为二次。此时往往利用（2）消去，寻找与的关系，或通过构造辅助数列，先求出，再求出。例2数列中，（2），求数列的通项。【解】：由题设知： （2），即（2） 从而得：（2），可知辅助数列是首项为，公差为2的等差数列，故有 ，（2）， （2），所求通项公式为。二、形如（为常数且），求。1、，是等差或等比数列时，可以采用累差迭加法。例3 数列满足且，求数列的通项公式； 数列满足且，求数列的通项公式。 【解】：由已知可得从而可得，这个式子两边相加，即得，。 【解】：由已知可得从而可得，这个式子两边相加，即得：。2、时通常采用化归法和阶差法。例4数列中，求数列的通项公式。【解法1】：由 得：，这个式子两边相加，即得： 。【解法2】：由，两边同除以，得：，令：，则，于是上式可化为，易知此差是等比数列，从而可用累差迭加法可求得辅助数列的通项，然后由即可求得通项。三、形如，求。由，即“累积法”求。例5数列中，求数列的通项。【解】：由得（2），两式相减即得：（2），整理可得，即：（2），于是（2），化简可得（2），结合，求得原数列通项为：。四、形如（为常数且且），求。分析：此类问题可采用归纳法，化归法及阶差法等方法求解。归纳法是指首先由不完全归纳法猜想结论，然后用数学归纳法证之；化归法是指将所求数列转化为等差、等比或其它已知数列来求；阶差法是指由已知递推公式反向递推，得出个关系式，然后作差消去，这些中间项，从而求出。【解法1】：（归纳法）由，得：，可归纳出：（），然后用数学归纳法证之。略。【解法2】：（化归法）令，展开整理并与原式比较系数得，从而可将原数列转化为等比数列，设，则，从而，则，所以。【解法3】：（化归法）将原式两边同除以，得，从而又将原数列化为易于递推的形式。设，则，则 （或者采用累差迭加法）所以【解法4】：（阶差法）由，反向递推得： 即 ， 两边相加得：（） 【解法5】：（化归法）由可得（2），两式相减得：（2），设，则是首项为，公比为的等比数列，于是：，问题转化为运用“累差迭加法”解题。五、形如（），且（），求。分析：此类问题也可采用归纳法求解，但过程繁杂，而用化归法求解，由原递推公式构造新的辅助数列求解较为快捷。【解】：由，可得，两边同除以，得，即有，则数列是以首相为，公差为的等差数列，所以，即：。六、形如 (