高中数学教学论文 函数应用问题中不容忽视的“误区”苏教版.pdf

例谈函数应用问题中的 误区 例谈函数应用问题中的 误区 函数的应用问题主要是指将实际问题转化为函数问题 就是 数学建模 它是解决数 学应用题的重要方法 在建模时常会因出现 忽视从实际出发 理解不全面 与事实 不符 等几种解题误区 下面就函数应用问题中的这几个误区进行举行分析 一 忽视从实际出发确定函数的定义域致错 一 忽视从实际出发确定函数的定义域致错 用心 爱心 专心 1 例 1 某工厂拟建一座平面图 如图 为矩形且面积为 200 平方米的三级污水处理池 由于地形限制 长 宽都不能超过 16 米 如果池外壁建造单价为每米 400 元 中间两条 隔壁建造单价为每米 248 元 池底建造单价为每平方米 80 元 池壁的厚度忽略不计 且 池无盖 1 写出总造价y元 与污水处理池长x 米 的函数关 系式 并指出其定义域 2 求污水处理池的长和宽各为多少时 污水处理池的总造价最低 并求出最低总造价 x米 则宽为 200 x 米 总造价 错解 1 污水处理池的长为 200200 400 22 248280 200yx xx 324 800 16000 016 xx x 2 324 800 16000800 2 3241600044800yx x 当 且 仅 当 324 x x 即32418x 最低造价为 44800 元 错因分析 上述解法中的思路是正确的 第 1 问列的式子也正确 但是定义域 是不严格的 应由已知条件01x 616 200 0 x 进一步缩小范围 12 5 第 2 问中应用不等式解最值时忽视等号成立的条件为 16x 18x 但在定义域内取不到 18 所以应根据函数的单调性进行分析求解 正 解 1 324 800 16000 yx x 200 16 12 5x x 则 定 义 域 为 12 5 16 2 324 800 16000 yx x 324 1 800 2 x y 在定义域 12 5 16上为减函数 所以长和宽分别为 16 米 12 5米时 总造价最低且为 45000 元 二 由于对实际问题理解不全面而致错 二 由于对实际问题理解不全面而致错 例 2 在一个交通拥挤及事故易发路段 为了确保交通安全 交通部门规定 在此路 段内的车距与车速v 单位 的平方和车身长 单位 的乘积成正比 且最小车距不得少于半个车身长 假定车身长为l 单位 m 且当车速为 km 小时m 50 km 小时 时 车距恰为车身长 问交通繁忙时应规定怎样的车速 才能在此路段的车流量Q最大 车速 车流量 车距 车身长 用心 爱心 专心 2 错解 将 2 dkv l 50 vdl 代入得 1 2500 k 2 1 2500 dv l 又将 1 2 dl 代 入得25 2v 由题意得 2 1 25 2 2500 dv l v 将 2 10001000 25 2 1 2500 vv Qv vdl l 1000100025000 1 1 2 2500 2500 v lv l l v v 25000 50v l max 当且仅当时 Q 综上所知 50 vkm h 时 车流量Q取取最大值 错因分析 上述解法中的结果虽然正确 但解题过程中是错误的 即虽然车速要求不 低于25 2 km h 所以在求解过程中应分此两种情况分类求解 得到分段函数 正解 依题意 得 2 1 25 2 2 1 25 2 2500 lv d v lv 则 2 1000 25 2 3 10002 1000 25 2 1 2500 v v l v Q vdl v v l 显然 当25 2v v时 Q是的增函数 时 max 100050000 2 3 3 2 v Q l l 25 2v 时 1000100025000 1 1 2 2500 2500 v lv l l v v 当且仅当时 当25 2v v50 max 25000 Q l 综上所述 当50 vkm h 时车流量 Q 取到最大值 三 结果与事实不符而致错 三 结果与事实不符而致错 例 3 WAP 手机上网每月使用量在 500 分钟以下 包括 500 分钟 按 30 元计费 超 过 500 分钟的部分按 0 15 分钟计费 假如上网时间过短 小于 60 分钟的 使用量在 1 分钟以下不计费 在 1 分钟以上 包括 1 分钟 按 0 5 元 分钟计费 WAP 手机上网不收通 话费和漫游费 1 写出上网时间x分钟与所付费用y元之间的函数关系式 2 12 月小王 WAP 上网使用量为 20 小时 要付多少钱 3 小王 10 月份付了 90 元的 WAP 上网费 那么他上网的时间是多少 错解 1 设上网时间为x分钟 由已知条件所付费用关于yx的函数关系式为 0 01 0 5 160 30 60500 0 15 500 x xx y x x x 2 当12006020 x分钟 应付500 x0 15 1200180y 元 3 90 元已超过 30 元 所以上网时间超过 500 分钟 由解析式可得上网时间为 600 分钟 错解分析 此题错解主要是对 超过 500 分钟的部分按 0 15 分钟计费 中的 超过 部分 理解出错 产生了与事实相违的结论 如第 2 小题上了 1200 分钟的网 要 180 元 是 30 元包月用 500 分钟的 6 倍 而时间上才 2 倍多 与事实不符 又如第 3 小题 用了 90 元 几乎是 30 元的 3 倍 而可上网时间才多了 100 分钟 与事实不符 正解 1 设上网时间为x分钟 由已知条件所付费用关于yx的函数关系式为 0 01 0 5 160 30 60500 300 15 500 500 x xx y x xx 2 当12006020 x分钟 应付500 x135 5001200 15 030 y 元 3 90 元已超过 30 元 所以上网时间超过 500 分钟 由解析式可得上网时间为 900 分钟 函数应用问题解题时要掌握好函数应用问题解题的一般步骤 注意避免进入以上几个 误区 具体