日出持续时间的近似计算.pdf

日出持续时间的近似计算 北京天文馆 天文爱好者 杂志社 李 鉴 2015 05 27 目录目录 预备知识 天球坐标系预备知识 天球坐标系1 问题的提出问题的提出2 计算过程计算过程3 讨论讨论4 天球是一个假想的球 它是以观测者 或地心 为中心 以无穷远 为半径的球壳 所有天体都投影在这个球面上 预备知识 天球与天球坐标系预备知识 天球与天球坐标系 天体之间的角距离天体之间的角距离 地平坐标系地平坐标系 方位角 A 南或北点顺时针起量 地平高度 h 天顶距 z 90 h 赤道坐标系赤道坐标系 赤经 春分点起算 逆 赤纬 时角 t Q 点起算 顺 赤道坐标转换为地平坐标的公式赤道坐标转换为地平坐标的公式 已知观测地的地理纬度 天体赤纬 和时角t 1 求天体的地平高度h sinh sin sin cos cos cost 1 2 求天体的方位角A cosh cosA sin cos cost cos sin 2 cosh sinA cos sint 一 问题的提出一 问题的提出 天安门地区管理 委员会网站公布 的天安门升降旗 时刻表 http www tiana index asp 显 示 升 降国旗 的时间 是根据 天安门广场见到 的日出日落时刻 确定的 关于升旗仪式的具体信息 目前没有官方公 告 但有一个在网络上广为流传的资料说 早晨 当太阳的上边缘与天安门广场所见的 地平线相切时 国歌奏响 然后到太阳的下边 与地平线相切的时候 国旗升到项端 持续时 间是两分零七秒 见 天涯问答 百度知 道 等 二 计算过程 从太阳的地平高度入手二 计算过程 从太阳的地平高度入手 sinh sin sin cos cos cos 1 日出的持续时间 就是日面中心的地平高度从 1 2d d 为太阳视直径 变为1 2d 所花费的时间 这段时 间内h的变化为dh d 将 1 两端对时间 t 求导 cosh dh dt sin cos d dt cos cos sin d dt cos sin d dt 地球公转轨道近似圆形 太阳黄经可视作随时间均匀 变化 d dt a 0 986 天 0 041 s 三 讨论 三 讨论 1 能见到日出的条件 根号下为正值 cos2 0 sin2 即 0 90 北纬北纬 max 极昼 极昼 min 极夜 极夜 9000 8010 10 66 523 5 23 5 2 3 式的适用条件 式的适用条件 3 式 以及 2 式 以日出过程中 日面中心正 好位于地平线上这一时刻的太阳地平高度变化速率作 为整个日出过程中的速率均值 以d 作为日出过程中 的日面中心地平高度变化的数值 因此只适用于同时 满足以下两种情况的日出 a 日出过程中 h的变化率 dh dt 的变化不大 即 d2h dt2 0 b 日出过程应完整 即太阳不能 尚未完全升起就已 经开始落山 或 尚未完全落下就已升起 先考查条件a h 0时 忽略 的变化及 a项 通常情况下 它只有 项的几百分之一 可求出 d2h dt2 2 sin sin 0 1 2 2 15 minute 可知d2h dt2 0 033角分 分钟2 相比于 的数值而 言 为接近于0的小量 因此可知 绝大多数日出都满足条件a 再考查条件b 以太阳尚未完全升起就已经开始落山为例 日出 过程中 日面中心的地平高度不是单调递增 而是出现了极值 hmax 其值 d 2 即dh dt由大于零变成了零 此时的 d2h dt2 0 这种情况只发生于 a项不可忽略时 发生这种情 况即表示 当h 0时 dh dt应等于0或极其接近于0 使得dh dt 与d2h dt2在数值上十分接近 因此dh dt在整个日出过程中不能 再被视为常量 从而不再满足条件a 综上 条件b强于条件a 满足b就一定满足a 反之 不满足b就一定不满足a 当且仅当日出过程中可能出现dh dt在数值上接 近d2h dt2时 3 式不再适用 因为d2h dt2接近于0 因此可以认为dh dt 0时 3 不适用 h 0时 dh dt 0 0 033 m 3 式不适用 一个可量化计算的近似适用条件一个可量化计算的近似适用条件 对给定的 和 可以先根据dh dt 0求出hm 极大与极小值 并判断是否有 hmax d 2 例1 当 90 时 hmax 0 d 2 临界极昼 3 不适用 注意 对给定的 和 根据dh dt 0总能求出hm 但我们关心的 不仅仅是hm 而是h在从 d 2到d 2的过程中是否出现了hm 因此仅凭hmax d 2来判断 3 是否适用 并不充 分 这个判据只是前述严格判据的近似 但在大多数情况下都 可以使用 并且十分易于计算 求求hm的方法 的方法 理论上应根据下式求解hm 实际计算时 可以用太阳上中天的地平高度hc 90 在 a 0时成立 代替hmax 用下中天地平高度hl 90 代替hmin hmax hc 90 hmin hl 90 原因在于 a d 2 89 79 时 3 hmin hl 90 d 2 89 79 时 以及极点周围 当 90 并且 89 79 时 无论hmax和hmin是否大于或小于d 2 3 式均成立 3 89 79 的由来的由来 日出的过程是太阳周日视运动 含 的项 记为K 与 周年视运动 含 a的项 记为K 的叠加结果 大多 数情况下 周年视运动效应比周日视运动效应小得 多 只有当 和 都极近于90 时 二者才大小相当 都很小 下面取d 1920 考查这两项的最大最 小值 代入 15 s a 0 986 天 0 041 s 数值计算给出的数值计算给出的K89 94度时 无论 取值如何 K都小于K 2 0 2度时 对应的 89 8度 必须大 于89 79度 K才与K 量级相当 89 79度时 在 的取值范围内 K都大于K 因此 当 89 79度时 含 a的周年项 即K 在日出过程中开始起作用 无需用一日当中的 hm来判断日出是否完整 因此无论hm如何 3 式都适用 总结 总结 一般情况 当 d 2 hmin hl 90 89 94 的北极 可以忽略K t d a sin cos2 0 cos2 0 5 cos2 0 冬至到夏至适用 3 不适用时 只能求解积分方程 例子例子 t 9001 36天 89 0114分 80927分 023 5138秒 00128秒 4023 5196秒 66 523 5 4 日出持续时间随纬度 日期的变化 日出持续时间随纬度 日期的变化 K cos2 0 2 cos2 0 sin2 0 5 0 K sin2 2 cos2 0 sin2 0 5 0 可见K随着cos 0的增大而单调递增 随着 的增大而单 调递减 K越小 日出持续时间越长 越大 t越长 0 越小 t越短 地球上能见到的最短日出必定发生在 0并且 0 0时 在同一天 赤道上见到的日出最短 高纬地区 见到的日出最长 若能见到完整的日出的话 同一纬度处 春 秋分日见到的日出最短 冬 夏至日见到的日出最长 纬度越高 两分 两 至日所见的日出时间之差越大 例如在赤道上 两分日的日出时间为128秒左 右 两至日约为138秒 在北京 40 两 分日为167秒左右 两至日约为196秒 北极日出示意图 左图为地球公转示意图 地球的阴影部分为黑 夜 视角为从北往南俯视 地球上的黄色弧线显示的是赤道 注意 地球自转轴 以及赤道 与公转平面的夹角 右图为春分日前后在 北极点附近经度为0度的地方 观测日出示意图 太阳从A运行到 B 走过的轨迹是一段很长的螺旋线 未按实际比例 t 1 36天 5 其他误差 其他误差 以上计算忽略了地球轨道偏心率 e 0 0167 大气折射 地平附近最大 为35 视地平与 数学地平的差别等因素 在实际观测中 这些 因素对日出的持续时间有所影响 地球轨道偏 心率很小 它导致的太阳视直径变化范围为 d 1888 1952 因此对日出持续时间的影响 范围在64 1888 3 4 以内 另外 由于越接 近地平大气折射角越大 大气折射会使得日出 时的太阳呈扁圆形 典型的尺寸为 32 26 5 朱进等 奥赛增刊 2010 导致日出持续 时间最多可能