数学解题教学中师生互动的案例分析.pdf

1 0 中学数学研究 2 0 1 4 年第6 期 数学解题教学中师生互动的案例分析 江苏省淮北中学 2 2 3 9 0 0 程坚 一 问题的提出 著名数学家 数学教育家波利亚的教学理念是 中学数学的首要任务就是加强解题训练 掌握数 学就是意味着善子解题 数学课堂应该围绕着问题 解决来组织 数学教师应该创造一种使问题解决得 以蓬勃发展的课堂环境 我们自然要问 在解题教 学中 怎样提高课堂效率呢 我们知道 当你找到第 一个蘑菇后 或作出第一个发现后 一定要环顾四 周 因为它总是成堆生长的 这就是人们常说的 采 蘑菇 现象 而通过师生互动促进解题教学中的解 题反思 它是提高课堂解题教学效率的关键 下面通 过具体的案例来说明高三解题教学中师生互动与解 题反思的做法 不当之处 还请批评指正 二 二个师生互动的案例 案例1如图1 0 0 的半 径为l A O B 6 0 6 点C 在劣 弧A B 上 D C m O A n O B 则 m n 的最大值是 笔者设计这个问题 主要 是基于以下几个方面的考虑 其一 唤起学生对解决向量问 题的常用方法的回顾 其二 让 图l 学生学会将数和形灵活转化 培养学生数形结合的 意识 其三 培养学生解题反思的意识和能力 优化 学生的思维品质 这里主要是直觉思维能力 其四 在解题教学中培养学生的 采蘑菇 意识 提升学生 的数学素养 让学生学会解题 学会学习 学生阅读后开始思考 经过交流 讨论 学生给 出了下面的解法 学生1 以0 为圆心 直线O A 为霉轴建立直角坐 标系 则A 1 o 曰 霉 设 A O C p p 二 二 f o q 仃 11 则c c o s O s i n 伊 由O C m 蔬 n 葫易 得m 舢争砌胪筝砌舯 c o s 口 字s i n p 学c o s0 一詈 椭最大值是学 解题反思 在教师的启发下 以学生为主 师 生互动完成 下同 通过建立坐标系 用坐标表示点 向量 引入0 变量 把向量等式转化为数量等式 把二元函数转化为一元函数 通过求函数的最值得 到问题的解答 它将向量问题代数化 这是解决向量 问题的一种重要的方法 学生2 将O C m O A n O B 两边平方得o c 2 m 2 葫2 2 m 危葫 历 n 2 瓦驴 从而 7 1 2 m n 尼2 1 即 m n 2 一m n 1 又m l f 旦 1 故 7 l 川2 一l m2 4 l q J 玑2 n 的最大值是筝 4 解题反恩 将O C m O A n O B 两边平方 实际 是通过向量的数量积 证明了余弦定理 利用余弦定 理 把向量等式转化为数量等式 再通过基本不等式 得到目标不等式 然后解不等式即可 因此 我们有 下面的解法 解 如图2 由平面向量分解 的唯一性得lO E I Ir t iO AI m lO FI InO Bl n 在 A O C E 中 O E C 1 2 0 0 由余 弦定理得O C 2 O E 2 E C 2 2 0 E E C c o s l 2 0 即m 2 m r n 2 1 下略 图2 启发提问 何时取得最值 学生l 通过建立坐标 系求解 有没有其它的建立坐标系的方法 学生2 通 过数量积转化 能否在等式两边点乘一个其它向量 使问题变得更简单 从解题结果出发 反思解题过 程与方法的优化 是解题反思的一种重要方法 从这 个解题结果出发 能够培养学生利用形的对称解决 问题的能力 提升学生的直觉思维能力 过了一会儿 本文是江苏省教学研究第九期 2 0 1 1 年度 重点课题 高中数学课堂师生互动的行为分析与诊断研究 的阶段性成果 课题编号是J K 9 一Z 0 6 9 万方数据 2 0 1 4 年第6 期 中学数学研究 学生3 以0 为圆心 A O B 的平分线为石轴建 立直角坐标系 则A 譬 一号 君 譬 设 x O C p pE 一詈 詈 则c c o s O S i n p 由 一 一OA 一得m 7I 华c s00C mO AnO B 故m n 的 得m 7 I c o s 故 的 1 匠 最大值是气 解题反思 1 是否建立坐标系是方法层面的问 题 宏观的 通过建立坐标景 把形的问题转化为 数的问题 它就是常见而重要的坐标法 而怎样建立 坐标系是技术层面的问题 微观的 我们必须细心 积累经验 建立恰当的坐标系 这里利用对称性建立 坐标系 简化了运算 优化了解题过程 2 要注意对 称的运用和直觉思维能力的培养 比较学生1 和学 生3 的解题过程可知 其本质是利用轴对称和旋转 变换 将坐标系逆时针旋转 7 1 在启发提问和前面讨论的基础上 有学生给出 了下面的解法 学生4 设 A O B 的平分线和单位圆相交于点 D 且 D O C 9 毋 o 别 在等式蔬 m 葫 n O B 两边点乘O D 得m n 刍盆c s 日 故m l 的最大值是冬譬 解题反思 在向量等式的两边点乘O D 因为o A J 厅 D D o B D D 等 右边直接产生m 凡 这里利 用了对称性 简化了运算 有利于培养学生感受美 创造美的意识 它对学生的数学意识和应试能力的 培养都起着重要的作用 教师启发引导 如图3 设 A B 交O C 于点D 若O D 口O A b O B 则点D 在直线A B 上铮口 b 1 口 R b R 它将数 口 b 1 和形 D 在直线A B 上 有机的统一起来 如果利用 这个经典结论 问题怎样求解 呢7 图3 过了一会儿 有学生给出了下面的解法 学生5 设O C J LO D 由O C AO D n lO A 一 一 n 蔬得詈 詈 1 即m n A 又A 历O C 当且 仅当点C 是A B 的中点时 O D 的长度最小 故A 的最 大值为毕 解题反思 事实上 对于过点E 和直线A B 平行 的直线z 上的任意点C 当葡 m O A n 商时 都 有m n 历O C 面O E 为定值 其中直线A B 在如图所 示的斜坐标系中的方程为茗 y 1 案例2 2 0 1 3 年江西高 考第2 0 题 如图4 椭圆c 冬 告 l 口 b o 经过点 P 1 吾 离心率e 虿1 直线z 的方程为戈 4 1 求椭圆C 的方程 P M X 厂 定 工 图4 2 A B 是经过右焦点 的任一弦 不经过点 P 设直线A B 与直线f 相交于点M 记P A P B P M 的斜率分别为k k k 问 是否存在常数A 使得k 南 A k 3 7 若存在 求出A 的值i 若不存在 说明理 由 笔者设计案例2 主要是基于以下几个方面的 考虑 I 唤起学生解析几何问题的处理方法 让学生 进一步感知是否存在问题的处理方法 教会学生简 化运算的方法 培养学生的运算能力 2 通过解题反 思 教会学生提出问题的方法 这里主要是特殊问题 一般化的方法和类比的方法 3 让学生学会归类整 理 将知识 问题 系统化 条理化 便于知识的加 工 储藏 提取和应用 问题l 的答案是 1 对于问题2 有学 生给出下面的解法 学生1 设a x Y B x Y 2 直线Z 的方程是 名 毋 1 则点M f4 将直线z 的方程代入椭圆 的方程并整理得 3 k 2 4 y z 6 k y 一9 0 则Y l 3 6 k9 l 虿 儿3 一而 Y Y 22 一而 七 2 可 333 托一丁 y 一丁 儿一虿 2 3 l i T2 云F 瓦一2i 一一 页 一Y 2 k y 2 k t Y J 2 写2 一lJ c y l2 知 l 万方数据 1 2 中学数学研究2 0 1 4 年第6 期 三一三 三一三 丛等 i2k2 k yy 2 一1 又 土了三 上k 一 一 一一 XK 一 一一 后 一一一3 3 所以存在常数A 2 使得k k 2 2 k 3 解题反思 从解题过程和解题方法来看 这种方 法最简单 将这种解法和其他同学的解法比较就可 以看出 在解题后 一定要反思解题过程与方法 这样才有可能找到更多 更好的方法 从解题结果来 看 存在常数A 2 土 你能提出一个更一般的问 题吗 凭直觉 我开始认为常数A 土 经过思考交流讨论 有学生给出了下面的问题 学生2 椭圆c 的方程为 苦 l 口 b o 点J P f c 笙1 直线z 的方程为菇 旦二 A B 是经过 右焦点 的任一弦 不经过点P 设直线A B 与直线 Z 相交于点肘 记以 朋 P i l l 的斜率分别为k l k k 3 问 是否存在常数A 使得k k 2 A 后3 7 若存在 求出A 的值 若不存在 说明理由 评注 因为提出问题有时比解决问题更重要 我 对学生2 给予了高度的评价 过了一会儿 有学生给出了下面的解法 学生3 设A 互l Y B 髫2 2 直线2 的方程是 茗 k y c 则点肘 生 等1 将直线z 的方程代入椭 圆的方程并整理得 6 2 k 2 2 y 2 2 c k b 2 Y b 4 0 则 儿 一i i 乏 冬 三 托 一i i i 毛 后 后 b 26 26 26 2 y l i y 2 一iy 1 i y 2 一一a2 一十一 一十一 一一 菇l c 髫2 一c k y l 扎 k b 2 11 2b 2 y 托 22 c 忑I 万 万J2 一k a k 百2i 一 又后 等一等 譬一c 一詈 所以存 在常数A 2 使得k l 如 2 k 评注 此时 已经下课了 但学生都很兴奋 我于 是要求学生用类比的方法提出问题 再求出结果 学 生课后积极思考 有的提出了与双曲线有关的问题 有的提出了与抛物线有关的问题 并且都给出了解 答 这一堂课 从课内自然延伸到了课外 将知识和 方法都教给了学生 这堂课的教学是高效的 学生的 收获是丰硕的 三 师生互动与解题反思 1 师生互动简析 师生互动行为可分为三个层面 第一个层面是 指教师与全体学生之间的互动 简称为师全互动 它 是师生互动的常态方式 第二个层面是指教师与个 别学生之间的互动 简称为师个互动 它是师生主体 间的双向交流 是师生互动的高效方式 第三个层面 是指学生与学生之间的互动 简称为生生互动 它是 师生互动的良性发展与后续延伸 是师生互动的深 层方式 师生互动的三个层面中 第一层面是基础与 保障 第二 三层面是师生互动的应有之义 每个层面的师生互动行为又可以从四个维度来 描述与刻画 第一个维度是外显的行为 包含语言互 动的流畅性 准确性和逻辑性 第二个维度也是外显 的行为 即讨论行为 包含商讨辩论中体现的真诚 性 专注性和有效性 第三个维度是内隐的行为 即 思维行为 包括思维品质的深刻性 发散性与创新 性 第四个维度也是内隐的行为 即情感行力 包括 师生双方的主动性 态度的积极性 情感的愉悦性 前面的案例充分体现了师生互动的三个层面和 四个维度 它们对学生思维品质的培养起着独特 重 要而且无可替代的作用 2 解题反思 反思是解题的重要环节 解题后的反思对学生 来说有着重要的意义 反思主要从以下几个方面进 行 反思解题本身是否正确 由于在解题过程中 可 能会出现这样或那样的错误 因此在解完一道题目 后很有必要审查自己的解题是否混淆了概念 是否 忽略了隐含条件 是否特殊代替一般 是否忽视特 例 逻辑上是否有问题 运算是否正确等 这样做是 为了保证解题无误 这是解题后最基本也是最重要 的要求 反思有无其他解法 对于同一道题 从不同的角 度去分析它 可能会得到不同的启示 从而引出多种 不同的解法 通过不同的观察侧面 使学生的思维触 角伸向不同的方向 不同的层次 从而发展学生的发 散思维能力 反思结论或性质在解题中的作用 有些题目本 身可能很简单 但是它的结论和解决这道题目所涉 及的性质却又广泛的应用 如果让学生仅仅满足于 解答题目本身 而忽视对结论或性质应用的思考 探 索 那就可能会 捡到一个芝麻 丢掉一个西瓜 反思解决问题的思维方法能否迁移 做题不单 单是为了解决一道题目 而是为了掌握一类问题的 万方数据 2 0 1 4 年第6 期中学数学研究 1 3 解决方法 让学生课后深思一下解题程序 有时会突 然发现 这种解决问题的思维模式竟然体现了重要 的数学思想方法 对于学生解决问题大有帮助 从前面的案例可以看出师生互动与解题反思在 数学学习中的重要性 二个案例告诉我们 在解题教 学中 既要反思结果是否正确 更要反思有无其他解 法 反思结论能否推广到一般情况 反思解决问题的 思维方法能否迁移 使学生做一题 通一类 会一片 如果我们能够利用师生互动把解题反思的工作 做好 做实 那么解题教学的效果就会真正提高 通 过师生互动 加强反思 突出本质 消除解题教学中 的 懂而不会 就会成为可能 洛比达法则该不该教 对一道高考题的困惑 陕西省咸阳市乾县杨汉中学 7 1 3 3 0 0 赵文涛汪仁林 2 0 1 3 年高考虽然已过去一年了 但高考结束后 所发生的一件事令我至今难以忘怀 高考结束后 在 校对答案估分时 一位优秀学生对2 0 1 3 年高考陕西 理科数学第2 l 题第 2 问的质疑引起了我的重视 一 考题及参考答案 题目 2 0 t 3 年高考陕西理科数学第2 l 题 己 知八戈 e z 茗 R 1 若直线 k l 与以菇 的反函数的图像 相切 求实数k 的值 2 设菇 0 讨论曲线 八茹 与曲线y 眦2 m 0 公共点的个数 3 略 解 1 略 2 曲线Y e s 与曲线 眦2 m 0 公共点的个数等于曲线y 与与直线Y 工 m m 0 公共点的个数 令妒 茁 与 则9 石 互 掣 所以妒 2 0 当戈E o