河南省许昌市四校高二数学上学期第三次联考试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年河南省许昌市四校高二（上）第三次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1命题“如果xa2+b2，那么x2ab”的逆否命题是（）a如果xa2+b2，那么x2abb如果x2ab，那么xa2+b2c如果x2ab，那么xa2+b2d如果xa2+b2，那么x2ab2“x0”是“ln（x+1）0”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件3命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是（）a所有奇数的立方不是奇数b不存在一个奇数，它的立方是偶数c存在一个奇数，它的立方是偶数d不存在一个奇数，它的立方是奇数4设m=2a（a2），n=（a+1）（a3），则有（）amnbmncmndmn5不等式x22x52x的解集是（）ax|x5或x1bx|x5或x1cx|1x5dx|1x56在abc中，b=60，b2=ac，则abc一定是（）a锐角三角形b钝角三角形c等腰三角形d等边三角形7已知数列an的前n项的和sn=an1（a是不为0的实数），那么an（）a一定是等差数列b一定是等比数列c或者是等差数列，或者是等比数列d既不可能是等差数列，也不可能是等比数列8等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）a130b170c210d2609若a，b，c成等比数列，则函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数为（）a0b1c2d0或110双曲线的离心率e（1，2），则k的取值范围是（）a（，0）b（3，0）c（12，0）d（60，12）11过点m（2，0）的直线l与椭圆x2+2y2=2交于p1，p2，线段p1p2的中点为p设直线l的斜率为k1（k10），直线op的斜率为k2，则k1k2等于（）a2b2cd12如果方程+=1（p0，q0）表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（）a+=1b+=1c+=1d+=1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13在abc中，已知b=50，c=150，b=30，则边长a=14与双曲线x24y2=4有共同的渐近线，并且经过点（2，）的双曲线方程是15若点o和点f分别为椭圆3x2+4y2=12的中心和左焦点，点p为椭圆上任意一点，则最大值为16已知直线y=kx+1与双曲线3x2y2=3的右支相交于不同的两点，则k的取值范围是三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）（2015秋许昌月考）已知x，y满足不等式组，求z=3x+5y的最大值和最小值18（12分）（2015秋许昌月考）已知常数ar，解关于x的不等式ax22x+a019（12分）（2009宜昌一模）某个体户计划经销a、b两种商品，据调查统计，当投资额为x（x0）万元时，经销a、b商品中所获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元其中f（x）=x+1；g（x）=如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益20（12分）（2011郑州二模）已知数列an的前n项和sn=2an，数列bn满足b1=1，b3+b7=18，且bn1+bn+1=2bn（n2）（）求数列an和bn的通项公式；（）若cn=，求数列cn的前n项和tn21（12分）（2011双流县校级模拟）已知向量，函数（）若f（x）=1，求的值；（）在锐角abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，且满足，求f（2b）的取值范围22（12分）（2010沈阳模拟）已知定点，b是圆（c为圆心）上的动点，ab的垂直平分线与bc交于点e（1）求动点e的轨迹方程；（2）设直线l：y=kx+m（k0，m0）与e的轨迹交于p，q两点，且以pq为对角线的菱形的一顶点为（1，0），求：opq面积的最大值及此时直线l的方程2015-2016学年河南省许昌市四校高二（上）第三次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1命题“如果xa2+b2，那么x2ab”的逆否命题是（）a如果xa2+b2，那么x2abb如果x2ab，那么xa2+b2c如果x2ab，那么xa2+b2d如果xa2+b2，那么x2ab【考点】四种命题间的逆否关系 【专题】阅读型【分析】根据命题的逆否命题的概念，即是逆命题的否命题，也是逆命题的否命题；写出逆命题，再求其否命题即可【解答】解：命题的逆命题是：如果x2ab，那么xa2+b2逆否命题是：如果x2ab，那么xa2+b2，故选：c【点评】本题主要考查四种命题间的关系如图2“x0”是“ln（x+1）0”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【考点】充要条件 【专题】计算题；简易逻辑【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解：x0，x+11，当x+10时，ln（x+1）0；ln（x+1）0，0x+11，1x0，x0，“x0”是ln（x+1）0的必要不充分条件故选：b【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础3命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是（）a所有奇数的立方不是奇数b不存在一个奇数，它的立方是偶数c存在一个奇数，它的立方是偶数d不存在一个奇数，它的立方是奇数【考点】命题的否定 【专题】计算题；规律型；简易逻辑【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：根据命题的否定的定义知，命题“所有奇数的立方是奇数”的否定为：存在一个奇数，它的立方是偶数故选：c【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，是基础题4设m=2a（a2），n=（a+1）（a3），则有（）amnbmncmndmn【考点】向量在几何中的应用 【专题】计算题【分析】比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算mn的结果，判断结果的符号【解答】解：mn2a（a2）（a+1）（a3）=（a1）2+20，mn故选a【点评】本题考查了比较两数大小的方法，分式加减的运用当ab0时，ab，当ab=0时，a=b，当ab0时，ab5不等式x22x52x的解集是（）ax|x5或x1bx|x5或x1cx|1x5dx|1x5【考点】一元二次不等式的解法 【专题】不等式的解法及应用【分析】将不等式转化为一元二次不等式，利用因式分解法，可求得结论【解答】解：不等式x22x52xx24x50（x5）（x+1）0x5或x1，故选b【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，求解的关键在于求出对应方程的根，能用因式分解法的就用因式分解法6在abc中，b=60，b2=ac，则abc一定是（）a锐角三角形b钝角三角形c等腰三角形d等边三角形【考点】三角形的形状判断 【专题】计算题【分析】由余弦定理且b=60得b2=a2+c2ac，再由b2=ac，得a2+c2ac=ac，得a=c，得a=b=c=60，得abc的形状是等边三角形【解答】解：由余弦定理得：b2=a2+c22accosb=a2+c2ac，又b2=ac，a2+c2ac=ac，（ac）2=0，a=c，a=b=c=60，abc的形状是等边三角形故选d【点评】本题考查三角形的形状判断，用到余弦定理，在一个式子里面未知量越少越好是基础题7已知数列an的前n项的和sn=an1（a是不为0的实数），那么an（）a一定是等差数列b一定是等比数列c或者是等差数列，或者是等比数列d既不可能是等差数列，也不可能是等比数列【考点】等比关系的确定 【专题】计算题；分类讨论【分析】由题意可知，当a=1时，sn=0，判断数列是否是等差数列；当a1时，利用 ，判断数列an是等差数列还是等比数列【解答】解：当a=1时，sn=0，且a1=a1=0，an=snsn1=（an1）（an11）=0，（n1）an1=sn1sn2=（an11）（an21）=0，anan1=0，数列an是等差数列当a1时，a1=a1，an=snsn1=（an1）（an11）=anan1，（n1）an1=sn1sn2=（an11）（an21）=an1an2，（n2），（n2）数列an是等比数列综上所述，数列an或是等差数列或是等比数列故选c【点评】本题考查数列的概念，等差数列与等比数列的判定，解题时要注意a=0的情况，避免丢解以及n的范围满足数列的定义8等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）a130b170c210d260【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质 【专题】计算题【分析】利用等差数列的前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，用m表示出a1、d，进而求出s3m；或利用等差数列的性质，sm，s2msm，s3ms2m成等差数列进行求解【解答】解：解法1：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由题意得方程组，解得d=，a1=，s3m=3ma1+d=3m+=210故选c解法2：设an为等差数列，sm，s2msm，s3ms2m成等差数列，即30，70，s3m100成等差数列，30+s3m100=702，解得s3m=210故选c【点评】解法1为基本量法，思路简单，但计算复杂；解法2使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前n项和为sn，则sn，s2nsn，s3ns2n，成等差数列9若a，b，c成等比数列，则函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数为（）a0b1c2d0或1【考点】数列与函数的综合 【专题】计算题【分析】根据a，b及c为等比数列，得到b2=ac，且ac0，然后表示出此二次函数的根的判别式，判断出根的判别式的符号即可得到二次函数与x轴交点的个数【解答】解：由a，b，c成等比数列，得到b2=ac，且ac0，令ax2+bx+c=0（a0）则=b24ac=ac4ac=3ac0，所以函数f（x）=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数是0故选a【点评】本题主要考查了等比数列的性质，灵活运用根的判别式的符号判断二次函数与x轴的交点个数，属于基础题10双曲线的离心率e（1，2），则k的取值范围是（）a（，0）b（3，0）c（12，0）d（60，12）【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题【分析】先把双曲线方程化为标准形式，由离心率的范围求出k的取值范围【解答】解：双曲线的离心率e（1，2），双曲线标准方程为：=1k0，1e24，14，12k0，故答案选 c【点评】本题考查双曲线的标准方程和离心率11过点m（2，0）的直线l与椭圆x2+2y2=2交于p1，p2，线段p1p2的中点为p设直线l的斜率为k1（k10），直线op的斜率为k2，则k1k2等于（）a2b2cd【考点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题 【专题】计算题【分析】设直线l的方程为y=k1（x+2），代入x2+2y2=2，得（1+2k12）x2+8k12x+8k122=0，然后由根与系数的关系求解能够得到k1k2的值【解答】解：设直线l的方程为y=k1（x+2），代入x2+2y2=2，得（1+2k12）x2+8k12x+8k122=0，所以x1+x2=，而y1+y2=k1（x1+x2+4）=，所以op的斜率k2=，所以k1k2=，故选d【点评】本题考查椭圆方程的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答12如果方程+=1（p0，q0）表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（）a+=1b+=1c+=1d+=1【考点】双曲线的简单性质 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由方程+=1（p0，q0）表示双曲线，可得c=，判断出a，c不表示椭圆，再求出b，d中的c，即可得出结论【解答】解：由题意，方程+=1（p0，q0）表示双曲线，则c=p0，q0，a，c不表示椭圆，对于b，a2=2qp，b2=p，c2=，不满足题意；对于d，a2=2pq，b2=p，=，满足题意故选：d【点评】本题考查椭圆、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确理解椭圆、双曲线的几何性质是关键二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13在abc中，已知b=50，c=150，b=30，则边长a=100【考点】余弦定理 【专题】计算题【分析】由余弦定理可得=，解一元二次方程求出a的值【解答】解：由余弦定理可得 b2=a2+c22accosb，即 =，a=，故答案为【点评】本题考查余弦定理的应用，一元二次方程的解法，求a的值，是解题的难点14与双曲线x24y2=4有共同的渐近线，并且经过点（2，）的双曲线方程是=1【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】依题意，设双曲线的方程为x24y2=，将点（2，）的坐标代入可求【解答】解：设与双曲线x24y2=4有共同的渐近线的双曲线的方程为x24y2=，该双曲线经过点（2，），445=16所求的双曲线方程为：x24y2=16，整理得：=1故答案为：=1【点评】本题考查双曲线的简单性质，设出所求双曲线的方程为x24y2=是关键，属于中档题15若点o和点f分别为椭圆3x2+4y2=12的中心和左焦点，点p为椭圆上任意一点，则最大值为6【考点】椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算 【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设p（x，y），由数量积运算及点p在椭圆上可把表示为x的二次函数，根据二次函数性质可求其最大值【解答】解：设p（x，y），则=（x，y）（x+1，y）=x2+x+y2，又点p在椭圆上，故3x2+4y2=12，所以x2+x+（3x2）=x2+x+3=（x+2）2+2，又2x2，所以当x=2时，（x+2）2+2取得最大值为6，即的最大值为6，故答案为：6【点评】本题考查平面向量的数量积运算、椭圆的简单性质，属中档题16已知直线y=kx+1与双曲线3x2y2=3的右支相交于不同的两点，则k的取值范围是【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】把直线方程与双曲线方程联立消去y，根据x1x20和判别式大于0求得k的范围【解答】解：由直线y=kx+1与双曲线方程3x2y2=3联立，消去y（3k2）x22kx4=0，两个交点的横坐标分别为：x1，x2；x1x20 所以0所以k23，即k或者k，又x1+x20，所以0，可得k0k，又=（2k）2+16（3k2）0解得k24，解得2k2解得2k故答案为：【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题当直线与圆锥曲线相交时 涉及交点问题时常用韦达定理法来解决三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）（2015秋许昌月考）已知x，y满足不等式组，求z=3x+5y的最大值和最小值【考点】简单线性规划 【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最大值和最小值【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+5y得y=，平移直线y=，则由图象可知当直线y=经过点a时直线y=的截距最大，此时z最大，当经过点b时，直线的截距最小，此时z最小由解得，即a（，），此时最大值z=3+5=17，由，解得，即b（2，1），此时最小值z=3（2）+5（1）=11【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键18（12分）（2015秋许昌月考）已知常数ar，解关于x的不等式ax22x+a0【考点】一元二次不等式的解法 【专题】分类讨论；不等式的解法及应用【分析】讨论a=0时，不等式是什么，解集是什么？a0时，如何解不等式ax22x+a0，解集是什么？a0时，如何解不等式ax22x+a0，解集是什么？【解答】解：当a=0时，不等式为2x0，x0；当a0时，44a20，1a1，若0a1，则方程ax22x+a=0的两个实数根是x1=，x2=，不等式ax22x+a0的解集是x|x；若a1，=44a20，不等式ax22x+a0的解集是；当a0时，44a20，1a1；若1a0，则方程ax22x+a=0的两个实数根是x1=，x2=，不等式ax22x+a0的解集是x|x，或x；若a=1，则不等式ax22x+a0的解集是x|x；若a1，则不等式ax22x+a0的解集是r；综上，a=0时，不等式的解集是x|x0；0a1时，不等式的解集是x|x；a1时，不等式的解集是；1a0时，不等式的解集是x|x，或x；a=1时，不等式的解集是x|x；a1时，不等式的解集是r【点评】本题考查了用分类讨论法解含有字母系数的不等式的问题，解题时应适当地进行分类，求出各种情况的不等式的解集，再综合在一起，是易错题19（12分）（2009宜昌一模）某个体户计划经销a、b两种商品，据调查统计，当投资额为x（x0）万元时，经销a、b商品中所获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元其中f（x）=x+1；g（x）=如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益【考点】分段函数的应用 【专题】函数的性质及应用【分析】根据条件，表示为分段函数形式，利用基本不等式或者一元二次函数的最值，进行求解即可【解答】解：设投入b商品的资金为x万元（0x5），则投入a商品的资金为5x万元，设收入为s（x）万元，当0x3时，f（5x）=6x，g（x）=，则s（x）=6x+=17（x+1）+172=176=11，当且仅当x+1=，解得x=2时，取等号当3x5时，f（5x）=6x，g（x）=x2+9x12，则s（x）=6xx2+9x12=（x4）2+1010，此时x=41011，最大收益为11万元，答：投入a商品的资金为3万元，投入b商品的资金为2万元，此时收益最大，为11万元【点评】本题主要考查函数的应用问题，利用分段函数，分别求解，利用基本不等式和一元二次函数的最值是解决本题的关键20（12分）（2011郑州二模）已知数列an的前n项和sn=2an，数列bn满足b1=1，b3+b7=18，且bn1+bn+1=2bn（n2）（）求数列an和bn的通项公式；（）若cn=，求数列cn的前n项和tn【考点】数列递推式；数列的求和 【专题】计算题【分析】（）由前n项和与第n项的关系，可得，求出此等比数列的通项公式；由bn1+bn+1=2bn（n2）知，数列bn是等差数列，由，求得，从而写出等差数列 的通项公式（），用错位相加法进行数列求和，得到tn 的结果【解答】解：（）由题意sn=2an ，当n2时，sn1=2an1 ，得 an=snsn1 =an1an ，即，又a1=s1=2a1，a1=1，故数列an是以1为首项，为公比的等比数列，所以由bn1+bn+1=2bn（n2）知，数列bn是等差数列，设其公差为d，则，所以，bn=b1+（n1）d=2n1；综上，数列an和bn的通项公式为 （），= 2tn=121+322+（2n3）2n1+（2n1）2n，得tn=1+2（21+22+23+2n1）（2n1）2n，整理得，所以tn=（2n3）2n+3【点评】本题考查等比数列的性质，等比数列的通项公式，等差数列的性质，等差数列的通项公式，根据递推关系求通项，用错位相加法进行数列求和，用错位相加法求出tn=（2n3）2n+3，是解题的难点21（12分）（2011双流县校级模拟）已知向量，函数（）若f（x）=1，求的值；（）在锐角abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，且满足，求f（2b）的取值范围【考点】数量积的坐标表达式；三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦函数；余弦定理 【专题】计算题【分析】（i）利用向量的数量积公式求出f（x），利用二倍角公式及两角和、差公式化简f（x）；利用诱导公式将用表示，求出