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李庆扬 数值 分析 第五 习题 答案 20130808

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第 5 章 复习与思考题 1 用高斯消去法为什么要选主元 哪些方程组可以不选主元 答 使用高斯消去法时 在消元过程中可能出现0 k kk a 的情况 这时消去法无法进行 即 时主元素0 k kk a 但相对很小时 用其做除数 会导致其它元素数量级的严重增长和舍入 误差的扩散 最后也使得计算不准确 因此高斯消去法需要选主元 以保证计算的进行和计 算的准确性 当主对角元素明显占优 远大于同行或同列的元素 时 可以不用选择主元 计算时一般选 择列主元消去法 2 高斯消去法与 LU 分解有什么关系 用它们解线性方程组 Ax b 有何不同 A 要满足什么 条件 答 高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解 其中一个 为上三角矩阵 U 一个为下三角矩阵 L 用 LU 分解解线性方程组可以简化计算 减少计算量 提高计算精度 A 需要满足的条件是 顺序主子式 1 2 n 1 不为零 3 楚列斯基分解与 LU 分解相比 有什么优点 楚列斯基分解是 LU 分解的一种 当限定下三角矩阵 L 的对角元素为正时 楚列斯基分解具 有唯一解 4 哪种线性方程组可用平方根法求解 为什么说平方根法计算稳定 具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解 平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长 切对角元素恒为正数 因此 是一个稳定的 算法 5 什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定 对角占优的三对角方程组 6 何谓向量范数 给出三种常用的向量范数 向量范数定义见 p53 符合 3 个运算法则 正定性 齐次性 三角不等式 设x为向量 则三种常用的向量范数为 第 3 章 p53 第 5 章 p165 1 1 n i i xx 1 2 2 2 1 n i i xx 1 max i i n xx 7 何谓矩阵范数 何谓矩阵的算子范数 给出矩阵 A ai j 的三种范数 A 1 A 2 A A 1与 A 2哪个更容易计算 为什么 向量范数定义见 p162 需要满足四个条件 正定条件 齐次条件 三角不等式 相容条件 矩阵的算子范数有 1 A 2 A A 从定义可知 1 A 更容易计算 8 什么是矩阵的条件数 如何判断线性方程组是病态的 答 设A为非奇异阵 称数 1 A AA v v v cond 1 2 v 为矩阵 A 的条件数 当 A 1cond 时 方程是病态的 9 满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异 1 矩阵行列式的值很小 2 矩阵的范数小 3 矩阵的范数大 4 矩阵的条件数小 5 矩阵的元素绝对值小 接近奇异阵的有 1 2 注 矩阵的条件数小说明 A 是良态矩阵 矩阵的元素绝对值小 不能说明行列式的值小等 10 判断下列命题是否正确 1 只要矩阵 A 非奇异 则用顺序消去法或直接 LU 分解可求得线性方程组 Ax b 的解 答 错误 主元位置可能为 0 导致无法计算结果 2 对称正定的线性方程组总是良态的 答 正确 3 一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵 答 正确 4 如果 A 非奇异 则 Ax b 的解的个数是由右端向量 b 的决定的 答 正确 解释 若 A b 与 A 的秩相同 则 A 有唯一解 若不同 则 A 无解 5 如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素 则矩阵必奇异 6 范数为零的矩阵一定是零矩阵 答 正确 7 奇异矩阵的范数一定是零 答 错误 可以不为 0 8 如果矩阵对称 则 A 1 A 答 根据范数的定义 正确 9 如果线性方程组是良态的 则高斯消去法可以不选主元 答 错误 不选主元时 可能除数为 0 10 在求解非奇异性线性方程组时 即使系数矩阵病态 用列主元消去法产生的误差也很 小 答 错误 对于病态方程组 选主元对误差的降低没有影响 11 A 1 AT 答 根据范数的定义 正确 12 若 A 是 n n 的非奇异矩阵 则 cond cond 1 AA 答 正确 A 是 n n 的非奇异矩阵 则 A 存在逆矩阵 根据条件数的定义有 1 111111 cond cond AAA AAAAAAA 习题 1 设 A 是对称阵且0 11 a 经过高斯消去法一步后 A 约化为 2 111 0A aa T 证明 2 A是对 称矩阵 证明 设对称矩阵 11121 12222 12 n n nnnn aaa aaa A aaa 则经过 1 次高斯校区法后 有 11121 112 2212212 1111 1 11 21212 1111 11121 1212 221221 1111 11 2121 1111 0 0 0 0 n n n nn nnn n nn nn nnnn aaa aa aaaa aa A aa aaaa aa aaa aa aaaa aa aa aaaa aa 所以 1122 T n aaa 1212 221221 1111 2 11 2121 1111 nn nn nnnn aa aaaa aa A aa aaaa aa 所以 A2 为对称矩阵 2 设 A 是对称正定矩阵 经过高斯消去法一步后 A 约化为 ijn Aa 其中 ijn Aa 2 21 ijn Aa 证明 1 A 的对角元素0 1 2 ii ain 2 2 A是对称正定矩阵 1 依次取nix T i i 2 1 0 0 1 0 0 0 则因为 A 是对称正定矩阵 所以有0 Axxa T ii 2 2 A中的元素满足 3 2 11 11 2 nji a aa aa ji ijij 又因为 A 是对称正定 矩阵 满足njiaa jiij 2 1 所以 2 11 11 11 11 2 ji ji ji ji ijij a a aa a a aa aa 即 2 A是对称矩阵 3 设 k L为指标为k的初等下三角矩阵 除第k列对角元以下元素外 k L和单位阵I相同 即 1 1 1 1 1 k kk n k L m m 求证当 i jk 时 kijkij LI L I 也是一个指标为 k 的初等下三角矩阵 其中 ij I为初等置换 矩阵 4 试推导矩阵A的 Crout 分解 A LU 的计算公式 其中 L 为下三角矩阵 U 为单位上三角 矩阵 本题不推导 参见书上例题 P147 页 5 设Uxd 其中U为三角矩阵 1 就 U 为上及下三角矩阵推导一般的求解公式 并写出算法 2 计算解三角方程组Uxd 的乘除法次数 3 设U为非奇异矩阵 试推导求 1 U 的计算公式 本题考查求解公式的一般方法 可从第 n 个元素开始 逐步计算 n 1 1 时对应的求解公式 解法 略 6 证明 1 如果A是对称正定矩阵 则 1 A 也是对称正定矩阵 2 如果A是对称正定矩阵 则A可以唯一地写成 T AL L 其中L是具有正对角元的下 三角矩阵 均是对称正定矩阵的性质 应予以记住 7 用列主元消去法解线性方程组 123 123 123 123315 18315 6 xxx xxx xxx 并求出系数矩阵 A 的行列式的值 1233 1831 111 A 123315 183115 1116 A b 使用列主元消去法 有 123315 183115 1116 A b 183115 123315 1116 183115 7 015 3 71731 0 6186 183115 71731 0 6186 7 015 3 183115 71731 0 6186 6666 00 217 A 的行列式为 66 方程组的解为 X1 1 x2 2 x3 3 8 用直接三角分解 Doolittle 分解 求线性方程组的解 123 123 123 111 9 456 111 8 345 1 28 2 xxx xxx xxx 本题考查 LU 分解 解 111 456 111 345 1 12 2 A 100 1 10 3 1 11 2 L 111 456 1113 0 6090 957 00 540 U 9 用追赶法解三对角方程组bAx 其中 21000 12100 01210 00121 00012 A 0 0 0 0 1 b 解 追赶法实际为 LU 分解的特殊形式 设 U 为 单位上三角矩阵 有 1 计算 i 的递推公式 111 1 20 5cb 22221 1 2 1 0 5 2 3cba 33332 1 2 1 2 3 3 4cba 44443 1 2 1 3 4 4 5cba 2 解 Ly f 111 1 2yfb 2221221 0 1 1 2 2 1 0 5 1 3yfa yba 3332332 0 1 1 3 2 1 2 3 1 4yfa yba 4443443 0 1 1 4 2 1 3 4 1 5yfa yba 5554554 0 1 1 5 2 1 4 5 1 6yfa yba 3 解 UX y 55 1 6xy 4445 1 5 4 5 1 61 3xyx 3334 1 4 3 4 1 31 2xyx 2223 1 3 2 3 1 22 3xyx 1112 2 1 2 2 35 6xyx 10 用改进的平方根法解方程组 6 5 4 131 321 112 3 2 1 x x x 本题明确要求使用平方根法进行求解 实际考查的 LDU 分解 见 P157 9 23 9 7 9 10 321 xxx 11 下列矩阵能否分解为LU 其中 L 为单位下三角阵 U 为上三角阵 若能分解 那么 分解是否唯一 764 142 321 A 133 122 111 B 46156 1552 621 C LU 分解存在的条件 一个可逆矩阵可以进行 LU 分解当且仅当它的所有子式都非零 如果要求其中的 L 矩阵 或 U 矩阵 为单位三角矩阵 那么分解是唯一的 同理可知 矩阵的 LDU 可分解条件也相同 并且总是唯一的 即使矩阵不可逆 LU 仍然可能存在 实际上 如果一个秩为 k 的矩阵的前 k 个顺序主子式 不为零 那么它就可以进行 LU 分解 但反之则不然 解 因为 A 的一 二 三阶顺序主子式分别为 1 0 10 所以 A 不能直接分解为三 角阵的乘积 但换行后可以 因为 B 的一 二 三阶顺序主子式分别为 1 0 0 所以 B 不能分解为三角阵的 乘积 因为 C 的一 二 三阶顺序主子式分别为 1 5 1 所以 C 能够分解为三角阵的 乘积 并且分解是唯一的 12 设 3 01 0 5 06 0 A 计算 A 的行范数 列范数 2 范数及 F 范数 本题考查的是矩阵范数的定义及求法 行范数 0 6 0 5 1 1 列范数 0 5 0 3 0 8 2 范数的计算需要用到特征值 特征值的计算可以使用幂法进行计算 也可以直接求 T A A的最大特征值为 0 3690 所以 2 范数为 0 6074 F 范数 0 8426 13 求证 a xnxx 1 b FF AAA n 2 1 根据定义求证 xnxnxxxx i ni n i ii ni1 1 1 1 maxmax 2 2 1 11 n ij F i j Aa nn 2 max 2 T AA A 14 设 nn RP 且非奇异 又设x为 n R上一向量范数 定义Pxx p 试证明 p x是 n R上向量的一种范数 根据向量范数的定义来证明 要求就有正定性 齐次性 三角不等式等性质 显然0 Pxx p pp xcPxcPcxcx ppp xxPxPxPxPxxxPxx 2121212121 从而 p x是 n R 上向量的一种范数 15 设 nn RA 为对称正定 定义 2 1 xAxx A 试证明 A x是 n R上向量的一种范数 根据向量范数的定义来证明 要求就有正定性 齐次性 三角不等式等性质 显然 1 2 0 T A xAx xx Ax 11 2 22 c T AA cxAcxxcx Axc Ax xc x 1 2 1212121212 112212 T A TT AA xxA xxxxxxA xx x AxxAxxx 16 设 A 为非奇异矩阵 求证 1 0 1 min y Ay yA 因为 y AyAy y xAA xA x xA A y xAyxx 0 0 1 1 0 1 0 1 min 1 maxmaxmax 1 所以得证 1 0 1 min y Ay yA 17 矩阵第一行乘以一数 成为 2 1 1 A 证明当 2 3 时 cond A 有最小值 本题考查条件数的计算 1 cond AAA 首先计算 A 的逆阵 1 1 1 1 2 A 2 3 2 3 3 2 A 当 2 3 取得最小值为 2 1 1 2 A 当 取值越大 则最小值为 2 从而 1 1 2 max 3 2cond AAA 又当 3 2 时 72 2 2 3 2 3max 2 1 Acond 当 3 2 时 7633 2 1 2 3max 2 1 Acond 综上所述 7 Acond时最小 这时 3 2 即 3 2 18 设 9899 99100 A 计算 A 的条件数 2 vAcond v 由 9899 99100 A可知 10099 9998 1 A 从而 1980119602 1960219405 10099 9998 10099 9998 11 AA T 由0139206 1980119602 1960219405 211 AAI T 1940519602 1960219801 9899 99100 9899 99100 AAT 由0139206 1940519602 1960219801 2 AAI T 可得38427760819603 2 1 2 AA 从而 3920638427760819603 2 2 1 2 AAAcond 199 1 A 199 A 从而39601199199 1 AAAcond 19 证明 如果A是正交矩阵 则 2 A 1cond 若 A 是 正 交 阵 则 T AA 1 从 而IAAT IAAAA T 111 故 1 2 1 2 AA 1 2 2 1 2 AAAcond 20 设 n n A BR 且 为 n n R 上矩阵的算子范数 证明 cond ABcond A cond B 11 11111 BcondAcondBBAA BAABABABABABABcond 21 设Axb 其中A为非奇异矩阵 证明 1 T A A为对称正定矩阵 2 2 2 T cond A Acond A 2 0 TT x A A xAxAxb 所以 T A A为对称正定矩阵 2 2 max min T T A A cond A AA 由于 T A A为对称正定矩阵 所以 TT A AAA 则 1 2 22 2 2 2 2 max min max min max min max min max min TTT TTT TTT TTT TTT TT TT T T T T cond A AA AA A A AA A A A A A AAA A AAA A A AA A AA AA A A AA A A AA cond A

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