河南省郸城县光明中学八年级数学下册 20.5 等腰梯形的判定A卷 华东师大版.doc

20.5 等腰梯形的判定a卷一、选择题 1下列结论中，正确的是（ ） a等腰梯形的两个底角相等 b两个底角相等的梯形是等腰梯形 c一组对边平行的四边形是梯形 d两条腰相等的梯形是等腰梯形 3课外活动课上，老师让同学们制作了一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm，则两条对角线所用的竹条长度之和至少为（ ） a30cm b30cm c60cm d60cm 二、填空题 4等腰梯形上底，下底和腰分别为4，10，5，则梯形的高为_，对角线为_ 5一个等腰梯形的上底长为5cm，下底长为12cm，一个底角为60，则它的腰长为_cm，周长为_cm 6在四边形abcd中，adbc，但adbc，若使它成为等腰梯形，则需要添加的条件是_（填一个正确的条件即可） 三、解答题7如图所示，ad是bac的平分线，deab，de=ac，adec 四、思考题8如图所示，四边形abcd中，有ab=dc，b=c，且adbc，四边形abcd是等腰梯形吗？为什么？参考答案2b 点拨：因为abcdcb，badcda，aobdoc，所以共有3对全等的三角形3c 点拨：设该等腰梯形对角线长为lcm，因为两条对角线互相垂直，所以梯形面积为l2=450，解得l=30，所以所用竹条长度之和至少为2l=230=60（cm）二、44： 点拨：如图所示，连结bd，过a，d分别作aebc，dfbc，垂足分别为e，f易知baecdf，在四边形aefd为矩形，所以be=cf=3，ad=ef=4在rtcdf中，fc2+df2=cd2，即32+df2=52，所以df=4，在rtbfd中，bf2+df2=bd2，即72+42=bd2，所以bd=57；31 点拨：如图所示，过点d作deab交bc于e因为adbc，abde，所以四边形abed是平行四边形所以be=ad=5（cm），ab=de又因为ab=cd，所以de=dc，又因为c=60，所以dec是等边三角形，所以de=dc=ec=7（cm），所以周长为5+12+7+7=31（cm） 6ab=cd（或a=d，或b=c，或ac=bd，或a+c=180，或b+d=180）三、7证明：因为abed，所以bad=ade又因为ad是bac的平分线，所以bad=cad，所以cad=ade，所以oa=od又因为ac=de，所以ac-oa=de-od即oc=oe，所以oce=oec，又因为aod=coe，所以cad=oce所以adce，而adce，故四边形adce是梯形又因为cad=ade，ad=da，ac=de，所以dacade，所以dc=ae，所以四边形adce是等腰梯形 点拨：证明一个四边形是等腰梯形时，应先证其是梯形而后再证两腰相等或同一底上的两个角相等四、8解：四边形abcd是等腰梯形理由：延长ba，cd，相交于点e，如图所示，由b=c，可得eb=ec又ab=dc，所以eb-ab=ec-dc，即ae=de，所以ead=eda因为e+ead+eda=180，e+b+c=180，所以ead=b故adbc又adbc，所以四边形abcd是梯形又ab=dc，所以四边形abcd是等腰梯形 点拨：由题意可知，只要推出adbc，再由adbc就可知四边形abcd为梯形，再由ab=dc，即可求得此四边形是等腰梯形，由b=c联想到延长ba，cd，即可得到等腰三角形，从而使adbc20.5 等腰梯形的判定b卷 一、七彩题1（一题多解题）如图所示，等腰梯形abcd中，adbc，ab=cd=12cm，上底ad=15cm，bad=120，求下底bc的长 二、知识交叉题2（科内交叉题）如图所示，在矩形abcd中，ac，bd相交于点o，e，f分别是oa，od的中点，且efad，试判断四边形ebcf的形状，并说明你的理由 三、实际应用题3如图所示，小军将两根长度相等的木条ac，bd交叉摆放，并使木条ac，bd分别与水平线所成的夹角1，2相等，然后在交点o处钉一个钉子固定，oaad，将纸片沿过点d的直线折叠，使点a落在边cd上的点e，折痕为df，连结ef并展开纸片 （1）求证：四边形adef是正方形；（2）取线段af的中点g，连结eg，结果bg=cd，试说明四边形gbce是等腰梯形 五、探究学习篇1（翻折变换题）如图20-5-8所示，等腰梯形abcd中，adbc，dbc=45，翻折梯形abcd，使点b重合于点d，折痕分别交边ab，bc于点f，e，若ad=2，bc=8，求be的长2如图所示，在等腰梯形abcd中，adbc，m，n分别为ad，bc的中点，e，f分别是bm，cm的中点 （1）试说明abmdcm； （2）四边形menf是什么图形？请说明理由（3）若四边形menf是正方形，则梯形的高与底边bc的长有何数量关系？请说明理由 3阅读：下面是某同学解一道有关等腰梯形的问题的过程已知：在四边形abcd中，ab=dc，ac=bd，adbc试说明四边形abcd是等腰梯形 解：过点d作deab，交bc于点e，如图20-5-10所示则abe=1 因为ab=dc，ac=db，bc=cb ，所以abcdcb，所以abc=dcb ，所以1=dcb ，所以ab=dc=de ，所以四边形abcd是平行四边形 ，所以adbc 又因为adbc，所以四边形abcd是梯形 因为ab=cd，所以四边形abcd是等腰梯形 阅读填空： （1）说明过程是否有错误？错在第几步？答：_ （2）有人认为第步是多余的，你认为呢？为什么？ 答：_（3）若题目中没有adbc，那么四边形abcd一定是等腰梯形吗？为什么？答：_参考答案一、1解法一：如图1所示，过a，d分别作aebc，dfbc，垂足分别为e，f，在梯形abcd中，因为adbc，所以b+bad=180，因为bad=120，所以b=60在rtabe中，bae=90-b=30，所以be=ab=6cm因为梯形abcd是等腰梯形，所以c=b=60，所以cf=cd=6cm因为四边形aefd是矩形，所以ef=ad=15cm，所以bc=be+ef+cf=27cm 图1 图2 图3解法二：如图2所示，过a作aecd交bc于e点，因为adbc，所以四边形aecd是平行四边形所以ec=ad=15cm，ae=ce又因为adbc，所以b+bad=180，因为bad=120，所以b=60，因为ab=cd，所以ab=ae，所以abe是等边三角形，所以be=ab=12cm，所以bc=be+ec=15+12=27（cm）解法三：如图3所示，延长ba和cd交于点p，在梯形abcd中，ab=cd，所以b=c，因为adbc，所以pad=b，pda=c，bad+b=180因为bad=120，所以b=pad=c=pda=60，所以pad和pbc都是等边三角形所以pa=ad=15cm，pb=pa+ab=12+15=27（cm），所以bc=pb=27cm 点拨：以上三种辅助线的方法在梯形中运用相当广泛，通过它们把梯形的问题转化为平行四边形，三角形等的问题来解决，体现了“转化”的数学思想二、2解：四边形ebcf是等腰梯形理由如下：因为四边形abcd是矩形，所以ac=bd，ad=bc又因为ao=oc，ob=od，所以oa=od=oc=ob又因为e，f分别是oa，od的中点，所以oe=of，所以oef=ofe因为ob=oc，所以obc=ocb又因为eof=boc，所以oef+ofe=obc+ocb，即2ofe=2obc，所以ofe=obc，所以efbc因为efad，所以efbc所以四边形ebcf是梯形因为oe=of，ob=oc，eob=foc，所以oebofc，所以be=cf，所以四边形ebcf是等腰梯形 点拨：本题是等腰梯形的判定与矩形的性质的知识交叉题要说明一个四边形为等腰梯形，需先说明这个四边形为梯形（这一条很容易被忽略），再说明这个梯形为等腰梯形三、3解：小军得到的四边形abcd是等腰梯形，理由如下：如图所示，延长da，cb交于点e，因为ac=bd，1=2，cd=dc所以adcbcd（sas），所以ad=bc，adc=bcd所以ed=ec，所以ed-ad=ec-bc，即ea=eb所以3=4，因为3+4+e=180，adc+bcd+e=180，所以3=，adc=，所以3=adc所以abcd，又因为oaoc，故四边形abcd必不为平行四边形，所以四边形abcd是等腰梯形 点拨：要想使四边形abcd是等腰梯形，关键是求得abdc和ad=bc，可通过同位角相等和三角形全等分别求出四、4证明：如图所示，（1）因为a=90，abdc，所以ade=90由沿df折叠后daf与def重合，知ad=de，def=90 所以四边形adef是矩形，且邻边ad，de相等所以四边形adef是正方形（2）因为cebg，且cebg，所以四边形gbce是梯形，因为四边形adef是正方形，所以ad=fe，a=gfe=90，又点g为af的中点，所以ag=fg，连结dg在agd与fge中，因为ad=fe，a=gfe，ag=fg，所以agdfge，所以dga=egb因为bg=cd，bgcd，所以四边形bcdg是平行四边形所以dgcd所以dga=b所以egb=b所以四边形gbce是等腰梯形 五、探究学习1解：因为bfe与dfe关于ef对称，所以bfedfe所以be=de又因为dbc=45，所以ebd=edb=45，所以bed=90过a作ahbc于h，如图所示因为adbc，所以bed=ade=90又因为ahe=90，所以四边形adeh是矩形所以ad=he，ah=de在rtabh和rtdce中，因为ab=dc，ah=de，所以rtabhrtdce，所以bh=ec所以ec=（bc-ad）=（8-2）=3，所以be=bc-ec=8-3=5 点拨：要求be的长，因为bc已知，只需求ec的长，由已知条件可得dec=90，故联系梯形常作辅助线，易求ec的长2解：（1）因为四边形abcd为等腰梯形，所以ab=cd，a=d因为m是ad的中点，所以am=dm，所以abmdcm（2）四边形menf是菱形理由：由abmdcm，得mb=mc连结mn，因为n是bc的中点，所以mnbc，而e，f分别是mb，mc的中点，所以me=mb，mf=mc，ne=mb，nf=mc（直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半），所以me=mf=nf=ne，所以四边形menf是菱