浙江省高三数学联考试题 文（含解析）.doc

2015年浙江省新阵地教育研究联盟联考高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2015浙江模拟）设集合a=x|2x3，b=x|x+10，则集合ab等于（） a x|2x1 b x|2x1 c x|1x3 d x|1x3【考点】： 交集及其运算【专题】： 集合【分析】： 先求出集合b，再由交集的运算求出ab【解析】： 解：由题意得，b=x|x+10=x|x1，又集合a=x|2x3，则ab=x|1x3，故选：c【点评】： 本题考查交集及其运算，属于基础题2（5分）（2015浙江模拟）下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间（0，+）上单调递增的是（） a y= b y=x2+1 c y=2x d y=lg|x+1|【考点】： 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；函数的图象【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 根据题意，结合常见的基本初等函数的图象与性质，对选项中的函数进行判断即可【解析】： 解：对于a，函数y=的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，不满足题意；对于b，函数y=x2+1的图象是轴对称图形，在区间（0，+）上是单调减函数，不满足题意；对于c，函数y=2x的图象不是轴对称图形，不满足题意；对于d，函数y=lg|x+1|的图象是关于直线x=1对称的图形，且在区间（0，+）上是单调增函数，满足题意故选：d【点评】： 本题考查了基本初等函数的图象与性质的应用问题，是基础题目3（5分）（2015浙江模拟）如图，三棱锥vabc的底面是以b为直角顶点的等腰直角三角形，侧面vac与底面abc垂直，已知其正视图的面积为2，则其侧视图的面积是（） a b c 2 d 3【考点】： 简单空间图形的三视图【专题】： 计算题；空间位置关系与距离【分析】： 由题意，作vdac，垂足为d，则vac是正视图，利用正视图的面积为2，求出acvd=4，利用三棱锥vabc的底面是以b为直角顶点的等腰直角三角形，可得其侧视图的面积【解析】： 解：由题意，作vdac，垂足为d，则vac是正视图正视图的面积为2，acvd=2，acvd=4，作beac，垂足为e，三棱锥vabc的底面是以b为直角顶点的等腰直角三角形，be=ac，侧视图的面积是s侧=acvd=，故选：b【点评】： 本题考查侧视图的面积，考查学生的计算能力，比较基础4（5分）（2015浙江模拟）若m，n为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，下列命题正确的是（） a 若m，n，则mn b 若m，n，且，则mn c 若，m，则m d 若，mn，且m，则n【考点】： 平面与平面之间的位置关系【专题】： 综合题；空间位置关系与距离【分析】： 对四个选项分别进行判断，即可得出结论【解析】： 解：对于a，若m，n，则mn或m，n相交、异面，故不正确；对于b，m，n，且，则m，n，mn，故正确；对于c，m，则m或m，故不正确；对于d，mn，且m，则n与平行、相交，在平面内都有可能，故不正确故选：b【点评】： 本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系和平面与平面之间的位置关系，属于基础题5（5分）（2015浙江模拟）设数列an满足a1=a2=1，a3=2，且对任意正整数n，都有anan+1an+21，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，则a1+a2+a100的值为（） a 200 b 180 c 160 d 100【考点】： 数列的求和【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 数列an满足a1=a2=1，a3=2，且对任意正整数n，都有anan+1an+21，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，令n=1，可得2a4=4+a4，解得a4=4；同理可得a5=a6=1，a7=2，a8=4可得数列an是周期为4的数列，即可得出【解析】： 解：数列an满足a1=a2=1，a3=2，且对任意正整数n，都有anan+1an+21，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，令n=1，可得2a4=4+a4，解得a4=4，同理可得a5=a6=1，a7=2，a8=4数列an是周期为4的数列，a1+a2+a100=25（a1+a2+a3+a4）=25（1+1+2+4）=200故选：a【点评】： 本题考查了数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6（5分）（2015浙江模拟）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，其中r为实数集，q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：f（f（x）=0；函数f（x）是偶函数；任取一个不为零的有理数t，f（x+t）=f（x）对任意的xr恒成立；存在三个点a（x1，f（x1），b（x2，f（x2），c（x3，f（x3），使得abc为等边三角形其中真命题的个数是（） a 1 b 2 c 3 d 4【考点】： 分段函数的应用【专题】： 综合题；函数的性质及应用【分析】： 根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x）=1；根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；取x1=，x2=0，x3=，可得a（，0），b（0，1），c（，0），三点恰好构成等边三角形【解析】： 解：当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0当x为有理数时，ff（x）=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x）=f（0）=1即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x）=1，故不正确；接下来判断三个命题的真假有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，对任意xr，都有f（x）=f（x），故正确； 若x是有理数，则x+t也是有理数； 若x是无理数，则x+t也是无理数根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数t，f（x+t）=f（x）对xr恒成立，故正确； 取x1=，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0a（，0），b（0，1），c（，0），恰好abc为等边三角形，故正确故选：c【点评】： 本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题7（5分）（2015浙江模拟）如图，在omn中，a，b分别是om，on的中点，若=x+y（x，yr），且点p落在四边形abnm内（含边界），则的取值范围是（） a ， b ， c ， d ，【考点】： 平面向量的基本定理及其意义【专题】： 平面向量及应用【分析】： 若p在线段ab上，设=，则有=，由于=x+y，则有x+y=1，由于在omn中，a，b分别是om，on的中点，p落在线段mn上，则x+y=2即可得到取值范围【解析】： 解：若p在线段ab上，设=，则有=，由于=x+y（x，yr），则x=，y=，故有x+y=1，若p在线段mn上，设=，则有=，由于在omn中，a，b分别是om，on的中点，则=x+y=x+y（x，yr），则x=，y=，故有x+y=2，若p在阴影部分内（含边界），则故选：c【点评】： 本题考查三角形法则，是一个基础题，向量是数形结合的最好的工具，在解题时注意发挥向量的优点8（5分）（2015浙江模拟）在正方体abcda1b1c1d1中，动点p在底面abcd内，且p到棱ad的距离与到面对角线bc1的距离相等，则点p的轨迹是（） a 线段 b 椭圆的一部分 c 双曲线的一部分 d 抛物线的一部分【考点】： 棱柱的结构特征【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 作pmad、pebc、efbc1，连接pf，由线面垂直的判定定理、定义可得：pf是p到bc1的距离，以d为原点，ad所在直线为x轴，dc所在直线为y轴建立直角坐标系，利用条件建立方程，化简后判断出点p的轨迹【解析】： 解：假设正方体边长为1，作pmad、pebc、efbc1，连接pf，因为pecc1，bccc1=c，所以pe平面bcb1c1，则pebc1，又efbc1，peef=e，所以bc1平面pef，则bc1pf，所以pf是p到对角线bc1的距离，以d为原点，ad所在直线为x轴，dc所在直线为y轴建立直角坐标系；设任意一点p（x，y），到直线ad距离为|y|，到bc的距离pe=1y，在rtbef中，be=1x，ef=，在rtpef中，pf=，因为p到棱ad的距离与到对角线bc1的距离相等，所以|y|=，化简得，（x1）2=4y+2（y），所以点p的轨迹是抛物线的一部分，故选：d【点评】： 本题考查轨迹方程以及轨迹，线面垂直的判定定理、定义，考查学生分析解决问题的能力，确定轨迹方程是关键二、填空题：本题共7小题，第9-12题每空格3分，第13-15题每空格4分，共36分.将答案直接答在答题卷上指定的位置9（6分）（2015浙江模拟）向量=（1，1），=（2，2），若，则=0；若+）（），则=3【考点】： 数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的运算【专题】： 平面向量及应用【分析】： 根据向量平行与垂直的坐标运算，列出方程，求出的值即可【解析】： 解：当时，2（1）1（2）=0，解得=0；当+）（）时，+=（23，3），=（1，1），（23）+3（1）=0，解得=3故答案为：0，3【点评】： 本题考查了平面向量的坐标运算以及平面向量的平行与垂直的应用问题，是基础题目10（6分）（2015浙江模拟）已知点p（cos，sin）在直线 y=3x上，则tan（）=2；=【考点】： 同角三角函数基本关系的运用；任意角的三角函数的定义；两角和与差的正切函数【专题】： 三角函数的求值【分析】： 把p坐标代入y=3x，利用同角三角函数间的基本关系求出tan的值，原式利用两角和与差的正切函数公式化简，把tan的值代入计算即可求出值；原式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，把tan的值代入计算即可求出值【解析】： 解：点p（cos，sin）在直线y=3x上，sin=3cos，即tan=3，则tan（）=2；=故答案为：2；【点评】： 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，任意角的三角函数定义，以及两角的和与差的正切函数公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键11（6分）（2015浙江模拟）函数f（x）=min，|x2|，其中mina，b=，则f（x）的最小值为0；若直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围是（0，1）【考点】： 函数的最值及其几何意义【专题】： 综合题；函数的性质及应用【分析】： 令g（x）=，h（x）=|x2|，则f（x）的图象是由g（x）与h（x）图象中位置较低的部分组成，通过图象观察：直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点时的m的情况即可【解析】： 解：令g（x）=，h（x）=|x2|，则f（x）的图象是由g（x）与h（x）图象中位置较低的部分组成，f（x）的最小值为0若直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，则0mya，由=2x，解得xa=1，ya=1，m（0，1）故答案为：0，（0，1）【点评】： 本题考查分段函数的图象及应用，考查数形结合的思想方法，属于中档题12（6分）（2015浙江模拟）已知点e是双曲线=1（a0，b0）的左顶点，点f是该双曲线的右焦点，过点f且垂直于x轴的直线与双曲线交于a，b两点，若abe是直角三角形，则该双曲线的离心率是2，渐近线的方程为y=x【考点】： 双曲线的简单性质【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 利用双曲线的对称性及直角三角形，可得aef=45，从而|af|=|ef|，求出|af|，|ef|，得到关于a，b，c的等式，即可求出离心率的值和渐近线方程【解析】： 解：abe是直角三角形，aeb为直角，双曲线关于x轴对称，且直线ab垂直x轴，aef=bef=45，|af|=|ef|，f为右焦点，设其坐标为（c，0），令x=c，则=1，则有y=，|af|=，|ef|=a+c，=a+cc2ac2a2=0e2e2=0，e1，e=2，由c=2a，则b=a，则双曲线的渐近线方程为y=x，即有y=x故答案为：2，y=x【点评】： 本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：c2=a2+b2、考查双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题13（4分）（2015浙江模拟）已知p：1，q：x22x+1m20（m0），若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（0，2【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 简易逻辑【分析】： 利用不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论【解析】： 解：由1得得1x4，由x22x+1m20（m0），得x（1m）x（1+m）0，1+mx1m，m0若p是q的必要不充分条件，则，即，解得0m2，故答案为：（0，2【点评】： 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式的解法求出不等式的解是解决本题的关键，比较基础14（4分）（2015浙江模拟）已知实数a，b，c成等差数列，点p（3，0）在动直线ax+by+c=0（a，b不同时为零）上的射影点为m，若点n的坐标为（2，3），则线段mn长度的最大值是【考点】： 直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】： 直线与圆【分析】： 实数a，b，c成等差数列，可得2b=a+c，于是动直线l：ax+by+c=0（a，b不同时为零）化为：，即a（2x+y）+c（y+2）=0，利用直线系可得：动直线l过定点：q（1，2）因此点m在以pq为直径的圆上，利用中点坐标公式可得：圆心为线段pq的中点：c（1，1），半径r则线段mn长度的最大值=|cn|+r【解析】： 解：实数a，b，c成等差数列，2b=a+c，动直线l：ax+by+c=0（a，b不同时为零）化为：，变形为a（2x+y）+c（y+2）=0，令，解得动直线l过定点：q（1，2）点m在以pq为直径的圆上，圆心为线段pq的中点：c（1，1），半径r=线段mn长度的最大值=|cn|+r=+=5+故答案为：【点评】： 本题综合考查了直线系、等差数列的性质、圆的性质、点与圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题15（4分）（2015浙江模拟）已知函数f（x）=x2+1，若存在xr，使得不等式f2（x）+xf（x）+xaf（x）f（x）+x0成立，则实数a的取值范围为，+）【考点】： 函数恒成立问题【专题】： 导数的综合应用【分析】： 把f（x）=x2+1，代入化简，分离参数得a+，构造函数g（x）=+，求出函数g（x）的最小值即可【解析】： 解：f（x）=x2+1，f2（x）+xf（x）+xaf（x）f（x）+x0成立，（x2+1）2+x（x2+1+x）a（x2+1）（x2+1+x）0，x2+10，x2+1+x0，a+在xr，恒成立设g（x）=+，则g（x）=+=（x21）（）=（x21）（+）（）=x（x21）（+）（），令g（x）=0，解得x=0，x=1，x=1，当g（x）0，解得x1，或0x1，函数递增，当g（x）0，解得x1，或1x0，函数递减，所以当x=0时函数有极小值，又g（x）=0的解为只有一个x=0x=0是函数的最小值g（0）=1a1，故答案为1，+）【点评】： 本题考查了函数恒成立的问题，方法是分离参数，利用导数求出函数的最大值，培养了学生的运算能力和转化能力，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（15分）（2015浙江模拟）在abc中，角a，b，c所对的边是a，b，c，且a2=b2+c2bc（）求角a的大小；（）若a=，s为abc的面积，求s+cosbcosc的最大值【考点】： 正弦定理；余弦定理【专题】： 计算题；解三角形【分析】： （i）由余弦定理得，根据a的范围即可求值（ii）由已知及正弦定理得b=2sinb，c=2sinc，可求则=cos（bc），由余弦函数的性质即可得解【解析】： 解：（i）因为a2=b2+c2bc，由余弦定理得又因为0a，所以 （ii）由，及正弦定理，得b=2sinb，c=2sinc，则=sinbsinc+cosbcosc=cos（bc），当时，cos（bc）的最大值为1，即的最大值为1【点评】： 本题主要考查了正弦定理、余弦定理、两角差的余弦公式的应用，考查了余弦函数的图象和性质，属于中档题17（15分）（2015浙江模拟）已知数列an是公差不为零的等差数列，a1=1，且a2，a4，a8成等比数列（）求数列an的通项公式；（）设数列bn满足：a1b1+a2b2+a3b3+anbn=2n+1，nn*，令cn=，nn*，求数列cncn+1的前n项和sn【考点】： 数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的性质【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （i）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（ii）利用递推式可得（n2），再利用“裂项求和”即可得出【解析】： 解：（i）设等差数列an的公差为d，a1=1，且a2，a4，a8成等比数列，即，解得d=0（舍）或d=1，数列an的通项公式为an=a1+（n1）d=n，即an=n （ii）由，（n2），两式相减得，即（n2），则，【点评】： 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（15分）（2015浙江模拟）如图，在直角梯形abcd中，adbc，abc=90，bcd=45，e为ad上的点，efbc，垂足为f，沿ef将矩形abfe折起，使二面角aefc的大小为60，连结ad，ac，bc（）若m为fc的中点，求证：ac平面bem；（）求直线cd与平面abfe所成角的正弦值【考点】： 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定【专题】： 空间位置关系与距离；空间角【分析】： （）连结af交be于n，连结mn，由已知得mnac，由此能证明ac平面bem（）过e作egdc交fc于g，则直线cd与平面abfe所成角就是eg与平面abfe所成角，由此能求出直线cd与平面abfe所成角的正弦值【解析】： （）证明：连结af交be于n，连结mn，则n是af的中点，又因为m为fc的中点，则mnac，因为mn平面bem，ac平面bem，所以ac平面bem（）解：过e作egdc交fc于g，则直线cd与平面abfe所成角就是eg与平面abfe所成角，过g作ghbf于h，连结eh，因为efbf，efcf，bfcf=f，所以，bfc=60，ef平面bfc，又gh平面bfc，所以efgh，则gh平面aefb，故geh就是eg与平面abfe所成角，在直角efg中，在直角hfg中，即，在直角egh中，即直线cd与平面abfe所成角的正弦值为【点评】： 本题考查直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的性质定理、勾股定理、二面角的求解等基础知识和空间向量的立体几何中的应用，意在考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和考生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力19（15分）（2015浙江模拟）已知ar，设函数f（x）=x|xa|x（） 若a=1时，求函数f（x）的单调区间；（） 若a1，对于任意的x0，t，不等式1f（x）6恒成立，求实数t的最大值及此时a的值【考点】： 函数恒成立问题；函数的单调性及单调区间【专题】： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】： （）把a=1代入函数解析式，然后分x1和x1写出分段函数，结合二次函数的解析式求得函数f（x）的单调区间；（）分xa和xa写出分段函数，然后对a1，1a0，0a1分类求出函数f（x）的最小值和最大值，由1f（x）6求得t的最大值及a的值【解析】： 解：（）当a=1时，函数f（x）的单调递增区间为（，0），（1，+），单调递减区间为（0，1）；（）当a1时，f（x）在0，t单调递增，f（x）min=f（0）=0，由题意得f（x）max6，即t2（a+1）t6，解得，令m=（a+1）0，在0，+）单调递减，即当a=1时，当1a0时，f（x）在单调递减，在单调递增，满足f（x）min1，由题意得f（x）max6，即t2（a+1）t6，解得，令m=a+10，在（0，1单调递增，h（m）max=h（1）=3，即当a=0时，tmax=3当0a1时，f（x）在单调递减，在单调递增，满足f（x）min1，由题意得f（x）max6，即t2（a+1）t6，解得，同得在（1，2单调递增，即当a=1时，综上所述，此时a=1【点评】： 此题是难题，考查函数的单调性及其应用，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域，考查了分类讨论的数学思想方法，特别是问题（2）的求解，增加了题目的难度，综合性强20（14分）（2015浙江模拟）已知中心在原点的椭圆1和抛物线2有相同的焦点（1，0），椭圆1的离心率为，抛物线2的顶点为原点（） 求椭圆1和抛物线2的方程；（） 设点p为抛物线2准线上的任意一点，过点p作抛物线2的两条切线pa，pb，其中a，b为切点（）设直线pa，pb的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；（）若直线ab交椭圆1于c，d两点，spab，spcd分别是pab，pcd的面积，试问：是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】： （i）设椭圆1和抛物线2的方程分别为（p0）由题意得，解出即可得出（ii）（）设p（1，t），过点p