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第四章 收益率的衡量 1 收益率 债券收益率反映的是债券收益与其初始投资之间的关系 常见的债券收益率有以下几种形式 到期收益率当期收益率持有期回报率赎回收益率 2 到期收益率 YieldToMaturity YTM 其中 P是债券当前的市场价格 C是利息 F是债券面值 N为距到期日的年数 YTM是每年的到期收益率 3 例子 有一种10年后到期的债券 每年付息一次 下一次付息正好在一年后 面值为100元 票面利率为8 市场价格是107 02元 求它的到期收益率 YTM 7 4 零息债券的到期收益率 P F 1 YTM N其中 P是零息债券的市场价格 F是到期价值 N为距到期日的年数 YTM为每年的到期收益率 5 例子 假设欧洲国债市场中有A B C三种债券 面值都是1000元 A是1年期零息债券 目前的市场价格为934 58元 B为2年期的零息债券 目前的市场价格为857 34元 C为2年期附息债券 票面利率为5 一年付息一次 下一次付息在一年后 目前的市场价格为946 93元 请分别计算这三种债券的到期收益率 6 分别列出三种债券到期收益率的求解公式 A债券的到期收益率为7 B债券的到期收益率为8 C债券的到期收益率为7 97 7 半年支付一次利息的债券到期收益率 根据债券市场的习惯做法 首先计算债券每期 半年 到期收益率 然后将半年收益率乘以2 就得出该债券年到期收益率 P是债券当前的市场价格 C是每次支付的利息 F是债券面值 N为距到期日的期数 年数 2 YTM是每期的到期收益率 8 例子 某债券面值为100元 还有8年到期 票面利率为7 半年支付一次利息 下一次利息支付正好在半年后 该债券当前价格为94 17元 求该债券的年到期收益率 求出该债券的半年到期收益率为4 因此 该债券的年到期收益率则为4 2 8 9 在两个利息支付日之间购买的债券的到期收益率 P是债券的市场价格 C是支付的利息 F是债券的面值 M是距到期日的年数 YTM是每期到期收益率 n 清算日距下一次利息支付日之间的天数 利息支付期的天数 10 关于到期收益率的两点说明 即使持有债券到期 到期收益率也不是准确衡量回报率的指标一个债券的到期收益率高于另一个债券的到期收益率并不意味着前者好于后者 11 P 1 YTM N C 1 YTM N 1 C 1 YTM N 2 F 12 例子 收益率比较 13 当期收益率 当期收益率 C PC 年利息额P 债券的当前价格 14 到期收益率和当期收益率的区别 1 到期收益率 市场用YTM确定债券价格 反映了利息收入和资本利得 损失 2 当期收益率 仅仅衡量了利息收益率 15 开发银行付息债券的收益率 发行者国家开发银行面值100票面利率8 期限10年 市场价格107 02求这种债券的到期收益率和当期收益率 16 计算结果 17 票面利率 贴现率和价格之间的关系 票面利率贴现率价格 面值 18 赎回收益率 P是债券的市场价格 C是利息 F 是赎回价格 YTC是每期的赎回收益率 N 是直到赎回日前的期数 19 例子 某债券10年后到期 半年付息一次 下一次付息在半年后 它的面值为1000元 票面利率为7 市场价格是950元 假设在第五年时该债券可赎回 赎回价格为980元 求解赎回收益率 可以求出半年的赎回收益率为3 95 因此 该债券的年赎回收益率则为2 3 95 7 90 20 债券组合的收益率 债券组合的收益率不是构成该组合的单个债券到期收益率的加权平均值 计算债券组合到期收益率的正确方法是 将债券组合看作是一个单一的债券 使该债券组合所有现金流的现值等于该债券组合的市场价值的适当贴现率就是该债券组合的到期收益率 也被称为债券组合的内部回报率 21 每期收益率和年实际收益率 effectiveannualrate 简称EAR EAR 1 每期收益率 1年中期数 1例 A债券的月度收益率为1 B债券的半年收益率为6 求这两种债券的年实际收益率 22 解 由于A债券的收益率是月度收益率 即每期收益率为1 1年共有12个月 所以 A债券的年实际收益率则为 EAR 1 1 12 1 12 68 由于B债券的收益率是半年收益率 即每期收益率为6 1年共有2个半年 所以 B债券的年实际收益率则为 EAR 1 6 2 1 12 36 23 年度百分数利率和年实际利率 年度百分数利率 annualpercentagerate 简称APR 表示债券的收益率 也被简称为年利率年利率 每年付息频率 每期收益率例 A债券的年利率为12 半年支付一次利息 B债券的年利率为10 每季度支付一次利息 求这两种债券的年实际收益率 24 解 A债券的年利率为12 半年支付一次利息 因此A债券的每期 半年 收益率为12 2 6 B债券的年利率为10 每季度支付一次利息 B债券的每期 季度 收益率则为10 4 2 5 A债券的EAR 1 6 2 1 12 36 B债券的EAR 1 2 5 4 1 10 38 25 连续复利计息 投资期限为T年 债券的初始投资额为C0 复利计息m次 债券的年利率为APR 该投资年末终值 FV C0 1 APR m mT当m趋向于无穷大时 C0初始投资额T年后的终值则为 FV C0eAPR T 26 例 张明将其1000元以连续复利计息方式投资两年 年利率为10 求该投资2年后的终值为多少 解 FV 2年后终值 1000e0 1 2 1221 4元 27 连续复利计息投资的现值 PV FVe APR T例 保险公司4年后要付给你1000元资金 如果按8 的年利率连续复利计息 这笔资金的现值为多少 解 PV 1000e 0 08 4 726 16元 28 持有期回报率 HoldingPeriodReturn 持有期回报率 期末财富 期初财富 期初财富 100 利息收入 期末价格 期初价格 期初价格 100 当期收益率 资本利得 损失 收益率 29 单期的持有期回报率 回报率 期末财富 期初财富 期初财富C Pt 1 PtRET ic gPt C其中 ic 当期收益率PtPt 1 Ptg 资本利得收益率Pt 30 2020 1 15 31 多期的持有期回报率 FV Pn C 1 r n 1 r 其中 Pn是期末价格 C是利息 r是利息再投资利率 n是持有期数 设债券的期初价格是P0 因为P0 1 y n FV 所以 32 债券总收益 利息支付资本利得或资本损失利息的利息收入 33 如何计算利息的利息 34 例子 投资者用1108 38元购买一种8年后到期的债券 面值是1000元 票面利率为12 每半年付息一次 下一次付息在半年后 假设债券被持有至到期日 再投资利率等于到期收益率 分别计算该债券的利息 利息的利息 以及资本损失 35 解 利息 利息的利息 60 1 5 16 1 5 1419 45 元 总的利息 16 60 960 元 利息的利息 1419 45 960 459 45 元 资本损失 1000 1108 38 108 38 元 该债券的总收益等于1419 45 108 38 1311 07 元 36 持有至到期日的债券总收益率 1 债券的期末价值 总的利息 利息的利息 债券面值2 3 将每期总收益率转化为年实际收益率例子 投资者用905 53元购买一种面值1000元的8年期债券 票面利率是12 半年付息一次 下一次付息在半年后 如果债券持有至到期日 再投资利率为8 求该债券的总收益率 37 8年后的期末价值等于60 1 4 16 1 4 1000 2309 47 元 所以 半年期总收益率等于 2309 47 905 53 1 16 1 6 03 实际年收益率是 1 6 03 2 1 12 42 我们可以求出该债券的到期收益率是14 由于再投资利率 8 小于到期收益率 所以该债券每年的总收益率小于到期收益率 38 提前卖出的债券总收益率 债券提前卖出时 债券期末价值 至投资期末的利息 至投资期末利息所生的利息 投资期末的债券价格 其中 投资期末的债券价格是事先未知的 取决于投资者对投资期末收益率的预测 我们可以运用债券的定价公式预测出投资期末的债券价格 39 投资期末的债券价格 其中 P是投资期末的债券价格 C是利息 F是债券的面值 r是预期的投资期末每期收益率 N是投资期末距到期日的期数 40 例子 投资者购买一种8年期的平价 1000元 出售的债券 票面利率为12 每半年付息一次 下一次付息在半年后 投资者5年后将会把债券卖出 他预期5年中利息的再投资利率为每年8 5年后的三年期债券的到期收益率为10 求该债券的总收益率 41 解 5年内 利息 利息的利息 60 1 4 10 1 4 720 37 元 第5年末债券价格 60 1 1 5 6 5 1000 1 5 6 1050 76 元 所以 5年后的期末价值 720 37 1050 76 1771 13 元 那么 半年期总收益率 1771 13 1000 1 10 1 5 88 实际年收益率是 1 5 88 2 1 12 11 42 可赎回债券的总收益率 期末价值 赎回日前的利息 利息的利息 赎回价格 1 r N r是每期再投资利率 N是赎回日距投资期末的期数 例 有一种10年期的可赎回债券 面值为1000元 票面利率为7 半年付息一次 下一次付息在半年后 市场价格是950元 假设在第5年时该债券可赎回 赎回价格为980元 投资期为8年 投资者预期这8年内利息的再投资利率为每年8 求解总收益率 43 解 5年内的利息支付 5年内利息的利息 35 1 4 10 1 4 420 21 元 第5年末债券被赎回时 投资者一共获得420 21 980 1400 21 元 收入到第8年末升值为1400 21 1 4 6 1771 71 元 即投资期末的财富终值为1771 71 元 因此 半年期总收益率 1771 71 950 1 16 1 3 97 实际年收益率是 1 3 97 2 1 8 10 44 债券组合的总回报率 1 债券组合期末的市场价值超过其期初市场价值的部分 2 该债券组合在该时期内分配的所有收益 45 RP 债券组合某个时期总收益率债券组合某个时期总收益率MV1 债券组合期末市场价值MV0 债券组合期初市场价值D 该时期内债券组合分配的现金收益 46 三个隐含的假设前提 该时期内债券组合产生的利息如果没有分配给投资者就必须进行再投资 其价值反映在债券组合的期末价值中 如果该时期内债券组合向投资者分配资金 分配的时间应该正好在期末 投资者在该时期内不会追加任何资金 47 平均回报率 算术平均数 几何平均数ra r1 r2 r3 rn nrg 1 r1 1 r2 1 rn 1 n 1内部回报率 48 年实际收益率 年实际收益率 1 各期回报率的平均数 1年内的时期数 1 49 RatesofReturn SinglePeriod HPR HoldingPeriodReturnP1 EndingpriceP0 BeginningpriceD1 Dividend interest duringperiodone 50 RatesofReturn SinglePeriodExample EndingPrice 24BeginningPrice 20Dividend 1HPR 24 20 1 20 25 51 DatafromTextExample 1234Assets Beg 1 01 22 0 8HPR 10 25 20 25TA BeforeNetFlows 1 11 51 61 0NetFlows0 10 5 0 8 0 0EndAssets1 22 0 81 0 52 ReturnsUsingArithmeticandGeometricAveraging Arithmetic time ra r1 r2 r3 rn nra 10 25 20 25 4 10or10 Geometricrg 1 r1 1 r2 1 rn 1 n 1rg 1 1 1 25 8 1 25 1 4 1 1 5150 1 4 1 0829 8 29 53 WHICHISBETTER Consideratwoperiodexample P0 100 R1 50 andR2 100 Inthiscase thearithmeticaverageiscalculatedas 100 50 2 25 whilethegeometricaverageiscalculatedas 1 R1 1 R2 1 2 1 0 thegeometricaverageisclosertoinvestmentexperience 54 WHICHISBETTER supposeR1andR2werestatisticallyrepresentativeoffuturereturns Thennextyear youhavea50 shotatgetting 200ora50 shotat 50 Yourexpectedoneyearreturnis 1 2 200 100 1 1 2 50 100 1 25 结论 几何平均收益率能更准确地衡量历史业绩 而算术平均收益率则能更好地代表未来的预期收益率 55 DollarWeightedReturns InternalRateofReturn IRR thediscountratethatresultspresentvalueofthefuturecashflowsbeingequaltotheinvestmentamountConsiderschangesininvestmentInitialInvestmentisanoutflowEndingvalueisconsideredasaninflowAdditionalinvestmentisanegat