新课标全国数学卷2013版6年高考数学4年模拟选修4系列.pdf

数学精品 数学精品 20132013 版 版 6 6 年高考年高考 4 4 年模拟 年模拟 第十六章第十六章 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 第一部分第一部分 六年高考荟萃六年高考荟萃 20122012 年高考题年高考题 1 2012 天津卷 已知抛物线的参数方程为 x 2pt2 y 2pt t 为参数 其中 p 0 焦点为 F 准 线为 l 过抛物线上一点 M 作 l 的垂线 垂足为 E 若 EF MF 点 M 的横坐标是 3 则 p 答案 2 解析 本题考查抛物线的参数方程及抛物线的性质 考查运算求解能力及转化思 想 中档题 将参数方程 x 2pt2 y 2pt 化为普通方程为 y2 2px p 0 并且 F p 2 0 E p 2 6p 又 EF MF ME 即有 3 p 2 p 2 p 2 2 6p 0 2 解之得 p 2 负值舍去 即 p 2 2 2012 上海卷 如图 1 1 所示 在极坐标系中 过点 M 2 0 的直线 l 与极轴的夹角 6 若将 l 的极坐标方程写成 f 的形式 则 f 图 1 1 答案 1 sin 6 解析 考查极坐标方程 关键是写出直线的极坐标方程 再按要求化简 由已知得直线方程为 y x 2 tan 6 化简得 x 3y 2 0 转化为极坐标方程为 cos 3 sin 2 0 解得 2 cos 3sin 1 sin 6 所以 f 1 sin 6 3 2012 陕西卷 直线 2 cos 1 与圆 2cos 相交的弦长为 答案 3 解析 本题考查了极坐标的相关知识 解题的突破口为把极坐标化为直角坐 标 由 2 cos 1 得 2x 1 由 2cos 得 2 2 cos 即 x2 y2 2x 联立 得 y 3 2 所以弦长为 3 4 2012 辽宁卷 在直角坐标系 xOy 圆 C1 x2 y2 4 圆 C2 x 2 2 y2 4 1 在以 O 为极 点 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 分别写出圆 C1 C2的极坐标方程 并求出圆 C1 C2 的交点坐标 用极坐标表示 2 求圆 C1与 C2的公共弦的参数方程 解 1 圆 C1的极坐标方程为 2 圆 C2的极坐标方程为 4cos 解 2 4cos 得 2 3 故圆 C1与圆 C2 交点的坐标为 2 3 2 3 注 极坐标系下点的表示不唯一 2 解法一 由 x cos y sin 得圆 C1与 C2交点的直角坐标分别为 1 3 1 3 故圆 C1与 C2的公共弦的参数方程为 x 1 y t 3 t 3 或参数方程写成 x 1 y y 3 y 3 解法二 在直角坐标系下求得弦 C1C2的方程为 x 1 3 y 3 将 x 1 代入 x cos y sin 得 cos 1 从而 1 cos 于是圆 C1与 C2的公共弦的参数方程为 x 1 y tan 3 3 5 2012 课标全国卷 已知曲线C1的参数方程是 x 2cos y 3sin 为参数 以坐标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C2的极坐标方程是 2 正方形 ABCD 的顶点都 在 C2上 且 A B C D 依逆时针次序排列 点 A 的极坐标为 2 3 1 求点 A B C D 的直角坐标 2 设 P 为 C1上任意一点 求 PA 2 PB 2 PC 2 PD 2的取值范围 解 1 由已知可得 A2cos 3 2sin 3 B2cos 3 2 2sin 3 2 C2cos 3 2sin 3 D2cos 3 3 2 2sin 3 3 2 即 A 1 3 B 3 1 C 1 3 D 3 1 2 设 P 2cos 3sin 令 S PA 2 PB 2 PC 2 PD 2 则 S 16cos2 36sin2 16 32 20sin2 因为 0 sin2 1 所以 S 的取值范围是 32 52 6 2012 江苏卷 在极坐标系中 已知圆 C 经过点 P 2 4 圆心为直线 sin 3 3 2 与极轴的交点 求圆 C 的极坐标方程 解 在 sin 3 3 2 中令 0 得 1 所以圆 C 的圆心坐标为 1 0 因为圆 C 经过点 P 2 4 所以圆 C 的半径 PC 2 2 12 2 1 2cos 4 1 于是圆 C 过极点 所以圆 C 的极坐标方程为 2cos 7 2012 湖南卷 在直角坐标系 xOy 中 已知曲线 C1 x t 1 y 1 2t t 为参数 与曲线 C2 x asin y 3cos 为参数 a 0 有一个公共点在 x 轴上 则 a 答案 3 2 解析 考查直线与椭圆的参数方程 此类问题的常规解法是把参数方程转化为普 通方程求解 此题的关键是 得出两曲线在 x 轴上的一个公共点 即为曲线 C1与 x 轴的交 点 化难为易 曲线 C1 x t 1 y 1 2t t 为参数 的普通方程是 2x y 3 0 曲线 C2的普 通方程是x 2 a2 y2 9 1 两曲线在 x 轴上的一个公共点 即为曲线 C1与 x 轴的交点 3 2 0 代 入曲线 C2 得 3 2 2 a2 0 2 9 1 解得 a 3 2 8 2012 湖北卷 在直角坐标系 xOy 中 以原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴建立坐标系 已 知射线 4与曲线 x t 1 y t 1 2 t 为参数 相交于 A B 两点 则线段 AB 的中点的直角坐标 为 答案 5 2 5 2 解析 曲线 x t 1 y t 1 2 化为直角坐标方程是 y x 2 2 射线 4化为 直角坐标方程是 y x x 0 联立 y x 2 2 y x x 0 消去 y 得 x2 5x 4 0 解得 x1 1 x2 4 所以 y1 1 y2 4 故线段 AB 的中点的直角坐标为 x1 x2 2 y1 y2 2 即 5 2 5 2 9 2012 福建卷 在平面直角坐标系中 以坐标原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系 已知直线 l 上两点 M N 的极坐标分别为 2 0 2 3 3 2 圆 C 的参数方程为 x 2 2cos y 3 2sin 为参数 1 设 P 为线段 MN 的中点 求直线 OP 的平面直角坐标方程 2 判断直线 l 与圆 C 的位置关系 解 1 由题意知 M N 的平面直角坐标分别为 2 0 0 2 3 3 又 P 为线段 MN 的中点 从而点 P 的平面直角坐标为 1 3 3 故直线 OP 的平面直角坐标方程为 y 3 3 x 2 因为直线 l 上两点 M N 的平面直角坐标分别为 2 0 0 2 3 3 所以直线 l 的平面直角 坐标方程为 3x 3y 2 3 0 又圆 C 的圆心坐标为 2 3 半径 r 2 圆心到直线 l 的 距离 d 2 3 3 3 2 3 3 9 3 2 r 故直线 l 与圆 C 相交 10 2012 安徽卷 在极坐标系中 圆 4sin 的圆心到直线 6 R 的距离是 答案 3 解析 本题考查极坐标与直角坐标的互化 圆的方程 点到直线的距离 应用极坐标与直角坐标的互化公式 x cos y sin 将圆 4sin 化为直角坐标方程为 x2 y 2 2 4 直线 6化为直角坐标方程为 y 3 3 x 因为 x2 y 2 2 4 的圆心为 0 2 所以圆心 0 2 到直线 y 3 3 x 即 3x 3y 0 的距离为 d 2 3 3 3 32 3 11 2012 北京卷 直线 x 2 t y 1 t t 为参数 与曲线 x 3cos y 3sin 为参数 的交点个数为 答案 2 解析 本题主要考查直线和圆的位置关系 考查参数方程和普通方程之间的转化 等基础知识 考查数形结合思想的运用 方程转化为普通方程 直线为 x y 1 圆为 x2 y2 9 法一 圆心到直线的距离为 d 1 2 1 20 所以直线和圆相交 答案为 2 12 2012 广东卷 坐标系与参数方程选做题 在平面直角坐标系 xOy 中 曲线 C1和 C2的参数 方程分别为 x t y t t 为参数 和 x 2cos y 2sin 为参数 则曲线 C1与 C2的交点坐标为 答案 1 1 解析 本题考查参数方程与直角坐标方程之间的转化 突破口是把参数方程 转化为直角坐标方程 利用方程思想解决 C1的直角坐标方程为 y2 x x 0 C2的直角 坐标方程为 x2 y2 2 联立方程得 y2 x x2 y2 2 解得 x 1 y 1 所以交点坐标为 1 1 13 2012 江西卷 1 坐标系与参数方程选做题 曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y2 2x 0 以 原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 则曲线 C 的极坐标方程为 2 不等式选做题 在实数范围内 不等式 2x 1 2x 1 6 的解集为 答案 1 2cos 解析 考查极坐标方程与普通方程的转化 解题的突破口是利用点 P 的直角坐标 x y 与极坐标 的关系转化 由于 2 x2 y2 cos x 因此 x2 y2 2x 0 的极坐标方程为 2cos 2 x 3 2 x 3 2 解析 考查绝对值不等式的解法 以及分类讨论思想 解题的突 破口是利用零点讨论法去掉绝对值符号 将不等式转化为一般不等式 组 求解 当 x 1 2时 原不等式可化为 2x 1 2x 1 6 解得 x 3 2 此时 1 2 x 3 2 当 x 1 2时 原不等式可化为 2x 1 2x 1 6 解得 x 3 2 此时 3 2 x0 故 tan 5 4 所以直线 l 的斜率为 5 4 20112011 年高考题年高考题 1 2011 2011 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 5 5 在极坐标系中 点 2 3 到圆2cos 的圆心的距离 为 A 2 B 2 4 9 C 2 1 9 D 3 命题意图 本题考查了极坐标方程与平面直角坐标系中的一般方程的的互化 属于容易题 答案 D 解析 极坐标系中的点 2 3 化为直角坐标系中的点为 1 3 极坐标方程2cos 化为直角坐标方程为 22 2xyx 即 22 1 1xy 其圆心为 1 0 所求两点间距离为 22 1 1 30 3 故选 D 2 2011 2011 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 3 3 在极坐标系中 圆2sin 的圆心的极坐标是 A 1 2 B 1 2 C 1 0 D 1 命题意图 本题考查极坐标方程与直角坐标系下方程的互化及点互化 是简单题 解析 22 2sin 1 1xy 圆心直角坐标为 0 1 极坐标为 1 2 选 B 1 2011 2011 年高考天津卷理科年高考天津卷理科 11 已知抛物线已知抛物线C的参数方程为的参数方程为 2 8 8 xt yt t为参数 若斜为参数 若斜 率率 坐标方程为 答案 024 22 yxyx 解析 做坐标系与参数方程的题 大家只需记住两点 1 sin cos yx 2 222 yx 即可 根据已知 cos4sin2 4y2 42 222 yxx xy 化简可得 所以解析式为 024 22 yxyx 3 20113 2011年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科9 9 在直角坐标系xoy中 曲线C1的参数方程为 cos 1 sin x y 为参数 在极坐标系 与直角坐标系xoy取相同的长度单位 且以原点 O 为极点 以x轴正 半轴为极轴 中 曲线 2 C的方程为 cossin10 则 1 C与 2 C的交点个数为 答案 2 解析 曲线 22 1 1 1Cxy 2 10Cxy 由圆心到直线的距离 0 1 1 01 2 d 故 1 C与 2 C的交点个数为 2 4 20114 2011 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 14 14 坐标系与参数方程选做题 已知两曲线参数方程分别为 坐标系与参数方程选做题 已知两曲线参数方程分别为 5cos 0 sin x y 和和 2 5 4 xt tR yt 它们的交点坐标为 它们的交点坐标为 解析 解析 5 5 2 1 sin cos5 y x 0 消去参数后的普通方程为消去参数后的普通方程为 1 0 55 1 5 2 2 为参数 在以 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴的极坐 标系中 射线 l 与 C1 C2各有一个交点 当 0 时 这两个交点间的距离为 2 当 2 时 这两个交点重合 I 分别说明 C1 C2是什么曲线 并求出 a 与 b 的值 II 设当 4 时 l 与 C 1 C2的交点分别为 A1 B1 当 4 时 l 与 C 1 C2的交点为 A2 B2 求四边形 A1A2B2B1的面积 解 I C1是圆 C2是椭圆 当0 时 射线 l 与 C1 C2交点的直角坐标分别为 1 0 a 0 因为这两点 间的距离为 2 所以 a 3 当 2 时 射线 l 与 C1 C2交点的直角坐标分别为 0 1 0 b 因为这两 点重合 所以 b 1 II C1 C2的普通方程分别为 2 222 11 9 x xyy 和 当 4 时 射线 l 与 C1交点 A1的横坐标为 2 2 x 与 C2交点 B1的横坐标为 3 10 10 x 当 4 时 射线 l 与 C1 C2的两个交点 A2 B2分别与 A1 B1关于 x 轴对称 因 此 四边形 A1A2B2B1为梯形 故四边形 A1A2B2B1的面积为 22 2 25 xx xx 10 分 2 2011 2011 年高考全国新课标卷理科年高考全国新课标卷理科 23 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程在 直角坐标系中 曲线 1 C的参数方程为 sin22 cos2 y x 为参数 M 是曲线 1 C上的动点 点 P 满足OMOP2 1 求点 P 的轨迹方程 2 C 2 在以 D 为极点 X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中 射线 3 与曲线 1 C 2 C交于不同于原点的 点 A B 求AB 解析 I 设 P x y 则由条件知 M 2 2 x y 由于 M 点在 C1上 所以 2cos 2 22sin 2 x y 即 4cos 44sin x y 从而2C的参数方程为 4cos 44sin x y 为参数 曲线1C的极坐标方程为4sin 曲线2C的极坐标方程为8sin 射线 3 与1C的交点A的极径为 1 4sin 3 射线 3 与2C的交点B的极径为 2 8sin 3 所以21 2 3AB 3 20113 2011 年高考江苏卷年高考江苏卷 21 21 选修选修 4 44 4 坐标系与参数方程 本小题满分 坐标系与参数方程 本小题满分 1010 分 分 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中 求过椭圆中 求过椭圆 5cos 3sin x y 为参数 的右焦点且与直线为参数 的右焦点且与直线 42 3 xt yt t为参数 平行的直线的普通方程为参数 平行的直线的普通方程 解析 考察参数方程与普通方程的互化 椭圆的基本性质 直线方程 两条直线的位置关系 中档题 椭圆的普通方程为 22 1 259 xy 右焦点为 4 0 直线 42 3 xt yt t为参数 的普通方程为22yx 斜率为 1 2 所求直线方程为 1 4 240 2 yxxy 即 4 20114 2011 年高考年高考福建福建卷理科卷理科 21 21 本小题满分 7 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直接坐标系 xOy 中 直线 l 的方程为 x y 4 0 曲线 C 的参数方程为 x3cos ysin 为参数 I 已知在极坐标 与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位 且以原点 O 为极点 以 x 轴正半轴为极轴 中 点 P 的极坐标为 4 2 判断点 P 与直线 l 的位置关系 II 设点 Q 是曲线 C 上的一个动点 求它到直线 l 的距离的最小值 解析 本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化 椭圆的参数方程等基础知识 考查运 算求解能力 考查化归与转化思想 满分 7 分 解 I 把极坐标系下的点 4 2 P 化为直角坐标 得 P 0 4 因为点 P 的直角坐标 0 4 满足直线l的方程40 xy 所以点 P 在直线l上 II 因为点 Q 在曲线 C 上 故可设点 Q 的坐标为 3cos sin 从而点 Q 到直线l的距离为 2cos 4 3cossin4 6 2cos 2 2 622 d 由此得 当cos 1 6 时 d 取得最小值 且最小值为2 20102010 年高考题年高考题 一 一 选选择择题题 1 1 20102010 湖南湖南文文 4 极坐标cosp 和参数方程 1 2 xt yt t 为参数 所表示的图形分 别是 A 直线 直线 B 直线 圆 C 圆 圆 D 圆 直线 答案 D 2 2010 重庆理 2 2010 重庆理 3 2 2 41 lim 42 x xx A 1 B 1 4 C 1 4 D 1 答案 B 解析 2 2 41 lim 42 x xx 4 1 2 1 2 4 2 limlim 2 2 2 xxx x xx 3 3 20102010 北北京京理 理 5 极坐标方程 p 1 p 0 表示的图形是 A 两个圆 B 两条直线 C 一个圆和一条射线 D 一条直线和一条射线 答案 C 4 4 20102010 湖南理 湖南理 5 4 2 1dx x 等于 A 2ln2 B 2ln2 C ln2 D ln2 5 5 20102010 湖南理 湖南理 3 极坐标方程cos 和参数方程 1 23 xt yt t为参数 所表示的 图形分别是 A 圆 直线 B 直线 圆 C 圆 圆 D 直线 直线 6 2010 安徽理 6 2010 安徽理 7 设曲线C的参数方程为 23cos 1 3sin x y 为参数 直线l的方 程为320 xy 则曲线C上到直线l距离为 7 10 10 的点的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 解析 化曲线C的参数方程为普通方程 22 2 1 9xy 圆心 2 1 到直线 320 xy 的距离 23 1 2 7 103 1010 d 在直线l的另外一侧没有圆上的点 符合要求 所以选 B 方法总结 解决这类问题首先把曲线C的参数方程为普通方程 然后利用圆心到直线的 距离判断直线与圆的位置关系 这就是曲线C上到直线l距离为 7 10 10 然后再判断知 7 107 10 3 1010 进而得出结论 二 填空二 填空题题 1 1 20102010 上海上海文文 3 行列式 cossin 66 sincos 66 的值是 答案 0 5 解析 考查行列式运算法则 cossin 66 sincos 66 2 1 3 cos 6 sin 6 sin 6 cos 6 cos 2 2 20102010 陕西陕西文文 15 考生注意 请在下列三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的 第一题评分 A 不等式选做题 不等式21x 3 的解集为 答案 12xx 解析 213123312 xxx B 几何证明选做题 如图 已知 Rt ABC的两条直角边AC BC的长分别为 3cm 4cm 以 AC为直径的圆与AB交于点D 则BD cm 答案 16 5 解析 ABCD 由直角三角形射影定理可得 5 16 BD5 BA4 BC 2 所以又BABDBC C 坐标系与参数方程选做题 参数方程 cos 1 sin x y 为参数 化成普通方程为 答案 x 2 y 1 2 1 解析 1sincos 1 2222 yx 3 3 20102010 北北京京理 理 12 如图 O 的弦 ED CB 的延长线交于 点 A 若 BD AE AB 4 BC 2 AD 3 则 DE CE 答案 5 2 7 4 4 20102010 天津天津文文 11 如图 四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形 延长 AB 和 DC 相交于点 P 若 PB 1 PD 3 则 BC AD 的值为 答案 1 3 解析 本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质 属于容易题 因为 A B C D 四点共圆 所以 DABPCBCDAPBC 因为P 为公共角 所以 PBC PAB 所以 BCPB ADPD 1 3 温馨提示 四点共圆时四边形对角互补 圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重 要内容 也是考查的热点 5 5 20102010 天津理 天津理 14 如图 四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形 延长 AB 和 DC 相交于点 P 若 PB1 PC1 PA2 PD3 则 BC AD 的值为 答案 6 6 解析 本题主要考查四点共圆的性质与相似三角 形的性质 属于中等题 因为 A B C D 四点共圆 所以 DABPCBCDAPBC 因为P 为公共角 所以 PBC PAB 所以 PBPCBC PDPAAD 设 OB x PC y 则有 6 322 xyy x yx 所以 6 36 BCx ADy 温馨提示 四点共圆时四边形对角互补 圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重 要内容 也是考查的热点 6 6 20102010 天津理 天津理 13 已知圆 C 的圆心是直线 1 1 x t yt 为参数 与 x 轴的交点 且圆 C 与直线 x y 3 0 相切 则圆 C 的方程为 答案 22 1 2xy 本题主要考查直线的参数方程 圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识 属于容易题 令 y 0 得 t 1 所以直线 1 xt yt 与 x 轴的交点为 1 0 因为直线与圆相切 所以圆心到直线的距离等于半径 即 1 03 2 2 r 所以圆 C 的方程为 22 1 2xy 温馨提示 直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解 7 2010 广东理 7 2010 广东理 15 坐标系与参数方程选做题 在极坐标系 0 故可设 12 t t是上述方程的两实根 所以 12 1 2 3 2 3 5 4 tt lP t t 又直线 过点故由上式及 t 的几何意义得 PA PB 12 t t 12 t t 3 2 3 选修 4 5 不等式选讲 命题意图 本小题主要考查绝对值的意义 绝对值不等式等基础知识 考查运算求解能力 解析 由 3f x 得 3xa 解得33axa 又已知不等式 3f x 的 解集为 15xx 所以 31 35 a a 解得2a 当2a 时 2 f xx 设 5 g xf xf x 于是 x 2 3 g xx 21 2 xx x xx 所以 当x5 当 3x2 时 g x 5 当x 2时 g x 5 5 2010 江苏卷 5 2010 江苏卷 21 选做题 选做题 本题包括 A B C D 四小题 请选定其中两题请选定其中两题 并在相应并在相应 的答题区域内作答的答题区域内作答 若多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 A 选修 4 1 几何证明选讲 本小题满分 10 分 AB 是圆 O 的直径 D 为圆 O 上一点 过 D 作圆 O 的切线交 AB 延长线于点 C 若 DA DC 求证 AB 2BC 解析 本题主要考查三角形 圆的有关知识 考查推理论证 能力 方法一 证明 连结 OD 则 OD DC 又 OA OD DA DC 所以 DAO ODA DCO DOC DAO ODA 2 DCO 所以 DCO 30 0 DOC 600 所以 OC 2OD 即 OB BC OD OA 所以 AB 2BC 方法二 证明 连结 OD BD 因为 AB 是圆 O 的直径 所以 ADB 90 0 AB 2 OB 因为 DC 是圆 O 的切线 所以 CDO 90 0 又因为 DA DC 所以 DAC DCA 于是 ADB CDO 从而 AB CO 即 2OB OB BC 得 OB BC 故 AB 2BC B 选修 4 2 矩阵与变换 本小题满分 10 分 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 A 0 0 B 2 0 C 2 1 设 k 为非零实数 矩阵 B O C A D M 10 0k N 01 10 点 A B C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 A1 B1 C1 A1B1C1 的面积是 ABC 面积的 2 倍 求 k 的值 解析 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点 考查运算求解能力 满分 10 分 解 由题设得 0010 011010 kk MN 由 002200 10001022 kk 可知 A1 0 0 B1 0 2 C1 k 2 计算得 ABC 面积的面积是 1 A1B1C1的面积是 k 则由题设知 2 12k 所以 k 的值为 2 或 2 C 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 在极坐标系中 已知圆 2cos 与直线 3 cos 4 sin a 0 相切 求实数 a 的值 解析 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识 考查转化问题的能力 满分 10 分 解 2 2 cos 圆 2cos 的普通方程为 2222 2 1 1xyx xy 直线 3 cos 4 sin a 0 的普通方程为 340 xya 又圆与直线相切 所以 22 3 14 0 1 34 a 解得 2a 或8a D 选修 4 5 不等式选讲 本小题满分 10 分 设 a b 是非负实数 求证 3322 abab ab 解析 本题主要考查证明不等式的基本方法 考查推理论证的能力 满分 10 分 方法一 证明 332222 abab abaaabbbba 55 abab 2432234 abaabababb 因为实数 a b 0 2432234 0 0abaabababb 所以上式 0 即有 3322 abab ab 方法二 证明 由 a b 是非负实数 作差得 332222 abab abaaabbbba 55 abab 当ab 时 ab 从而 55 ab 得 55 0abab 当ab 时 ab 从而 55 ab 得 55 0abab 否 故 AHC 120 于是 EHD AHC 120 因为 EBD EHD 180 所以 B D H E 四点共圆 连结 BH 则 BH 为 ABC 的平分线 得 HBD 30 由 知 B D H E 四点共圆 所以 CED HBD 30 又 AHE EBD 60 由已知可得 EF AD 可得 CEF 30 所以 CE 平分 DEF 6 09 海南 23 6 09 海南 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线 C1 4cos 3sin xt yt t 为参数 C2 8cos 3sin x y 为参数 1 化 C1 C2的方程为普通方程 并说明它们分别表示什么曲线 2 若 C1上的点 P 对应的参数为 2 t Q 为 C2上的动点 求PQ中点M到直线 3 32 2 xt C yt t 为参数 距离的最小值 解 22 22 12 4 3 1 1 649 xy CxyC 1 C为圆心是 4 3 半径是 1 的圆 2 C为中心是坐标原点 焦点在 x 轴上 长半轴长是 8 短半轴长是 3 的椭圆 当 2 t 时 3 4 4 8cos 3sin 24cos 2sin 2 PQM 故 3 C为直线 3 5 270 4cos3sin13 5 xyMCd 到的距离 从而当 43 cos sin 55 时 8 5 5 d取得最小值 7 7 0909 海南海南 2424 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 如图 O 为数轴的原点 A B M 为数轴上三点 C 为线段 OM 上的动点 设 x 表示 C 与原 点的距离 y 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 道 B 距离的 6 倍的和 1 将 y 表示成 x 的函数 2 要使 y 的值不超过 70 x 应该在什么范围内取值 解 4 10 6 20 030 yxxx 依题意 x 满足 4 10 6 20 70 030 xx x 解不等式组 其解集为 9 23 所以 9 23 x 8 09 江苏 A 选修 4 1 几何证明选讲 8 09 江苏 A 选修 4 1 几何证明选讲 如图 在四边形 ABCD 中 ABC BAD 求证 AB CD 解析 本小题主要考查四边形 全等三角形的有关知识 考查推理论证能力 满分 10 分 证明 由 ABC BAD 得 ACB BDA 故 A B C D 四点 共圆 从而 CBA CDB 再由 ABC BAD 得 CAB DBA 因此 DBA CDB 所以 AB CD B 选修 4 2 矩阵与变换 B 选修 4 2 矩阵与变换 求矩阵 32 21 A 的逆矩阵 解析 本小题主要考查逆矩阵的求法 考查运算求解能力 满分 10 分 解 设矩阵 A 的逆矩阵为 xy zw 则 3210 2101 xy zw 即 323210 2201 xzyw xzyw 故 321 320 20 21 xzyw xzyw 解得 1 2 2 3xzyw 从而 A 的逆矩阵为 1 12 23 A C 选修 4 4 坐标系与参数方程 C 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 1 1 3 xt t yt t t为参数 0t 求曲线 C 的普通方程 解析 本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识 考查转化问题的能力 满分 10 分 解 因为 2 1 2 xt t 所以 2 1 2 3 y xt t 故曲线 C 的普通方程为 2 360 xy D D 选修选修 4 54 5 不等式不等式选选讲讲 设a b 0 求证 33 32ab 22 32a bab 证明 33222222 32 32 3 2 32 aba babaabb baabab 因为a b 0 所以ab 0 22 32ab 0 从而 22 32 abab 0 即 33 32ab 22 32a bab 9 9 0909 辽宁理辽宁理 2222 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明讲 已知 ABC 中 AB AC D是 ABC 外接圆劣弧 AC上 的点 不与点 A C 重合 延长 BD 至 E 1 求证 AD 的延长线平分 CDE 2 若 BAC 30 ABC 中 BC 边上的高为 2 3 求 ABC 外接圆的面积 解 如图 设 F 为 AD 延长线上一点 A B C D 四点共圆 CDF ABC 又 AB AC ABC ACB 且 ADB ACB ADB CDF 对顶角 EDF ADB 故 EDF CDF 即 AD 的延长线平分 CDE 设 O 为外接圆圆心 连接 AO 交 BC 于 H 则 AH BC 连接 OC A 由题意 OAC OCA 15 0 ACB 750 OCH 60 0 设圆半径为 r 则 r 2 3 r 2 3 a 得 r 2 外接圆的面积为 4 1010 0909 辽宁理辽宁理 2323 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中 以 O 为极点 x 正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C 的极坐标方程为 cos 3 1 M N 分别为 C 与 x 轴 y 轴的交点 1 写出 C 的直角坐标方程 并求 M N 的极坐标 2 设 MN 的中点为 P 求直线 OP 的极坐标方程 解 由得1 3 cos 1 sin 2 3 cos 2 1 从而 C 的直角坐标方程为 2 3 32 3 32 2 0 2 20 23 1 2 3 2 1 N M yx yx 所以时 所以时 即 M 点的直角坐标为 2 0 N 点的直角坐标为 3 32 0 所以 P 点的直角坐标为 6 3 32 3 3 1 点的极坐标为则P 所以直线 OP 的极坐标方程为 1111 0909 辽宁理辽宁理 2424 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 设函数 1 f xxxa 1 若1 a 解不等式 3f x 2 如果xR 2f x 求a 的取值范围 解 当 a 1 时 f x x 1 x 1 由 f x 3 得 x 1 x 1 3 x 1 时 不等式化为 1 x 1 x 3 即 2x 3 2005 2008 年高考题 2005 2008 年高考题 一 填空题 1 2008 广东理 坐标系与参数方程选做题 1 2008 广东理 坐标系与参数方程选做题 已知曲线 12 CC 的极坐标方 程分别为cos3 4cos0 0 2 xx 解 1 44 21248 48 x f xxx x 图象如下 2 不等式842xx 即 2f x 由2122x 得5x 由函数 f x图象可知 原不等式的解集为 5 7 7 20082008 江苏 江苏 A 选修 4 1 几何证明选讲 如图所示 设 ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线 交于点 E BAC 的平分线与 BC 交于点 D 求证 ED 2 EC EB B 选修 4 2 矩阵与变换 在平面直角坐标系 xOy 中 设椭圆 4x 2 y2 1 在矩阵 A 10 02 对应的变换下得到曲线 F 求 F 的方程 C 选修 4 4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中 设 P x y 是椭圆1 3 2 2 y x 上的一个动点 求 S x y 的最大值 D 选修 4 5 不等式选讲 设 a b c 为正实数 求证 3 2 111 333 abc cba A 证明证明 如图所示 因为 AE 是圆的切线 又因为 AD 是 BAC 的平分线 所以 BAD CAD 从而 ABC BAD CAE CAD 1 1 O x y 2 3 4 2 4 1 2 2 8 4 因为 ADE ABC BAD DAE CAE CAD 所以 ADE DAE 故 EA ED 因为 EA 是圆的切线 所以由切割线定理知 EA 2 EC EB 而 EA ED 所以 ED2 EC EB B 解 解 设 P x0 y0 是椭圆上任意一点 点 P x0 y0 在矩阵 A 对应的变换下变为点 P x 0 y 0 则有 2 2 10 02 00 0 0 00 00 0 0 0 0 yy x x yy xx y x y x 所以即 又因为点 P 在椭圆上 故 1 14 2 0 2 0 2 0 2 0 yxyx从而 所以曲线 F 的方程为 1 22 yx C 解 解 由椭圆 sin cos3 1 3 2 2 为参数的参数方程为 y x y x 故可设动点 P 的坐标为 sin sin3 其中 20 因此 3 sin2sin 2 1 cos 2 3 2sincos3 yxS 所以当 2 6 取得最大值时 S D 证明证明 因为 a b c 是正实数 由平均不等式可得 3111 111 3 111 333 3 333333 abccbacbacba 即 32 3 2 3 3111 333 abc abc abc abc abc abc abc cba 而所以 所以 32 111 333 abc cba 第二部分 四年联考汇编 第二部分 四年联考汇编 2012 2013 年联考题 2012 2013 年联考题 1 云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考 理 在 ABC 中 D 为 BC 边上一点 BC 3BD AD 2 ADB 135 0 若 AC 2AB 则 BD 答案 25 解析 作 AH BC 于 H 则 1 1AHDH 则 1 21BHBDCHBD 又 222 ABBHAH 所以 22 1 1ABBD 即 22 1 1ABBD 222222 221 21 ACAHABAHABBD 所以 22 2 21 1ABBD 即 22 2 1 2 21 1BDBD 整理得 2 2820BDBD 即 2 410BDBD 解得 25BD 或 25BD 舍去 2 天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考 理 点 P x y 在曲线 2cos sin x y 为 参数 R 上 则 y x 的取值范围是 答案 33 33 解析 消去参数 得曲线的标准方程为 22 2 1xy 圆心为 2 0 半径为 1 设 y k x 则直线ykx 即0kxy 当直线与圆相切时 圆心到直线的距离 2 2 1 1 k d k 即 2 21kk 平方得 222 1 41 3 kkk 所以解得 3 3 k 由图象知k的取值范围是 33 33 k 即 y x 的取值范围是 33 33 3 天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考 理 如图过 0 外一点 P 分别作圆的切线和 割线交圆于 A B 且 PB 7 C 是圆上一点使得 BC 5 BAC APB 则 AB 答案 35 解析 因为PA是圆的切线 所以BAPAPB 又CACAPB 所以BAP 与 BCA 相似 所以 ABPB CBAB 所以 2 7 535ABPB CB i 所以35AB 4 山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考 理 不等式 3 1 1 xx的解 集是 答案 33 22 或 2 3 2 3 xxx或 解析 2 1 1 1 2 11 2 1 x x xxx x x 当1x 时 由3 1 1 xx得23x 得 3 2 x 当1x 时 由3 1 1 xx得23x 解得 3 2 x 所以不等式的解集 为 33 22 5 山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试理 不等式 3 l5 2xl 9 的解集是 A 一 2 U 7 co B 1 4 C 2 1 U 4 7 D 2 1 4 7 答案 D 解 析 由3 52 9x 得3259x 或9253x 即47x 或 21x 所以不等式的解集为 2 1 4 7 选 D 6 山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测理 不等式 21 1 2xx 的解 集为 答案 2 0 3 解析 当 1 2 x 时 原不等式等价为 21 1 2xx 即 2 32 3 xx 此时 21 32 x 当 1 1 2 x 时 原不等式等价为 21 1 2xx 即0 x 此时 1 0 2 x 当1x 时 原不等式等价为 21 1 2xx 即 2 32 3 xx 此时不 等式无解 综上不等式的解为 2 0 3 x 0 的解集 II 若关于x的不等式f x 2 的解集是R 求m的取值范围 答案 解 I 由题设知 5 2 1 xx 不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集 521 2 xx x 或 mxx R x时 恒有3 2 1 2 1 xxxx 不等式2 2 1 mxx解集是R 32 m m的取值范围是 1 10 分 11 云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系 与参数方程 在 直 角 坐 标 系 中 以 原 点 为 极 点 x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 坐 标 系 已 知 曲 线 cos2sin 2 aC 0 a 已知过点 4 2 P的直线l的参数方程为 ty tx 2 2 4 2 2 2 直线l与曲线C分别交于NM 两点 写出曲线C和直线l的普通方程 若 PNMNPM成等比数列 求a的值 答案 解 2 2 2yaxyx 5 分 直线l的参数方程为 ty tx 2 2 4 2 2 2 t为参数 代入 2 2yax 得到 2 2 2 4 8 4 0ta ta 7 分 则有 1212 2 2 4 8 4 ttatta 因为 2 MNPMPN 所以 22 12121212 4tttttttt 解得 1a 12 云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式 选讲 已知函数 21 23 f xxx 求不等式6 xf的解集 若关于x的不等式 1 或或 1 2 21 23 6 x xx 解之得 3131 2 1 2222 xxx a 解此不等式得53 aa或 10 分 13 云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐 标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中 直线l的方程为 x y 4 0 曲线 C 的参数方程为 x3cos ysin 为参数 I 已知在极坐标 与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位 且以原点 O 为极点 以 x 轴 正 半轴为极轴 中 点 P 的极坐标为 4 2 判断点 P 与直线l的位置关系 II 设点 Q 是曲线 C 上的一个动点 求它到直线l的距离的最小值 答案 解 I 把极坐标系下的点 4 2 P 化为直角坐标 得 P 0 4 因为点 P 的直角坐标 0 4 满足直线l的方程 40 xy 所以点 P 在直线l上 II 因为点 Q 在曲线 C 上 故可设点 Q 的坐标为 3cos sin 从而点 Q 到直线l的距离为 2cos 4 3cossin4 6 2cos 2 2 622 d 由此得 当 cos 1 6 时 d 取得最小值 且最小值为 2 14 云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理 本小题满分 10 分 选修 4 5 不 等式选讲 已知函数 25f xxx I 证明 3 3f x II 求不等式 2 815f xxx 的解集 答案 解 1 3 2 2 5 27 25 3 5 x f xxxxx x 当2 5 3273 xx 时 所以 3 3 f x 5 分 II 由 I 可知 当 2 2 815xf xxx 时 的解集为空集 当 2 25 815 535 xf xxxxx 时的解集为 当 2 5 815 56 xf xxxxx 时的解集为 综上 不等式 2 815 536 f xxxxx 的解集为 10 分 15 云云南南师大附师大附中中届届高高三三高考高考适应性月适应性月考卷 考卷 三三 理科 理科2013 本小题满分10分 选修 4 1 几何证明选讲 如图6 在正 ABC中 点D E分别在边AC AB上 且AD 1 3 AC AE 2 3 AB BD CE相交于点F I 求证 A E F D四点共圆 若正 ABC的边长为2 求 A E F D所在圆的半径 答案 证明 2 3 AEAB 1 3 BEAB 在正 ABC中 1 3 ADAC ADBE 又ABBC BADCBE BAD CBE ADBBEC 即 ADFAEF 所以A E F D四点共圆 5 分 解 如图 6 取AE的中点G 连结GD 则 1 2 AGGEAE 2 3 AEAB 12 33 AGGEAB 12 33 ADAC 60DAE AGD为正三角形 2 3 GDAGAD 即 2 3 GAGEGD 所以点G是 AED外接圆的圆心 且圆G的半径为 2 3 由于A E F D四点共圆 即A E F D四点共圆G 其半径为 2 3 10 分 16 云云南南师大附师大附中中届届高高三三高考高考适应性月适应性月考卷 考卷 三三 理科 理科2013 本小题满分10分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标平面内 以坐标原点O为极点 x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 已知 点M的极坐标为4 2 4 曲线C的参数方程为 12cos 2sin x y 为参数 I 求直线OM的直角坐标方程 II 求点M到曲线C上的点的距离的最小值 答案 解 由点M的极坐标为 4 2 4 得点M的直角坐标为 44 所以直线OM的直角坐标方程为y x 4 分 由曲线C的参数方程 12cos 2sin x y 为参数 化成普通方程为 2 1 22 yx 圆心为A 1 0 半径为2 r 由于点M在曲线C外 故点M到曲线C上的点的距离的最小值为 MA 52r 10分 17 云云南南师大附师大附中中届届高高三三高考高考适应性月适应性月考卷 考卷 三三 理科 理科2013 本小题满分10分 选修 4 5