巧用向量方法求解决最值问题.doc

巧用向量方法求解决最值问题在中学数学中，对某些代数式的最值问题通常使用凑配技巧（如配方法）求解，现在高中数学增加了向量内容，我们使用向量方法求解最值问题，特别是一些无理式的最值问题，可以大大简化解题过程，提高解题效率，收到事半功倍的效果。如果设向量m=a,b，n=x,y，则m与n的数量积为：mn=mncosm,n=ax+by，从而有：（1）mnmn,当且仅当m与n同向同号时取等号（2）m2mn2n2，即x2+y2ax+by2a2+b2,当且仅当m与n同向同号时取等号。完全类似地，设向量m=x,y,z,n=a,b,c，则m与n的数量积为：mn=ax+by+cz，从而也有：（1）mnmn,当且仅当m与n同向同号时取等号；（2）m2mn2n2，即x2+y2+z2ax+by+cz2a2+b2+c2,，当且仅当m与n同向同号时取等号。在求解某些初等代数最值问题时，根据条件和结论的特点，将其转化为向量形式，利用向量的数量积，往往能避免繁杂的凑配技巧，使解答过程直观又易接受，下面简单介绍几种求解的方式方法：1、用向量求未知数，满足整式方程的代数式的最值。例1：已知实数x,y满足方程x2+y2-2x+4y=0,求x-2y的最值。解：由x2+y2-2x+4y=0得x-12+y+22=5设：m=x-1,y+2, n=-1,25=x-12+y+22=mmn2n2=x-2y-525则x-2y-5225，即x-2y-550x-2y-5102、用向量求未知数满足三元一次方程及三元二次方程的最值。例2：已知实数x1,x2,x3满足方程x1+12x2+13x3=1即x12+12x22+13x32=3,问,x3的最小值解：原方程可化为x1+12x2=1-13x3，x12+12x22=3-13x32设：m=x1,12x2, n=1,123-13x32=x12+12x22=m2mn2n2=x1+12x221+12=23x1+12x22=231-13x32-2111x33即x3的最大值为3，最小值为-21113、用向量求未知数满足整式方程的分式方程的值。例3：已知实数x,y满足方程x+22+y2=1,求y-1x-2的最值。解：设y-1x-2=k,则y=kx-2+1设m=x+2,kx-2k+1,n=k,11=x+22+y2=m2mn2n2=4k-12k2+10k815即：y-1x-2min=04、用向量求无理函数的值域。例4：求已知函数y=1994-x+x-1993的值域。解：由1994-x0且x-19930可知1993x1994,y1设m=1994-x,x-1993,n=1,11=1994-x+x-1993=m2mn2n2=y2n2y22y2即：1y25、用向量求未知数满足分式方程的代数式的最值。例5：已知实数x,y满足方程19x+98y=1,求x+y的最值。解：设m=19x,98y,n=x,yx+y=x2+y2=n2mn2m2=19+982=117+14386、用向量求使整式为最值的未知数的值。例5：求实数x,y的值，使得y-12+x+y-32+2x+y-62达到最小值。解：设m=y-1,x+y-3,2x+y-6,n=-1,2,-1由m2n2mn2知m2mn2n2=16y-12+x+y-32+2x+y-62=m2mn2n2=16当且仅当y-1-1=x+y-32=2x+y-6-1时成立，即：x=52,y=56时，等号成立。7、用向量求未知数满足分式方程的分式的最值。例7：已知x,y,z0,+且x21+x2+y21+y2+z21+z2=2,求x1+x2+y1+y2+z1+z2的最大值解：由x21+x2+y21+y2+z21+z2=2知11+x2+11+y2+11+z2=1设m=x1+x2,y1+y2,z1+z2,n=11+x2,11+y2,11+z2mn2m2n2=2mn2x1+x2+y1+y2+z1+z2=mn2当且仅当x=y=z=2时等号成立。8、用向量求无理式的最值。例8：如果a+b+c=1，那么3a+1+3b+1+3c+1的最大值是多少？解：设m=3a+1,3b+1,3c+1,n=1,1,1由mn2m2n2知：3a+1+3b+1+3c+123a+1+3b+1+3c+13=63=183a+1+3b+1+3c+132当且仅当a=b=c=13时，等号成立。9、用向量求满足二次方程的函数的取值范围。例9：如果