Levy过程及其在金融领域中的应用.ppt

Levy过程及其在金融领域中的应用 复旦大学管理学院张新生 二个例子 MonikaPiazzesiBondYieldsandtheFederalReserveJournalofPoliticalEconomy 2005 vol 113 no 2 RafalWeronHeavytailsandelectricitypricesTheDeutscheBundesbank s2005AnnualFallConference Eltville 10 12November2005 概要 Levy过程简介Levy过程在数理金融中的应用Levy过程的统计分析Levy过程的进一步推广 Levy过程的定义 设 X t t 0 是一随机过程 如果 1 X t 具有平稳独立增量 2 P X 0 0 1 3 X t 具有右连左极的轨道 4 X t 是随机连续的 即 对任意a 0 s 0 当t s有P X t X s a 0 LevyProcesses 1930s 1940sPaulLevy France AlexanderKhintchine Russia KiyosiIto Japan Levy过程的三种刻画 Levy Khintchine公式 称为Levy三元组 称为Levy测度 Levy过程的三种刻画 Levy Ito分解 X t 布朗运动 常数漂移 复合Poisson过程 纯跳鞅 是一Poisson随机测度 且与布朗运动Bt相互独立 Levy过程的三种刻画 Levy过程是Markov过程 转移半群 T t f Ef x t 无穷小算子 Levy过程的例子 Levy Ito分解变为 Subordinator 关于时间t单调递增的Levy过程 此时Levy三元组应满足 Levy过程的例子 稳定过程 Levy三元组 Levy过程的例子 Gamma过程 Levy三元组 过程的一维分布 Levy过程的例子 正态逆Gauss过程 Levy三元组 过程的一维分布 Levy过程的例子 Levy三元组 t 1时 过程的一维分布 J1第一类Bessel函数 Y1第二类Bessel函数 双曲线的Levy运动 在金融领域的应用 定价中的几何Levy过程模型 资产价格 St满足 Zt是Levy过程 在几何Levy过程模型下 市场一般是一不完备的市场 等价鞅测度不唯一 如何选择一合适的Levy过程和相应的等价鞅测度是要研究的主要问题 具体的Levy过程 1 Stableprocess Mandelbrot Fama 1963 2 Jumpdiffusionprocess Merton 1973 3 VarianceGammaprocess Madan 1990 4 GeneralizedHyperbolicprocess Eberlein 1995 5 CGMYprocess Carr Geman Madam Yor 2000 6 NormalinverseGaussianprocess Barndorff Nielsen 7 Finitemomentlogstableprocess Carr Wu 2003 Morton模型 其中 Wt标准布朗运动 Nt为Poisson过程Yi独立同分布 服从正态分布 且Wt Nt Yi相互独立 可供选择的等价鞅测度 1 MinimalMartingaleMeasure MMM Follmer Schweizer 1991 2 VarianceOptimalMartingaleMeasure VOMM Schweizer 1995 3 MeanCorrectingMartingaleMeasure MCMM 4 EsscherMartingaleMeasure ESMM Gerber Shiu 1994 B D E S 1996 5 MinimalEntropyMartingaleMeasure MEMM Miyahara 1996 Frittelli 2000 参考文献 R Cont P Tankov 2003 Financialmodellingwithjumpprocesses ChapmanandHall CRCPress J M Corcuera D Nualart W Schoutens 2005 CompletionofaLevymarketbypower jumpassets FinanceStoch 9 109 127 E Eberlein J Jacod 1997 Ontherangeofoptionsprices FinanceStoch 1 131 140 Frittelli M 2000 TheMinimalEntropyMartingaleMeasuresandtheValuationProbleminIncompleteMarkets MathematicalFinance10 39 52 Bellini F andFrittelli M 2002 Ontheexistenceofminimaxmartingalemeasures MathematicalFinance12 1 21 Ornstein Uhlenbeck型过程 其中Z t 为一Levy过程 X t 称为Ornstein Uhlenbeck型过程 K Sato和M Yamazato 1984 ASP Barndorff Nielsen Shephard模型 推广的随机波动率模型 dX t bX t dt t X t dW t Z t 是一Levy过程 E Barndorff Nielsen和N Shephard 2001 JRSS B E Barndorff Nielsen和N Shephard 2002 JRSS B 利率模型 CKLS模型 1992 1976 在r 0时 这一模型为Vasicek模型 在r 1 2时 这一模型为CIR模型 在b 0 r 0 这一模型即为Merton模型 MonikaPiazzesiBondYieldsandtheFederalReserveJournalofPoliticalEconomy 2005 vol 113 no 2 过程的统计推断问题 参数估计问题最大似然估计广义矩估计估计函数 鞅估计函数 假设检验问题有无跳 变点问题 中国科学A辑 200636 8 901 927 模型 问题 求参数 c的估计结果 得到了 c的最大似然估计 并证明了相合性与渐进正态性 张世斌 张新生 孙曙光 模型的进一步推广 自相似过程 分数维布朗运动 分数维布朗运动及其随机积分 分数维布朗运动的基本性质 在H 1 2时 分形布朗运动是长程相依的 在H 1 2时 分形布朗运动既不是Markov过程 也不是半鞅 关于分形布朗运动的随机积分 Roughpaths1 Lyons T J Differentialequationsdrivenbyroughsignals Rev Math Iberoamer 14 1998 215 310 2 Coutin L Qian Z Stochasticanalysis roughpathanalysisandfractionalBrownianmotions Probab TheoryRelatedFields122 2002 no 1 108 140 Malliavincalculus 关于分形布朗运动的随机积分 Nualart D StochasticcalculuswithrespecttothefractionalBrownianmotionandapplications ContemporaryMathematics336 2003 3 39 WickproductsDuncan T E Hu Y Pasik Duncan B StochasticcalculusforfractionalBrownianmotionI Theory SIAMJ ControlOptim 38 2000 582 612 轨道意义下 path wise 分数维Orntein Uhlenbeck型过程 FractionalOrntein UhlenbeckTypeProcesses dX t X t dt dW H t dY t 其中W H t 是参数为H的分数维布朗运动 Y t 为纯跳Levy过程 张新生 2006 由Levy过程驱动的随机微分方程 dX t B X t dt M X t dZ t Z t 为Levy过程R F Bass StochasticDierentialEquationswithJumps ProbabilitySurveysVol 1 2004 1 19 参考文献 书 D Applebaum LevyProcessesandStochasticCalculus CambridgeUniversityPress 2004O E Barndorff Nielsen T MikoschandS Resnick Eds LevyProcesses TheoryandApplications Birkhauser 2001J Bertoin LevyProcesses CambridgeUniversityPress 1996W Schoutens LevyProcessesinFinance Prici