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第七章应用数学模型 第一节欧拉 Euler 四面体问题 第二节交通流量的计算模型 第三节投入产出分析模型 第四节小行星的轨道模型 第五节人口迁移的动态分析模型 第六节常染色体遗传模型 第七节莱斯利 Leslie 种群模型 第八节D rer幻方 1欧拉 Euler 四面体问题 问题 如何用四面体的6条棱长去表示它的体积 返回 上一页 下一页 解建立如图所示的直角坐标系 设A B C三点的坐标分别为 a1 b1 c1 a2 b2 c2 和 a3 b3 c3 并设四面体O ABC的6条棱长分别为l m n p q r 将第二个行列式进行转置后再相乘 得 返回 上一页 下一页 根据向量的数量积的坐标表示 有 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 上式即为欧拉的四面体求积公式 由余弦定理 可得 例1一块形状为四面体的花岗岩巨石 量得6条棱长分别为p 14米 q 13米 r 11米 l 10米 m 15米 n 12米 由此得 返回 上一页 下一页 V 195 米3 2交通流量的计算模型 假设 1 全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量 2 全部流入一个节点 道路交汇处 的流量等于全部流出此节点的流量 试建立数学模型确定该交通网络中未知部分的具体流量 问题 某城市部分单行街道的交通流量 每小时过车数 如下图所示 返回 上一页 下一页 建模与计算由网络流量守恒的条件假设 所给问题满足如下线性方程组 返回 上一页 下一页 系数矩阵为 返回 上一页 下一页 增广矩阵的行最简形矩阵为 返回 上一页 下一页 其对应的齐次线性方程组为 返回 上一页 下一页 取 x5 x8 为自由未知量 分别赋两组值为 1 0 0 1 得齐次线性方程组的基础解系为 其对应的非齐次线性方程组为 返回 上一页 下一页 赋值给自由未知量 x5 x8 为 0 0 原方程组的通解为 返回 上一页 下一页 3投入产出分析模型 问题 在一个国家或区域的经济系统中 各部门 或企业 既有投入又有产出 生产的产品满足系统内部各部门和系统外的需求 同时也消耗系统内各部门的产品 应如何组织生产 数学模型 我们将整个经济系统分成n个经济部门 xi i 1 2 n 表示第i个部门的总产出 yi i 1 2 n 表示外部对第i个部门的需求 aij i j 1 2 n 表示第j个部门生产单位产品需要消耗的第i个部门的产品量 zj j 1 2 n 表示第j个部门的新创造的价值 返回 上一页 下一页 用总和号表示可以写成 这个方程组称为产品分配平衡方程组 返回 上一页 下一页 用总和号表示可以写成 这个方程组称为产品消耗平衡方程组 如果 返回 上一页 下一页 分别称矩阵A为直接消耗系数矩阵 x为产出向量 y为需求向量 z为新创造价值向量 x Ax y 或 E A x y 其中矩阵E为单位矩阵 E A 称为列昂季耶夫矩阵 x E A 1y 令B Adiag x1 x2 xn D 1 1 1 B 分别称矩阵B为投入产出矩阵 D为总投入向量 则z x D 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 4小行星的轨道模型 问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道 他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系 在两坐标轴上取天文测量单位 在5个不同的时间对小行星作了5次观测 测得轨道上5个点的坐标数据如下表 试确定小行星的轨道方程 分析与建模 小行星的轨道为一椭圆 返回 上一页 下一页 a1x2 2a2xy a3y2 2a4x 2a5y 1 0 写成矩阵的形式 Ax b 2020 1 15 20 其中 返回 上一页 下一页 求解这一线性方程组 即可得椭圆方程的系数 矩阵C的特征值为 1 2 C D 分别为矩阵C与D的行列式的值 则可得 返回 上一页 下一页 由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点 从而可得到小行星的近日点距离为h a c 远日点距离为H a c 计算求解 使用计算机可求得 a1 a2 a3 a4 a5 0 6143 0 3440 0 6942 1 6351 0 2165 返回 上一页 下一页 C的两个特征值为 1 0 3080 2 1 0005 C的行列式值 C 0 3081 返回 上一页 下一页 D的行列式值 D 1 8203 于是 椭圆长半轴a 19 1834 短半轴b 5 9045 半焦距c 18 2521 从而小行星的近日点距离为h a c 0 9313 远日点距离为H a c 37 4355 返回 上一页 下一页 5人口迁移的动态分析模型 问题 对城乡人口流动作年度调查 发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势 每年农村居民的2 5 移居城镇 而城镇居民的1 迁往农村 现在总人口的60 住在城镇 假设城乡总人口保持不变 并且人口流动的这种趋势继续下去 那么一年以后住在城镇的人口所占总人口比例是多少 两年以后呢 10年以后呢 最终呢 解设城乡人口总数为N 开始时 农村人口为y0 城镇人口为z0 则y0 z0 N 于是y0 0 4N z0 0 6N 设n年以后 农村人口为yn 城镇人口为zn 则一年后的情形是 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 知矩阵A的两个特征值分别为 2 1 返回 上一页 下一页 从而n年后人口的分布为 返回 上一页 下一页 令n 则有 问题1某植物园中的植物的基因型为AA Aa aa 人们计划用AA型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代 已知双亲体基因型与其后代基因型的概率如下表所示 问 经过若干年后3种基因型分布如何 返回 上一页 下一页 6常染色体遗传模型 返回 上一页 下一页 所以M的特征值为 返回 上一页 下一页 于是Mn PDnP 1 返回 上一页 下一页 显然 当n 时 由上述三式得到an 1 bn 0 cn 0 返回 上一页 下一页 7莱斯利 Leslie 种群模型 用矩阵形式表示为 返回 上一页 下一页 称为莱斯利矩阵 返回 上一页 当时 特征方程可变形为a1 n 1 a2b1 n 2 anb1b