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1 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 课后习题课后习题 第一章练习题 模块一 函数 1 下列函数对中 两函数相等的是 A 2 x与x B 2 xx x 与1x C 2 1x 与 222 sincosttt D2ln x与 2 ln x 2 设函数 cos tan x f xxx e 则 f x是 A偶函数 B有界函数 C周期函数 D单调函数 3 求下列函数的定义域 1 2 1 1f xx x 2 1 ln 1 f x x 3 arccos lnf xx 4 求函数 ln 3 0 1 0 2 xx f x x x 的值域 5 求下列函数的反函数 1 32 2 0 yxx 2 1 ln 1 x y x 6 列函数中 哪些是奇函数 哪些是偶函数 哪些既不是奇函数也不是偶函数 1 42 2f xxx 2 2xf x 3 2 x f xe 4 3 xx aa f x 5 1 x x f x e 6 1 1 x x a f xx a 2 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 精勤求学精勤求学 自强不息自强不息 模块二 极限 7 下列命题正确的是 A 若lim n n Ua 则lim n n Ua B设 n x为任意数列 lim0 n n y 则lim0 nn n x y C若lim0 nn n x y 则必有lim0 n n x 或lim0 n n y D数列 n x收敛于a的充分必要条件是 它的任一子数列都收敛于a 8 设 2 21 0 0 0 1 0 xx f xx xx 则 0 lim x f x 为 A 不存在 B 1 C 0 D 1 9 当0 x 时 无穷小量sin22sinxx 是x的 阶无穷小量 A 2 B 3 C 4 D 5 10 已知 2 x f xe 1fxx 且 0 x 则 x 11 2 22 lim 1 n n nn 12 sinsin lim xa xa xa 13 0 lncos lim 0 lncos x x x 14 设 函 数 f x在 内 有 定 义 且 0f x 对 任 意 的 实 数x和y均 有 fxyfx fy 成立 则 2008 f 15 设函数 0 1 x f xaaa 则 2 1 limln 1 2 n fff n n 16 已知 yf x 是最小正周期为5的偶函数 当 1 1f 时 4 f 17 如果 ln fxx 则 3 f的值是 3 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 18 设 ln lim0 nn n ex f xx n 求 f x 19 设 11 2 22 nn xxxn 求lim n n x 20 求 0 lim cos x x x 21 求极限 1 1 0 1 lim x x x e xe 22 求极限 1 2 0 lim xxnx x x eee n 其中n是给定的自然数 模块三 连续 23 设函数 1 01 2 13 xx f x xx 1 f x在1x 处是否连续 2 求函数的连续区间 24 讨论 1 1 cos 1 2 xx f x x x 的连续性 25 补充定义 0 f使得函数 1 0 n x f xmxm n 在0 x 处连续 26 找出下列函数所有的间断点 并说明其类型 1 2 3 1 1 x f x x 2 1 1 1 x f xxx 3 2 1 2cos 1 sin 1 x f x x 0 0 x x 第二章练习题 模块一 可导与可微 1 利用定义计算下列各函数在指定点处的导数 4 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 精勤求学精勤求学 自强不息自强不息 1 3 f xxxR 2 0f xxx 3 cos 0f xx x 2 函数 ln 1 0 0 x x x f xx aeb x 在0 x 处可导 求 a b 3 已知 22 21f xx xx 求使得 0 n f存在的最高阶数n 4 设 0 fx存在 求下列各极限 1 00 0 sin lim h f xhf x h 2 2 00 0 lim ln 1 sin h f xhf x hh 模块二 求导法则 5 f x在点 0 x处可导 且 00 0 2 lim1 2 x f xxf xx x 则 0 fx A 2 3 B 3 2 C 2 3 D 3 2 6 2 2 arctan 32 x yffxx x 则 0 dy xdx A B 3 C 2 D 4 7 下列命题正确的是 A若 f x在点 0 x可导 则 f x在点 0 x一定可导 B若 f x在点 0 x可导 则 f x在点 0 x一定可导 C若 0 0f x 则 0 0fx D若 f x与 g x在点 0 x都不可导 但 f xg x 在点 0 x可能可导 8 知 2 2 1 x fx x 则 2 1dfx 5 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 A 2xdx B 2x dx x C 2 1 1 dx x D 2 2 1 dx x 9 f x在区间 内有定义 若当 x 时 恒有 2 f xx 则0 x 必是 f x 的 A 间断点 B 连续而不可导的点 C 可导的点 且 0 0 f D 可导的点 且 0 0 f 10 设 1 f xaf x 总成立 0 fb a b 为非零常数 则 f x在1x 处 A不可导 B可导且 1 fab C可导且 1 fa D可导且 1 fb 11 设 22 3f xxx x 则使 0 n f存在的最高阶数n A 0 B 1 C2 D 3 12 设 0f a 则0 有 A f xf axa af xf axaa B f xf axa af xf axaa C f xf axaa D f xf axaa 13 设 f x在2x 处连续 且 2 lim2 2 x f x x 2 f 14 设 2 cos sin x yx 则y 15 设曲线 n f xx 在点 1 1处的切线与x轴的交点为 0 n 则lim n n f 16 设 3 sinyx 则 n y 17 设 3 ln u yeuf t tx 其中 f u可微 则dy 18 设 sincos0yxxy 则dy 6 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 精勤求学精勤求学 自强不息自强不息 19 设k为常数 则 1 lim 1 1 k n n n 20 由方程 yx xy 确定 xx y 则 dx dy 21 设函数 yy x 由方程 y exye 所确定 求 0 y 22 设 f x在 上有定义 且对任何 x y有 1 f xyf x f yf xxg x 其 中 0 lim 1 x g x 试证函数 f x在 内处处可导 23 设函数 f x在 1 1 上有定义 且满足 3 11xf xxxx 证明 0 f 存在 且 0 1 f 第三章练习题 模块一 微分中值定理 1 设 f x在区间 a b上连续 在 a b内可导 证明 在 a b内至少存在一点 使 bf baf a ff ba 2 设函数 f x在 a b上连续 在 a b内可导 且 0 f af b 求证 1 存在 a b 使 0 ff 2 存在 a b 使 0 ff 3 设不恒为常数的函数 f x在闭区间 a b上连续 在开区间 a b内可导 且 f af b 证明在 a b内至少存在一点 使得 0 f 4 利用泰勒公式计算极限 3 0 sincos lim sin x xxx x 模块二 导数的应用 5 xxxxfcossin 下列命题中正确的是 A 0 f是极大值 2 f是极小值 B 0 f是极小值 2 f是极大值 7 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 C 0 f 是极大值 2 f也是极大值 D 0 f是极小值 2 f也是极小值 6 设函数 yy x 由方程ln0yyxy 确定 试判断曲线 yy x 在点 1 1 附近的凹凸 性 7 函数2cosyxx 在区间 0 2 上的最大值为 8 函数 2x yx 在区间 01 上的最小值为 9 求曲线 xxyarctan 的渐近线 10 证明不等式 22 1ln 1 1 xxxxx 11 证明不等式 11 ln 1 0 1 x xx 第四章练习题 模块一 不定积分的概念和性质 1 计算下列不定积分 1 3 11xxdx 2 2 2 1 1 xx dx xx 3 3 2 x edx x 4 cos2 cossin x dx xx 5 sin cos21 x dx x 6 1 22 1 2 1 1 x ex f x x xx 求 f x dx 模块二 换元法和分部积分法 2 计算下列不定积分 1 2 35 2 3 xx x dx 2 secsectanxxx dx 3 1 1 cos2 dx x 4 2 1 x dx x 5 22 cos2 cossin x dx xx 6 1 cos sin x dx xx 8 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 精勤求学精勤求学 自强不息自强不息 7 4 sin cos 1 sin xx dx x 8 4 sec xdx 9 22 1 1 dx xx 10 1 1 x dx e 11 1 2 4 dx xx x 12 arctanxdx 13 2 ln 1xdx 14 dx x xx 2 1 arctan 15 22 1 12 xx dx 16 2 lnsin sin xdx x 3 设 2 sin sin1 xx fxf x dx xx 求 4 设 xf的一个原函数 sin x F x x 求 xfx dx 模块三 特殊类型函数的不定积分 5 计算下列有理分式的不定积分 1 1 1 1 n dxn x x 正整数 2 42 25 xdx xx 6 计算下列三角函数有理式的不定积分 1 1 sin dx x 2 4 3 cos 2 sin x x dx x 3 2 cossin cos xxxdx xx 4 cos cos2xxdx 5 33 sincosxxdx 6 22 sincosxxdx 7 设 2 2 2 1 ln 2 x f x x 且 ln fxx 求 x dx 8 设 F x为 f x的原函数 且当0 x 时 2 2 1 x xe f x F x x 已知 01 F 9 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 0F x 求 f x 第五章练习题 模块一 定积分 1 求导数 cos 2 sin cos x x f xtdt 2 求下列极限 1 2 0 0 cos lim x x t dt x 2 2 2 2 0 ln 1 0 2 0 ln 1 lim x x x tdt t dt 3 计算下列积分 1 1 0 x xe dx 2 1 0 arctanxxdx 3 1 0 limsin x n enxdx 4 1 sinln e xdx 5 2 0 sinnxdx 6 2 4 4 cossin cos x exx dx x 7 1 2 0 ln 1 2 x dx x 模块二 反常积分 4 计算下列反常积分 1 2 0 1 x dx e 2 3 23 12 dx xxx 3 2 3 ln x dx x 模块三 定积分的应用 10 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 精勤求学精勤求学 自强不息自强不息 5 计算由下列曲线围成的平面图形的面积 1 2 1 2 yx 与 22 8xy 2 2sin 6 计算下列几何体的体积 1 2 yx 与yx 所围成的图形绕x轴 2 22 5 16xy 绕x轴旋转 第六章练习题 模块一 一阶微分方程 1 求解下列微分方程 1 2 2 11x yy 2 0 cos 1 sin0 4 x x ydxeydyy 3 微分方程 3 1 2 dyyy dxxx 满足 1 1y 的特解为 y 4 2223 36640 xxydxx yydy 5 求初值问题 22 0 1 0 yxydxxdy y 的解 2 求微分方程 3 20yxdxxdy 满足 6 1 5 y 的解 模块二 二阶方程 3 求解下列微分方程 1 2 1 1 y x 2 2 1yy 3 450yyy 4 cos x yyex 11 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 5 2 2 0yxy 0 1y 1 0 2 y 6 2 8cos 0 0 ya ybx ab 4 设 F xf x g x 其中函数 f x g x在 内满足以下条件 fxg x g xf x 且 0 0 2 x ff xg xe 1 求 F x所满足的一阶微分方程 2 求出 F x的表达式 第七章练习题 模块一 向量代数 1 已知 3 2 5 2 baba 问 系数 为何值时 向量baBbaA 317 与 垂 直 2 求同时垂直于矢量kjibkjia35422 和的单位矢量 3 若nma 4 nmb2 nmc32 式中 2 1 2 nmnm又 化简表 达式123 cbbaca 4 设2Aab bakB 其中baba 2 1 问 1 k为何值时 BA 2 k为何值时 BA与为邻边的平行四边形面积为6 模块二 直线与平面 5 设直线 1 158 121 xyz L 2 60 230 xy L yz 则直线 12 L L的夹角为 A 6 B 4 C 3 D 2 6 两直线 1 3 234 xyz L 与 2 1 2 22 xt Lyt zt 的关系是 12 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 精勤求学精勤求学 自强不息自强不息 A互相垂直 B 斜交 C互相平行 D异面直线 7 设 111 222 333 abc abc abc 满秩 则两直线 333 1 121212 xaybzc L aabbcc 1 2 23 xa L aa 1 23 yb bb 1 23 zc cc 是 A 交于一点 B 重合 C 平行不重合 D 异面 8 设 12 11 1 11 2 yz LxLxyz I 若 12 LL 求 II 若 12 L L共面 求 9 设平面 过原点和点 6 3 2 M 且与平面 1 4 28xyz 垂直 求平面 的方程 10 求与两平面43xz 和251xyz 的交线平行且过点 0 3 2 5 M 的直线方程 11 设平面 过原点 且与直线 1 1 2 x yt zt 及 121 121 xyz 都平行 求 的方程 12 求点 3 2 6 A到直线 73 121 xyz 的距离 模块三 旋转曲面 柱面与曲面的投影 13 求曲线 zy zyx4 222 在各坐标面上的投影方程 14 求准线为 222 222 14 zyx zyx 母线为z轴的柱面方程 15 求直线 1 1 zyx zyx 在平面0 zyx上的投影方程 13 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 第八章练习题 模块一 多元函数的连续 可导与可微 1 设 22 yyxyxyxf 求 yxf 2 讨论极限 yx x ay x xy 2 1 1lim 3 讨论极限 24 2 0 0 lim yx yx y x 4 二元函数 f x y在点 00 x y处两个偏导数 0000 xy fxyfxy 存在是 f x y在该点连 续的 A 充分条件而非必要条件 B 必要条件而非充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分条件又非必要条件 5 已知 24 xy f x ye 则 A 0 0 x f 0 0 y f 都存在 B 0 0 x f 不存在 0 0 y f 存在 C 0 0 x f 不存在 0 0 y f 不存在 D 0 0 x f 0 0 y f 都不存在 模块二 偏导数的计算 6 计算下列各函数的一阶偏导数与全微分 1 arctan y z x 2 ln sincos xy zexy 3 tan ln arcsin zxyxy 7 假设 zf x y 由方程 2 0 tan z xy t edtxz 求 zz xy 8 假设 zf x y 由方程 322 sin cos z zxyex y 求dz 9 设 uf x y xyfz 可导 则 yx yzxz 10 计算下列偏导数 14 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 精勤求学精勤求学 自强不息自强不息 1 设 arctan y x ze 求 2z x y 2 设 lnsin xy zexy 求 2 2 z x 与 2 2 z y 3 设 2 cosarcsinzxyxyy 求 2z x y 11 设 uf x y z y z都是x的函数 满足tanyx 2 ln 0 xy z 且0 z 求 du dx 12 设 zz x y 是由方程 22 xyzxyz 所确定的函数 其中 具有 2 阶导数且 1 时 求dz 13 设函数 zf u 方程 x y uup t dt 其中u是 x y的函数 f uu 可微 p tt 连续 且 1u 求 zz p yp x xy 14 设 f u v是二元可微函数 y x zf x y 则 zz xy xy 15 计算下列函数在指定点沿指定方向的梯度与方向导数 1 函数 22 lnu x y zxyz 在点 1 0 1 A处的梯度 并计算在该点沿A点指向 3 2 2 B 点的方向的方向导数 2 设函数 222 1 61218 xyz u x y z 单位向量 1 1 1 1 3 n 求 1 2 3 u n 模块三 多元函数微分学的应用 16 计算下列函数的极值 1 11 f x yxy xy 2 4 f x yxyxy 15 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 17 求函数f x yxy 在圆周 22 1 10Lxy 上的最大值和最小值 18 曲面 2 2 2 x zy 平行于平面220 xyz 的切平面方程为 第九章练习题 模块一 二重积分 1 积分 222 0 y x dxedy 的值等于 2 设区域D为 222 xyR 则 22 22 D xy dxdy ab 3 设D是xOy平面上以 1 1 1 1 1 1 为顶点的三角形区域 1 D是D在第一象限的部分 则 cos sin D xyxy dxdy 等于 A 1 2cos sin D xydxdy B 1 2 D xydxdy C 1 4 cos sin D xyxy dxdy D 0 4 设函数 f x在区间 0 1 上连续 并设 1 0 f x dxA 求 11 0 x dxf x f y dy 5 计算二重积分 22 max xy D edxdy 其中 01 01 Dx yxy 6 设 0 0 2 22 yxyxyxD 1 22 yx 表示不超过 22 1yx 的最大整 数 计算二重积分 D dxdyyxxy 1 22 7 已知函数 f x y具有二阶连续偏导数 且 1 0fy 1 0f x D f x y dxdya 其中 01 01Dx yxy 计算二重积分 xy D Ixyfx y dxdy 8 设 函 数 f x在 0 1有 连 续 导 数 0 1f 且 tt DD fxy dxdyf t dxdy 0 0 01 t Dx yytxxtt 求 f x的表达式 模块二 三重积分 9 计算三重积分 xz dV 其中 是由曲面 22 zxy 与 22 1zxy 所围成的区 域 16 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 精勤求学精勤求学 自强不息自强不息 10 计算 22 Ixy dV 其中 为平面曲线 2 2 0 yz x 绕z轴旋转一周形成的曲面与平面 8z 所围成的区域 模块三 对弧长的曲线积分 11 已知曲线 2 02L yxx 则 L xds 12 设平面曲线L为下半圆周 2 1 yx 则曲线积分 22 L xy ds 模块四 对坐标的曲线积分 13 设曲线 1L f x y f x y具有一阶连续偏导数 过第 象限内的点M和第 象限 内的点N T为L上从点M到点N的一段弧 则下列小于零的是 A d T f x yx B d T f x yy C d T f x ys D d d xy T fx yxfx yy 14 计算曲面积分 22 4L xdyydx I xy 其中L是以点 1 0为中心 R为半径的圆周 1R 取 逆时针方向 15 已知平面区域 0 0Dx yxy L为D的正向边界 试证 1 dxyedyxedxyedyxe x L yx L ysinsinsinsin 2 sinsin2 2 yx L xedyyedx 16 设函数 y 具有连续导数 在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上 曲线积分 L yx xydydxy 42 2 2 的值恒为同一常数 I 证明 对右半平面0 x 内的任意分段光滑简单闭曲线C 有 0 2 2 42 C yx xydydxy II 求函数 y 的表达式 17 设函数 Q x y在xoy平面上具有一阶连续偏导数 曲线积分 17 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 2 L xydx Q x y dy 与路径无关 并且对任意t恒有 11 0 00 0 2 2 tt xydxQ x y dyxydxQ x y dy 求 Q x y 18 设函数 f x在 内具有一阶连续导数 L是上半平面 0y 内的有向分段光滑 曲线 其起点为 a b 终点为 c d 记 22 2 1 1 1 L x Iy f xydxy f xydy yy 1 证明曲线积分I与路径L无关 2 当abcd 时 求I的值 19 确定常数 使在右半平面0 x 上的向量 42242 2A x yxy xyixxyj 为某二元函数 u x y的梯度 并求出 u x y 20 设曲线积分 2 C xy dxyx dy 与路径无关 其中 x 具有连续的导数 且 0 0 计算 1 1 2 0 0 xy dxyx dy 的值 21 已知L是第一象限中从点 0 0沿圆周 22 2xyx 到点 2 0 再沿圆周 22 4xy 到 点 0 2的曲线段 计算曲线积分 23 32 L Jx ydxxxy dy 22 设L是柱面方程 22 1xy 与平面 zxy的交线 从z轴正向往z轴负向看去为逆时针 方向 则曲线积分 2 2 L y xzdxxdydz 模块五 对面积的面积积分 23 设 2222 0 S xyza z 1 S为S的第一卦限中的部分 则有 A 1 4 SS xdSxdS B 1 4 SS ydSxdS 18 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 精勤求学精勤求学 自强不息自强不息 C 1 4 SS zdSxdS D 1 4 SS xyzdSxyzdS 24 设曲面 1xyz 则 dxyS 25 设 0 0 0 1 zyxzyxzyx则 2 y dS 模块六 对坐标的曲面积分 26 计 算 曲 面 积 分 dd2dd3ddIxzyzyzzxxyxy 其 中 为 曲 面 2 2 1 01 4 y zxz 的上侧 27 设曲面 是 22 4zxy 的上侧 则 2 xydydzxdzdxx dxdy 28 计算曲面积分 323232 xazdydzyaxdzdxzaydxdy 其中 为上半球面 222 zaxy 的上侧 29 计算曲面积分 2 s xz dydzzdxdy 其中S为有向曲面 22 01zxyz 其法 向量与z轴正向的夹角为锐角 30 计算 2 1 222 2 axdydzzadxdy xyz 其中 为下半球面 222 zaxy 的上侧 a为大 于零的常数 31 计算曲面积分 1 322 233 dxdyzdzdxydydzxI 其中 是曲面 0 1 22 zyxz的上侧 第十章练习题 模块一 常数项级数 1 判断下列级数的敛散性 19 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 1 1 1111 121321 nnnnn 2 1 11 sin n nn 3 1 2 n n n n n 4 2 1 1 0 0 n ab anbnc 5 2 1 1 1 n n n a n 其中 2 1 n n a 收敛 2 设 1n n a为正项级数 下列结论中正确的是 A若lim0 n n na 则级数 1n n a收敛 B若存在非零常数 使得 n n nalim 则级数 1n n a发散 C若级数 1n n a收敛 则0lim 2 n n an D若级数 1n n a发散 则存在非零常数 使得 n n nalim 3 1 3 0 1 sin 1 1 n n n kx dx x k为常数 A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 敛散性有k有关 4 设 1 2a 1 11 1 2 3 2 nn n aan a 证明 1 lim n n a 存在 20 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 精勤求学精勤求学 自强不息自强不息 2 级数 1 1 1 n n n a a 收敛 模块二 幂级数 5 求下列函数项级数的收敛域 1 1 2 n n x n 2 2 1 0 0 nn n n ab xab nn 6 将下列函数在指定点展成幂级数 并计算收敛域 1 sinx展成 4 x 的幂级数 2 将函数 21ln 2 xxy 展成x的幂级数 7 求幂级数 2 02 n n x n 的和函数 f x 8 求幂级数 2 1 1 1 21 n n x n 在区间 1 1 内的和函数 S x 9 将函数 1 2 arctan 1 2 x f x x 展开成x的幂级数 并求级数 0 1 21 n n n 的和 21 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 课后习题答案 第一章练习题答案 模块一 函数 1 C 2 A 3 1 函数定义域为 1 00 1 2 函数定义域为 00 1 3 函数定义域为 1 ee 4 f x的值域为 1 0 ln3 2 5 1 原函数的反函数为 33 2 2 yxx 2 原函数的反函数为 1 1 x x e yxR e 6 1 偶函数 2 既不是奇函数也不是偶函数 3 偶函数 4 偶函数 5 既不是奇函数也不是偶函数 6 偶函数 模块二 极限 7 D 8 A 9 B 10 ln 1xx 0 x 11 2 e 12 cosa 13 2 2 22 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 精勤求学精勤求学 自强不息自强不息 14 2008 f 15 1 ln 2 a 16 1 17 3 e 18 1 0 ln xe f x x xe 19 lim2 n n x 20 2 e 21 1 22 1 12 2 0 lim nxxnx x x eee e n 模块三 连续 23 1 f x在1x 处不连续 2 f x连续的区间是 0 11 3 24 1x 为连续点 1x 为 f x的跳跃间断点 25 1 000 0 lim lim 1lim 1 nn mx mn xmxx xxx ff xmxmxe 26 1 1x 是 f x的可去间断点 2 0 x 是 f x的可去间断点 3 先找 可疑点 f x所有可能的间断点包括 分段点0 x 在0 x 部分 使得分母cosx为零的点 1 2 3 2 xkk 在0 x 部分 使得分母 2 1x 的点1x 现一一讨论 对 于0 x 2 00 1 lim limsinsin1 1 xx f x x 00 11 lim lim 2cos2 xx f x x 由 于 23 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 00 lim lim xx f xf x 可知0 x 为 f x的跳跃间断点 对 于 1 2 3 2 xkk 由 于 22 11 lim lim 2cos0 xkxk f x x 可 知 1 2 3 2 xkk 为 f x的无穷间断点 对于1x 2 11 1 lim limsin 1 xx f x x 由于当0 x 时 2 1 1x 此时 2 1 sin 1x 的 极限不存在 且不为 同理可以说明 1 lim x f x 不存在且不为 可知1x 为 f x的振荡间 断点 第二章练习题答案 模块一 可导与可微 1 1 2 3x 2 1 2 x 3 0 2 13 22 ab 3 0 n f存在的最高阶数n为 2 4 1 0 fx 2 0 fx 模块二 求导法则 5 A 6 C 7 D 8 B 9 C 10 B 11 C 24 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 精勤求学精勤求学 自强不息自强不息 12 A 13 2 f 22 2 limlim2 22 xx f xff x xx 14 2 3 coscos sinsin 2ln sin sin xx yxxx x 15 lim n n f 11 lim 1 n n ne 16 33 sin sin 3 4242 n nn xx 17 3ln3333 3 333 3 ln fxuuuu dx dye due duef t dtef tfx edx xx 18 dy cossin sinsin yxxy dx xyx 19 k 20 dx dy 2 2 ln ln xxyx yxyy 21 2 2 12 1 0 e ee y ee 22 f x在 内处处可导 23 0 0 lim 0 1 0 x f xf f x 第三章练习题答案 模块一 微分中值定理 1 证明 做辅助函数 F xxf x 则 F x在 a b上满足拉格朗日中值定理的条件 因 此 在 a b内至少存在一点 使 F bF a F ba 由于 F xf xxfx 可见 bf baf a ff ba 2 证明 对此类结果的证明 往往是构造一个函数并对其使用罗尔定理 1 设 xxf x 则 x 在 a b上连续 在 a b内可导 且 0 ab 由罗尔定 25 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 理得 存在 a b 使 0 即 0 ff 2 设 2 2 x F xef x 则 F x在 a b连续 在 a b内可导 且 0 F aF b 由罗尔 定理得 存在 a b 使 22 22 0 Fefef 即 0 ff 3 证明 因为 f af b 且 f x不恒为常数的 故至少存在一点 ca b 使得 f cf a 1 若 f cf a 则至少 a c 使 f cf afca 即 0 f cf a f ca 2 若 f cf af b 则至少 c b 使 0 f bf c f bc 4 1 3 模块二 导数的应用 5 B 6 曲线 yy x 在点 1 1 附近是凸的 7 3 66 y 8 2 1 e ye e 9 1 2 yx 是 x时的斜渐近线 1 2 xy 是 x时的斜渐近线 10 略 11 略 26 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 精勤求学精勤求学 自强不息自强不息 第四章练习题答案 模块一 不定积分的概念和性质 1 1 35 3 22 122 335 xxxxC 2 lnarctanxxC 3 23ln x exC 4 sincosxxC 5 1 sec 2 xC 6 1 1 2 2arctan3 1 2 x eC x f x dx xC x x 模块二 换元法和分部积分法 2 1 52 2 2 3 ln 3 x xC 2 tansecxxC 3 1tan 2 xC 4 135 222 42 2 35 xxxC 5 cottanxxC 6 lnsinxxC 7 2 1 arctansin 2 xC 8 3 1 tantan 3 xxC 9 2 1x C x 10 2arctan1 x eC 11 122 ln 22 4 x C xx x 12 1 arctanxxxC 13 2 ln 122arctanxxxxC 14 22 1arctanln 1 xxxxC 15 2 arctan 1 x C x 16 cot lnsincotxxxxC 3 2 1arcsin2xxxC 4 2sin cos x xC x 模块三 特殊类型函数的不定积分 5 1 1111 ln 11 n n nnn x dxC nxxnx 2 2 11 arctan 42 x C 6 1 1 tan cos xC x 2 2 11 csccot 8242 xx xC 3 cos x C xx 4 11 sinsin3 26 xxC 5 46 11 sinsin 46 xxC 6 sin4 832 xx C 7 2ln 1 xxC 27 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 8 3 2 2 1 x xe f x x 第五章练习题答案 模块一 定积分 1 22 sin cos cos cos cos sin xxxx 2 1 1 2 1 3 1 1 1 2e 2 1 42 3 0 4 1 1cos1sin1 2 ee 5 221 21 2 2 2 21 nn nn II nn 6 3 884 2ee 7 1 ln2 3 模块二 反常积分 4 1 1 ln2 2 2 3 128 3 1 1ln3 3 模块三 定积分的应用 5 1 1 4 2 3 A 2 4 6 3 A 2 2 A 6 1 3 10 V 2 2 160V 第六章练习题答案 模块一 一阶微分方程 1 1 sin arcsin yxC 2 2 cos 1 4 x ye 3 1ln x x y 4 积分曲线为 3224 3xx yyC 5 2 2 1 yy x xx 2 3 1 5 yxx 模块二 二阶方程 3 1 2 12 arctanln 1yxxxC xC 2 12 ln cos yxCC 3 2 12 cossin x yeCxCx 4 12 1 cossinsin 22 x x yCxCxex 28 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 精勤求学精勤求学 自强不息自强不息 5 12 ln1 2 2 22 x yx x 6 12 4 sincossiny xxaxCaxCax a 4 1 2 24 x F xF xe 2 22xx F xee 第七章练习题答案 模块一 向量代数 1 40 2 1 1 2 2 3 3 74 4 1 2k 2 5k 或1k 模块二 直线与平面 5 C 6 B 7 A 8 1 3 2 3 2 9 2230 xyz 10 1 5 3 2 4 3 zyx 11 0 xyz 12 3 5 AM d s s 模块三 旋转曲面 柱面与曲面的投影 13 在xoy平面上的投影 0 42 22 z yx 在xoz平面上的投影 0 42 22 y zx 29 让有理想的人更加卓越 让有理想的人更加卓越 在yoz平面上的投影 0 x zy 当0 xyz 时 42 2 y 2 y 14 135 22 yx 15 0 01 zyx zy 第八章练习题答案 模块一 多元函数的连续