第1章 有理数.doc

第一章、有理数1.1 正数和负数（1）、正数与负数的概念：（1）正数：大于0的数叫做正数；（2）负数：在正数前面加上“”号，表示比0小的数叫做负数； （3）0即不是正数也不是负数.正数：a0 负数：a0 非正数a 0 非负数a0（2）、正数与负数的意义具有相反意义（3）、正数和负数的表示方法：一般地，我们把上升、运进、零上、收入、前进、高出、等规定为正的，而与它相反的量，如：下降、运出、零下、支出、后退、低于、等规定为负的。注意：正数、负数和0都有意义，有正负数表示时正负号不能省略还要带上单位。 例如：如果向东为正，向东走30m，记作： ，则 -50m表示的意义是： （4）、用正负数表示允许误差：以一标准量为分界线，在比标准量多一点或比标准量少一点的范围内都是合格的！它用来判断产品是否合格。例如：.一种零件的内径尺寸在图纸上是90.05(单位:mm),表示这种零件的标准尺寸 ,加工要求最大不超过标准尺寸 ?最小不小于标准尺寸 。1.2 有理数（1）、有理数的分类：（1）按定义分类： （2）按性质符号分类： 注意：分数包括有限小数和无限不循环小数，不是有理数。例如：1.把下列各数填在相应额大括号内：1，0.1，-7，25，0，-20，-3.14，-590，正整数集 负分数集 非负数集 2. 判断 不带“”号的数都是正数 ( )如果a是正数，那么a一定是负数 ( )不存在既不是正数，也不是负数的数 ( )表示没有温度 ( )（2）、数轴1、数轴的概念：一般地，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。2、数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。3、数轴的画法：（1）在直线上任取一点表示数0（叫做原点）；（2）规定直线上从原点向右（向上）为正方向，从原点向左（向下）为负方向，并在正方向末端标上箭头（3）选取适当长度作为单位长度，从原点开始依次向左向右取相等的长度单位，就得到数轴。在数轴的上方标出所表示的数。例如：1、写出下列各数的相反数-2，1，3.5， 0把这些数和它们的相反数用数轴上的点表示，并用“”号连接。 2、已知：若a0，b0，ba，试把a、-a、b、-b四个数用“”号按从小到大的 顺序连接起来。 3、若有理数a、b在数轴上对应点如右图所示，则下列错误的是( )。A.b-a B.a-bC. ba D.ab（3）、相反数：1、相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；例如：-3和3互为相反数，-3的相反数是 ，3的相反数是 。2、相反数的表示方法：在一个数的前面添一个“-”号表示这个数的相反数；a 的相反数表示为-a。3、相反数的性质：互为相反数的两个数的和为0 ，即如果a、b互为相反数，那么a+b=0。例如：判断互为相反的两个数在数轴上位于原点两旁（ ）在一个数前面添上“-”号，它就成了一个负数（ ） 只要符号不同，这两个数就是相反数（ ）4、多重符号的化简：数这个数中“-”号的个数，“-”号的个数为偶数结果为正，为奇数结果为负。例如： -（+5）=-5，-（-3）=3， -（+5）=5， -+（-7）= （4）、绝对值1、绝对值的几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。记作|a|。2、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母a表示如下：3、绝对值的性质：任何一个数的绝对值都是非负数，即正数和0，表现出绝对值的非负性。即|a|04、有理数比较大小：在数轴上比较时，右边的数总比左边的数大，大数-小数 0，小数-大数 0 两个正数比较大小，绝对值大的数就大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小；一正一负比较大小，正数大于一切负数。例如：1、24= . 3.1= ， 0= .2、若|a|3，则a_；，则|a+1|0，则a_。3、若|a-5|+|b+3|0，则a _，b_ _。4、数a和b的绝对值分别为2和5，且在数轴上表示a的点在表示b的点左侧，则b的值为 5、 0.3 564 ； 1.3有理数的加减法（1）有理数的加法1、有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； a0 b0 则a+b=|a|+|b|；那么ab 0 a0 b0 则a+b=-（|a|+|b|）；那么ab 0绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0； a0 b0且|a|b| 则a+b=|a|-|b|；那么ab 0 a0 b0且|a|b| 则a+b=-（|a|-|b|）；那么ab 0一个数同0相加，仍得这个数. 例如1填空：（1）（3）+（5）= ； （2）3（5）= ；（3）5+（3）= ； （4）7（7）= ；（5）8（1）= ； （6）（8）1 = ；（7）（6）+0 = ； （8）0+（2） = ； 2、足球循环赛中,红队胜黄队4： 1，黄队胜蓝队1 ：0，蓝队胜红队1： 0，计算各队的净胜球数。解：每个队的进球总数记为正数，失球总数记为负数，这两数的和为这队的净胜球数。三场比赛中，红队共进4球，失2球，净胜球数为（+4）+（2）=+（42）=2； 黄队共进2球，失4球，净胜球数为（+2）+（4）= （42）= 蓝队共进 球，失 球，净胜球数为 = 2、有理数加法的运算律：加法的交换律 ：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 a+b=b+a；加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。( a+b ) +c = a + (b +c)注意：用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加.例如1（1）4.4（8）11（0.1）；（2）（2）有理数的减法1、有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. ab=a+（b） a（b）=a+b注意：有理数减法常见的错误：没有顾到结果的符号；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数.例如：1、 (1) (3)(5); (2)07;(3) 7.2(4.8); (4)32、有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法运算；省略加号和括号；运用加法的交换律和结合律将同号进行相加；再按有理数的加法法则进行计算。 例如：1、计算4.4（4）（2）（2）12.4（7）（+5）+（4）（10） 2、填空27（-18）+（7）（+32） 省略括号的和的形式： 1.4有理数的乘除法（1）有理数的乘法1、有理数乘法的法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0. 例如：1、（1） 23 = ； （2）（2）6 = ；（3）（3）（3）= ； （4）（2）（8）= ；（5） （6） .（7） （6）0= .2、倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数，即ab=1，那么a和b互为倒数；倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来.注意：一个数的倒数与它的符号没有关系；求带分数的倒数，先把带分数化成假分数，或者求一个小数的倒数，先把小数化成分数，再将分子分母颠倒位置。0没有倒数。例如：1、写出下列各数的倒数 1， 1， 5， 5， 1， 0， 0.7， -3.23、多个因数相乘的计算规律：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；再将它们的绝对值相乘。多个数相乘，其中有一个因数为0，积就为0.例如：1、1） （1）（2）3 2） （4）（0.5）（3）3）、58（7）（0.25） 4）、5）、4、有理数乘法的运算定律：乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变 ab=ba；乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变(ab)c=a(bc)；乘法分配律：一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加。 a(b+c)=ab+ac.例如：1、（）30； （2）、有理数的除法1、有理数的除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.除法法则也可以看成是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不为0的数都得0. 8（4）（3）、有理数的乘方1、有理数的乘方的定义：求几个相同因数a的运算叫做乘方，乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做“”其中a叫做底数，表示相同的因数，n叫做指数，表示相同因数的个数，它所表示的意义是n个a相乘，不是n乘以a，乘方的结果叫做幂.2、正数的任何次方都是正数，负数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数（4）、有理数的混合运算1、进行有理数混合运算的关建是