第一章 集合与函数概念（规律方法与数学思想）.docVIP

第一章集合与函数概念1.1集合【入门向导】渔民与数学家的故事一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义，于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请您告诉我，集合是什么？”集合是不定义的概念，数学家很难回答那位渔民，有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下鱼网，轻轻一拉，许多鱼虾在网中跳动数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”这一网鱼虾可以构成一个集合，网中的这些鱼也可以构成一个集合，这些虾也可以构成一个集合，那将形成鱼虾集合、鱼集合与虾集合，这三个集合之间又有怎样的关系呢？同学们，你能告诉渔民吗？解读集合的有关概念一、注意集合的概念与“全体”的区别集合的概念是现代数学中不定义的原始概念集合的概念虽然也含有“全体”的意思，但是与通常所理解的全体是有区别的，集合中的元素必须是确定的，必须能判断任何一个对象是不是它的元素，而全体则不一定能成为一个集合例如，“我校高一学生中高个子同学的全体”就不能构成集合，而“我校高一学生中所有身高高于170厘米的同学的全体”则能构成集合二、加强对集合元素的三大特性的理解1确定性：对于一个集合中每一个元素都是可以客观的用一个标准明确地来判断该元素是或不是集合中的元素如上述“高个子同学”并没有明确的标准来判断身高为多高是“高个子”，即集合中的元素是不确定的2互异性：所谓互异是指集合中的元素必须是互不相同的，不会有完全相同的元素在解题中尤其要注意对结果进行检验，不能忽视例1 已知x21,0，x，求实数x的值解若x20，则x0，此时集合为1,0,0，不符合集合中元素的互异性，舍去若x21，则x1.当x1时，集合为1,0,1，舍去；当x1时，集合为1,0，1，符合若x2x，则x0或x1，不符合互异性，都舍去综上可知：x1.3无序性：集合是一个整体，集合中的元素排列是没有顺序限制的，所以同学们应知道集合a，b，c，b，a，c，c，b，a都是同一集合为帮助同学们记忆，特总结口诀如下：集合平常很常用，数学概念各不同；理解集合并不难，三个要素是关键；元素确定与互异，还有无序要牢记三、注重对空集概念的理解一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.空集是特殊的集合，不含有任何元素，规定它是有限集注意空集和集合0是不同的，是不含任何元素的集合，而0表示只含有一个元素“0”的集合和也是不一样的，是不含任何元素的集合，表示只含有一个字母“”的集合，也可以看作由作为元素构成的集合四、正确理解集合与集合的关系集合与集合之间是包含关系，它反映出了“一个整体”相对于另“一个整体”之间的关系包含关系有三种：子集、真子集和相等1“集合A是集合B的子集”，意思是集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，但不能把“集合A是集合B的子集”理解为集合A是由集合B中部分元素组成的集合，因为空集和集合B都是集合B的子集2“集合A是集合B的真子集”有两层含义，一是集合A是集合B的子集，二是集合A与集合B不相等，即集合B中至少有一个元素不属于集合A.3要证明AB，只需要证明AB且BA成立即可即可设任意x0A，证明x0B从而得出AB.又设任意y0B，证明y0A从而得到BA，进而得到AB.例2 已知集合Ax|xk，kZ，Bx|xk，kZ，判断集合A与集合B是否相等可用列举法解之解即A，B，观察可知，AB.4若集合A中含有n个元素，则集合A有2n个子集，有2n1个真子集，有2n2个非空真子集集合易错点剖析一、符号意义不清致错例3 已知集合X0,1，Yx|xX，那么下列说法正确的是()AX是Y的子集BX是Y的真子集CY是X的真子集 DX是Y的元素错解B剖析集合中符号意义必须清楚正解因为Yx|xX，0，1，0,1，所以XY.故选D.二、代表元素意义不清致错例4 集合Ay|yx2，xR，B(x，y)|yx2，xR，则AB()A(1,1)，(2,4) B(1,1)C(2,4) D错解由得或故选A.剖析导致错误的原因是没有弄清集合中元素的意义，A中的元素是实数y，而B中的元素是实数对(x，y)，也就是说，集合A为数集，集合B为点集，因此A、B两个集合中没有公共元素，从而这两个集合的交集为空集正解D三、忽视集合元素的互异性致错例5 已知集合A2,3，a24a2，B0,7，a24a2,2a，且AB3,7，求集合B.错解由AB3,7得a24a27，解得a1或a5.当a1时，集合B0,7,3,1；当a5时，集合B0,7,3综上知集合B0,7,3,1或B0,7,3剖析由题设条件知集合B中有四个元素，当集合中出现了相同的元素，与集合中元素的互异性矛盾，导致错解正解应将当a5时的集合B0,7,3舍去，故集合B0,7,3,1四、忽视空集致错例6 已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若BA，求实数m的取值范围错解由BA，得，解得2m3.剖析上述解法是初学者解此类问题的典型错误解法原因是考虑不全面，由集合B的含义及BA，忽略了集合为的可能而漏掉解因此题目若出现包含关系时，应首先想到有没有出现的可能正解Ax|2x5，Bx|m1x2m1，且BA.若B，则m12m1，解得m2m1，即m4.故满足条件的m的取值范围是m4.3根据子集的性质分类讨论含参数的集合问题，这类问题是集合部分中最常见的分类讨论题解题时注意把集合的运算关系转译为包含关系，常需对已知集合的子集元素的个数进行分类讨论例3 已知集合Ax|x23x20，Bx|x2axa10且ABA，求实数a的值分析解此题可先由ABA，得出BA，然后对集合B中的元素个数进行分类讨论解Ax|x23x201,2由ABA，得BA(1)B时，a24a40这样的a不存在；(2)B1时，a2；(3)当B2时，这样的a不存在；(4)当B1,2时，a3.由(1)(2)(3)(4)得：a2或a3.分类讨论的数学思想是解集合题经常会遇到的一种思想方法，分类要恰当、合理，做到“不重不漏”解题时应特别注意对集合元素的特性的检验，特别注意空集是任何集合的子集，不可忽视空集的特殊情况含参数的集合问题，注意把集合的运算关系转化为包含关系，克服分类讨论中的主观性和盲目性二、数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易、化抽象为具体通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题集合中常用的方法是数轴法和Venn图法1运用数轴例4 已知集合Ax|x1，或x1，Bx|2axa1，a1，BA，求实数a的取值范围解a1，2aa1，B.画出数轴分析，如图所示由图知要使BA，需2a1或a11，即a或a2.又a1，实数a的取值范围是(，2，1)点评解此类题要注意是否包括端点临界值2运用Venn图例5 已知全集Ux|x250，xN，L(UM)1,6，M(UL)2,3，U(ML)0,5，求集合M和L.解第一步：求得全集Ux|x250，xN0,1,2,3,4,5,6,7；第二步：将L(UM)1,6，M(UL)2,3，U(ML)0,5中的元素在Venn图中依次定位；第三步：将元素4,7定位；第四步：根据图中的元素位置，得集合M2,3,4,7，集合L1,4,6,7点评集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助Venn图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化，从而使问题获解例6 高一(2)班共有50名同学，参加物理竞赛的同学有36名，参加数学竞赛的同学有39名，且已知有5名同学两科竞赛都没有参加，问只参加数学竞赛不参加物理竞赛的同学有多少名？解设参加物理竞赛的同学组成集合A，参加数学竞赛的同学组成集合B，并设两科竞赛都参加的同学组成的集合AB中有x个元素，则各部分人数分布如图所示，则(36x)x(39x)550，解得x30，所以39x9，即只参加数学竞赛不参加物理竞赛的同学有9名点评应熟知集合AB、A(UB)、(UA)B、(UA)(UB)分别对应Venn图中的哪部分区域三、等价转化思想在解决一些集合问题时，当一种集合的表达形式不好入手时，常将其转化为另一种形式，使问题明朗化，如“A是B的子集”、“ABA”、“ABB”、“AB”等都是同一含义另外，集合中数学语言的常见形式主要有三种，即文字语言、符号语言、图形语言，它们可以相互转化，通过合理的转化，往往能简捷迅速地得到解题思路例7 已知U(x，y)|xR，yR，A(x，y)|xy1，B，求(UB)A.解集合U(x，y)|xR，yR是平面上所有点的集合；集合A是直线xy1上的点的集合；集合B是直线xy1上的点的集合，但要除去点(1,0)；而UB表示点(1,0)以及平面上除了直线xy1上的所有点以外的点，所以(UB)A对应的元素为(1,0)，即(UB)A(1,0)点评在相互转化的过程中要注意转化的等价性四、特殊化思想特殊化思想是一种重要的数学思想，对于许多较抽象的集合问题，灵活地取一些符合条件的特殊集合，往往能起到化繁为简、化难为易的功效另外，特殊值法解选择题是特殊与一般思想在解题中的具体应用，相当于增加题设条件，可使问题简单化例8 设集合Mx|x，kZ，Nx|x，kZ，则()AMNBM是N的真子集CN是M的真子集 DMN答案B解析由N，而D/M，排除A，C；又N，且M，再排除D.故选B.点评很多选择题都可以取特殊值来迅速求解五、补集思想已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求UA，再由U(UA)A求A.补集作为一种思想方法，给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能会“柳暗花明”我们平日说的“正难则反”这一策略就是对补集思想的应用，是指当某一问题从正面解决较困难时，可以从其反面入手解决，从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，是转化思想的又一体现例9 已知集合Ax|x24mx2m60，Bx|x0，则f(x21)(x21)21x42x22.四、求函数的定义域与值域例4 求函数y的定义域分析我们目前要考虑定义域主要考虑下列各种情形：偶次根式的被开方数为非负数；分式的分母不能为零；幂指数为零时，底数不能为零；自变量本身的实际意义等解根据题意得解之得x2且x3.所以函数的定义域为x|x2且x3例5 已知yf(x1)的定义域为1,2，求下列函数的定义域：(1)f(x)；(2)f(x3)；(3)f(x2)分析本题为根据题中的已知条件求函数的定义域，应根据自变量的特点求解解(1)f(x1)的定义域为1,2，即1x2，2x13，即f(x)的定义域为2,3(2)f(x)的定义域为2,3，2x33.5x6.即f(x3)的定义域为5,6(3)f(x)的定义域为2,3，2x23，x或x，即f(x2)的定义域为，点评(1)若yf(x)的定义域为a，b，则f(g(x)的定义域是ag(x)b的解集；(2)已知f(g(x)的定义域为a，b，则当xa，b时g(x)的函数值的取值集合就是f(x)的定义域例6 下列函数中，值域为(0，)的是()AyBy2x1(x0)Cyx2x1Dy分析求函数的值域方法很多，但目前我们只要会求一些简单函数的值域即可解析A由于x23x1(x)2，所以y的值域为0，)；By2x1函数值y随着x增大而增大，所以y2x1(x0)值域为(1，)；Cyx2x1(x)2，则yx2x1的值域为，)；Dy，x0，x20，则y0.故只有选项D正确答案D学习“函数的表示方法”应注意的几个细节函数有三种常用的表示法：列表法、图象法和解析法，三种表达形式在本质上都揭示了量与量之间的函数关系，我认为学好本节内容应从以下几个细节入手：(1)要学会用不同的方式表示函数，并能将其相互转化，转化时应注意式子要恒等变形，否则定义域及值域都可能发生变化(2)已知函数类型，求函数解析式最常用方法是待定系数法，解题关键在于简略地列出方程组求解系数，但在很多求解析式的问题中，不确定给出哪一种类型的函数，此时就要另寻捷径(3)换元法与整体替换法是求解一类函数解析式的通法，但要注意引入“元”的范围，即定义域问题(4)学习分段函数时，要注意分段函数是一个函数而不是几个函数这一细节，分段函数具有很强的抽象性，在解决有关分段函数的有关问题时，不要被其表面形式所迷惑(5)解决抽象函数的有关问题的基本方法是：给变量赋予特殊值，从而使问题具体化、简单化，减少变量个数，找到解题规律，达到求出函数解析式的目的至于给变量赋予怎样的特殊值，则应根据题目的结构特征来确定(6)理解映射的定义，进一步理解函数的实质两个非空数集间的一种映射认识我的“三古怪”映射我叫映射，是两个集合间元素与元素的对应关系我本身由三部分构成，即“原象的集合A”、“象的集合B”和“从集合A到集合B的对应关系f”我的脾气有点古怪，下面介绍一下我自己例7 判断下列对应是否是集合A到集合B的映射(1)已知集合A1,2,3,4，且集合B3,4,5,6,7,8,9，对应关系为f：x2x1；(2)集合AZ，BN*，对应关系f：ab(a1)2；(3)已知集合A0,1,2,4，集合B1,4,9,25，f：ab(a1)2.分析判断对应是否是集合A到集合B的映射，首先应看集合A的原象是否都在集合B内有且仅有唯一的象解(1)A1,2,3,4的元素在对应关系f：x2x1的作用下在B3,4,5,6,7,8,9中都能找到唯一的象，故此对应为映射同理可知(3)也是映射(2)中集合AZ的元素“1”在集合BN*中找不到象，故不是映射点评同学们在判断两个集合间的对应关系是不是映射时，首先得看清原象集合中的元素，在对应关系f的作用下是否都有象，再看原象所对应的象是否唯一例8 判断下列对应是否是映射，有没有对应关系，并说明理由分析这是一道图表信息题要判断对应是不是映射，先要弄清图中传达的信息解图(1)中元素b有两个象，故不是映射；图(2)中元素d没有象，故不是映射；而图(3)中元素d是象，它可以没有原象，故是映射图(3)给出的对应有对应关系，对应关系是用图形表示出来的点评在判断图表信息给出的对应关系是否是映射时，由于对应关系不明显，元素间的对应关系是通过图象反映出来的，做题前应先弄清哪一个是原象的集合，哪一个是象的集合，再进行合理判断例9 集合Mx|0x2，Ny|0y0)在定义域为实数集时适用正解yx22x(x1)21，x1,2由图象知，当1x1时，y随x的增大而减小；当1x2时，y随x的增大而增大并且当x1时，y取最大值3；当x1时，y取最小值1.从而知1y3，即函数yx22x，x1,2的值域是1,3.函数解析式求解的常用方法一、换元法例1 已知f(1)x2，求f(x)分析采用整体思想，可把f(1)中的“1”看做一个整体，然后采用另一参数替代解令t1，则x(t1)2(t1)，代入原式有f(t)(t1)22(t1)t21.f(x)x21(x1)点评将接受对象“1”换作另一个元素(字母)“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便求出关于“t”的函数关系，此即为函数解析式，但在利用这种方法时应注意自变量取值范围的变化，否则就得不到正确的表达式此法是求函数解析式时常用的方法二、待定系数法例2 已知f(x)为二次函数，且f(x1)f(x1)2x24x，求f(x)的表达式解设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x1)f(x1)a(x1)2b(x1)ca(x1)2b(x1)c2ax22bx2a2c2x24x.故有解得所以f(x)x22x1.点评若已知函数是某个基本函数，可设表达式的一般式，再利用已知条件求出系数三、方程消元法例3 已知：2f(x)f()3x，x0，求f(x)解2f(x)f()3x，用去代换式中的x得2f()f(x).由2得f(x)2x，x0.点评方程消元法是指利用方程组通过消参、消元的途径达到求函数解析式的目的四、赋值法例4 设f(x)是R上的函数，且满足f(0)1，并且对任意实数x，y，有f(xy)f(x)y(2xy1)，求f(x)的表达式解令xy得f(0)f(x)x(2xx1)1，所以f(x)x2x1.点评有些函数的性质是用条件恒等式给出的，有时可以通过赋值法使问题得以解决分段函数题型归纳有些函数在其定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几条线段而分段函数的值域也是各部分上的函数值的取值集合的并集，最好的求解办法是“图象法”重要的是，分段函数虽由几部分构成，但它代表的是一个函数解决分段函数问题的基本思想是“分段归类”，即自变量在哪一段就充分利用这一段的函数解析式来分析解决问题既要紧扣“分段”特征，又要将各段有机联系使之整体化、系统化一、分段函数的求值例5 已知函数f(x)则fff(2)_.解析21，f(2)2(2)31.又111，ff(2)f(1)(1)21.又111，fff(2)f(1)121.答案1点评求分段函数的函数值时，一般先确定自变量的取值在定义域的哪个子区间，然后用与这个子区间相对应的关系式求函数值二、求分段函数的解析式例6 已知函数f(x)求f(x1)解当x10即x1时，f(x1)；当x10即x1时，f(x1)(x1)2.所以f(x1)三、分段函数的图象例7 函数f(x)x的图象是()解析因为f(x)x故选C.答案C点评本例为已知函数的解析式，确定选择分段函数的图象问题四、分段函数的实际应用例8 从甲同学家到乙同学家的中途有一个公园，甲、乙两家到该公园的距离都是2 km，甲10点钟出发前往乙家，如图所示表示甲从自家出发到乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分钟)的关系依图象回答下列问题：(1)甲在公园休息了吗？若休息了，休息了多长时间？(2)甲到达乙家是几点钟？(3)写出函数yf(x)的解析式解(1)由图所知，甲在公园休息了，休息了10分钟(2)甲到达乙家是11点(3)函数yf(x)是分段函数，当0x30时，设yk1x，将(30,2)代入，得k1.当30x40时，y2.当40，即水深至一半时，实际注水量大于水瓶总水量的一半A中V0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()解析依据题意，小王两段路程的速度是不一致的，前者速度要大些，且前者与后者的速度比为32，因此前者图象倾斜程度要大些此外，由于y表示的是路程，不是位移，因此选D.答案D点评近几年的高考试题和高考模拟试题加大了对跨学科知识的考查，其中物理类题型最为多见解决这类试题时，可结合物理中的相关知识来加以解答如本题，由于往返所用时间是不一致的，因此速度也是不一致的，且前者与后者的速度比为32，更为重要的是路程与位移的区别变式拓展2 某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是()解析