广西钦州市钦州港经济技术开发区中学高三数学上学期期末试题 理（含解析）.doc

2015-2016学年广西钦州市钦州港经济技术开发区中学高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合，n=y|y=x2+1，xr，则集合mn=（）a（2，+）b（2，3）c1，3）dr2已知随机变量x服从正态分布n（1，2），若p（x2a2）=p（x3a+4），则a=（）a6bcd03执行如图所给的程序框图，则运行后输出的结果是（）a3b3c2d24几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）abcd5从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率为（）abcd6若ab0，则下列不等式中总成立的是（）aa+b+bca+b+d7由直线y=2x及曲线y=42x2围成的封闭图形的面积为（）a1b3c6d98某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（）ab3cd9若执行如图的程序框图，则输出的k值是（）a4b5c6d710从抛物线y2=4x上一点p引抛物线准线的垂线，垂足为m，且|pm|=5，设抛物线的焦点为f，则mpf的面积为（）a5b10c20d11实数x，y满足条件，则z=xy的最小值为（）a2b1c0d112已知函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，且当x（，0）时，f（x）+xf（x）0成立（其中f（x）是f（x）的导函数），若a=30.3f（30.3），b=（log3）f（log3），c=（log3）f（log3），则a，b，c的大小关系是（）aabcbcabccbadacb二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知z=2x+y，x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是14抛物线的焦点f到双曲线渐近线的距离为15已知 ，则a3=16设正实数x，y，z满足x2xy+4y2z=0则当取得最小值时，x+4yz的最大值为三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知a，b，c分别为abc三个内角a，b，c所对的边长，且acosbbcosa=c（）求的值；（）若a=60，求的值18为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与志愿者的工作内容有两项：到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；整理、打包募捐上来的衣物每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作相关统计数据如下表所示：到班级宣传整理、打包衣物总计20人30人50人（）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少？（）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用x表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量x的分布列及数学期望19如图，在四棱锥pabcd中，侧面pab底面abcd，且pab=abc=90，adbc，pa=ab=bc=2ad，e是pc的中点（）求证：de平面pbc；（）求二面角apde的余弦值20平面直角坐标系xoy中，经过椭圆c：+=1（ab0）的一个焦点的直线xy=0与c相交于m，n两点，p为mn的中点，且op斜率是（）求椭圆c的方程；（）直线l分别与椭圆c和圆d：x2+y2=r2（bra）相切于点a，b，求|ab|的最大值21已知正项数列an、bn中，a1=1，b1=2，an，bn，an+1成等比数列，bn，an+1，bn+1成等差数列，（1）证明是等差数列，并求an的通项公式；（2）令，前n项和为sn，求使sn2016的最大自然数n22分别过椭圆e：=1（ab0）左、右焦点f1、f2的动直线l1、l2相交于p点，与椭圆e分别交于a、b与c、d不同四点，直线oa、ob、oc、od的斜率分别为k1、k2、k3、k4，且满足k1+k2=k3+k4，已知当l1与x轴重合时，|ab|=2，|cd|=（1）求椭圆e的方程；（2）是否存在定点m，n，使得|pm|+|pn|为定值？若存在，求出m、n点坐标，若不存在，说明理由2015-2016学年广西钦州市钦州港经济技术开发区中学高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合，n=y|y=x2+1，xr，则集合mn=（）a（2，+）b（2，3）c1，3）dr【考点】交集及其运算 【专题】集合思想；综合法；集合【分析】分别求出关于集合m和n的范围，去交集即可【解答】解：集合=x|x2+x+60=x|（x3）（x+2）0=x|2x3，n=y|y=x2+1，xr=y|y1，则集合mn=1，3），故选：c【点评】本题考察了对数函数以及二次函数的性质，考察集合的运算，是一道基础题2已知随机变量x服从正态分布n（1，2），若p（x2a2）=p（x3a+4），则a=（）a6bcd0【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计【分析】根据正态曲线关于x=1对称，得到两个概率相等的区间关于x=1对称，得到关于a的方程，解方程即可【解答】解：随机变量服从正态分布n（1，2），正态曲线关于x=1对称，p（x2a2）=p（x3a+4），2a2+3a+4=2，a=0，故选：d【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=1对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题3执行如图所给的程序框图，则运行后输出的结果是（）a3b3c2d2【考点】程序框图 【专题】计算题【分析】开始条件s=0，i=1，循环条件i6，知道i6，循环停止，根据i是奇偶进行计算，从而求解；【解答】解：开始条件：s=0，i=1，（i6）i=1，i是奇数，可得s=0+1=1，i=2，i是偶数，可得s=12=1，i=3，可得s=1+3=2，i=4，s=24=2，i=5，s=2+5=3，i=6，s=36=3，i=7，输出s=3，故选b；【点评】本题主要考查了当型循环结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模4几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）abcd【考点】空间几何体的直观图；简单空间图形的三视图 【专题】立体几何【分析】a、c选项中正视图不符合，d答案中侧视图不符合，由排除法即可选出答案【解答】解：a、c选项中正视图不符合，a的正视图为，c的正视图为d答案中侧视图不符合d答案中侧视图为故选b【点评】本题考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力5从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率为（）abcd【考点】条件概率与独立事件；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】设事件a表示“抽到的两张都是假钞”，事件b表示“抽到的两张至少有一张假钞”，所求的概率即 p（a/b）先求出p（ab）和p（b）的值，再根据p（a/b）=，运算求得结果【解答】解：解：设事件a表示“抽到的两张都是假钞”，事件b表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即 p（a|b）又p（ab）=p（a）=，p（b）=，由公式p（a|b）=故选：d【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意条件概率的合理运用6若ab0，则下列不等式中总成立的是（）aa+b+bca+b+d【考点】基本不等式 【专题】不等式的解法及应用【分析】由题意得到，将它与ab同向相加可得答案【解答】解：ab0，又ab，a+b+；故选a【点评】本题考查不等式的基本性质的应用，属于基础题7由直线y=2x及曲线y=42x2围成的封闭图形的面积为（）a1b3c6d9【考点】定积分在求面积中的应用 【专题】计算题；方程思想；综合法；导数的概念及应用【分析】根据题意，求出积分的上下限，即可得出结论【解答】解：由，得：或，所以直线y=2x及曲线y=42x2围成的封闭图形的面积为s=（4x）=9故选：d【点评】本题考查了定积分，考查了数形结合的数学思想，解答此题的关键是明确微积分基本定理8某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（）ab3cd【考点】由三视图求面积、体积 【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，所以此四面体一定可以放在棱长为1的正方体中，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球的体积【解答】解：由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，所以此四面体一定可以放在正方体中，所以我们可以在正方体中寻找此四面体如图所示，四面体abcd满足题意，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由题意可知，正方体的棱长为1，所以外接球的半径为r=，所以此四面体的外接球的体积v=故选c【点评】本题的考点是由三视图求几何体的体积，需要由三视图判断空间几何体的结构特征，并根据三视图求出每个几何体中几何元素的长度，代入对应的体积公式分别求解，考查了空间想象能力9若执行如图的程序框图，则输出的k值是（）a4b5c6d7【考点】程序框图 【专题】图表型；算法和程序框图【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的n，k的值，当n=8，k=4时，满足条件n=8，退出循环，输出k的值为4【解答】解：执行程序框图，有n=3，k=0不满足条件n为偶数，n=10，k=1不满足条件n=8，满足条件n为偶数，n=5，k=2不满足条件n=8，不满足条件n为偶数，n=16，k=3不满足条件n=8，满足条件n为偶数，n=8，k=4满足条件n=8，退出循环，输出k的值为4故选：a【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基本知识的考查10从抛物线y2=4x上一点p引抛物线准线的垂线，垂足为m，且|pm|=5，设抛物线的焦点为f，则mpf的面积为（）a5b10c20d【考点】抛物线的简单性质 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先设处p点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得p点横坐标，代入抛物线方程求得p的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案【解答】解：设p（x0，y0）依题意可知抛物线准线x=1，x0=51=4|y0|=4，mpf的面积为54=10故选：b【点评】本题主要考查了抛物线的应用解题的关键是灵活利用了抛物线的定义11实数x，y满足条件，则z=xy的最小值为（）a2b1c0d1【考点】简单线性规划 【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式【分析】由题意作出其平面区域，将z=xy化为y=xz，z相当于直线y=xz的纵截距，由几何意义可得【解答】解：由题意作出其平面区域，将z=xy化为y=xz，z相当于直线y=xz的纵截距，则过点（0，1）时，z=xy取得最小值，则z=01=1，故选：b【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题12已知函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，且当x（，0）时，f（x）+xf（x）0成立（其中f（x）是f（x）的导函数），若a=30.3f（30.3），b=（log3）f（log3），c=（log3）f（log3），则a，b，c的大小关系是（）aabcbcabccbadacb【考点】对数值大小的比较 【专题】综合题；转化思想；构造法；函数的性质及应用【分析】由函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，得出f（x）关于原点对称，是奇函数；构造函数g（x）=xf（x），则g（x）为偶函数，根据g（x）的导数判定g（x）的单调性，再根据g（x）的奇偶性与单调性判定a、b、c的大小【解答】解：函数y=f（x1）的图象关于点（1，0）对称，f（x）关于原点对称，即函数f（x）为奇函数；设g（x）=xf（x），则g（x）为偶函数，当x（，0）时，g（x）=f（x）+xf（x）0，此时函数g（x）单调递减，即x（0，+）时，函数g（x）单调递增；则a=g（30.3）=（30.3）f（30.3），b=g（log3）=（log3）f（log3），c=g（log3）=（log3）f（log3），30.31，0log31，log3=2，g（log3）=g（2）=g（2），230.3log3，g（2）g（30.3）g（log3），即cab故选：b【点评】本题主要考查了函数奇偶性和单调性的应用问题，也考查了利用导数研究函数的单调性问题，解题的关键是利用条件构造函数，是综合性题目二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知z=2x+y，x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是【考点】简单线性规划 【专题】计算题；不等式的解法及应用【分析】由题意可得先作出不等式表示的 平面区域，由z=2x+y可得y=2x+z，则z表示直线y=2x+z在y轴上的截距，截距越大，z越大，可求z的最大值与最小值，即可求解a【解答】解：由题意可得，b（1，1）a1，不等式组表示的 平面区域如图所示的abc由z=2x+y可得y=2x+z，则z表示直线y=2x+z在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线l：y=2x，把直线向可行域平移，当直线经过c时z最小，当直线经过点b时，z最大由可得c（a，a），此时z=3a由可得b（1，1），此时z=33=43a故答案：【点评】线性规划是高考重要内容，也是常考内容此题考查该知识点增加一点变化，比较好14抛物线的焦点f到双曲线渐近线的距离为【考点】抛物线的简单性质 【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标，再由题中条件求出双曲线的渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论【解答】解：抛物线的焦点在y轴上，且p=2，抛物线的焦点坐标为（0，1），由题得：双曲线的渐近线方程为x2y=0，f到其渐近线的距离d=故答案为：【点评】本题考查抛物线的性质，考查双曲线的基本性质，解题的关键是定型定位，属于基础题15已知 ，则a3=25【考点】二项式定理的应用 【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理【分析】把等式的左边化为（x1）+2（x1）16，再按照二项式定理展开，可得（x1）3的系数a3的值【解答】解：（1+x）（2x）6=（x1）+2（1x+1）6=（x1）+2（x1）16=（x1）+2（x1）6（x1）5+（x1）4（x1）3+（x1）2（x1）+，且 ，故a3=2+=25，故答案为：25【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于中档题16设正实数x，y，z满足x2xy+4y2z=0则当取得最小值时，x+4yz的最大值为【考点】基本不等式在最值问题中的应用；简单线性规划 【专题】不等式的解法及应用【分析】将z=x2xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可得到当取得最小值时的条件，用x，z表示y后利用配方法求得x+2yz的最大值【解答】解：x2xy+4y2z=0，z=x2xy+4y2，又x，y，z为正实数，=+121=3（当且仅当x=2y时取“=”），当且仅当=，即x=2y（y0）时取等号，此时x+4yz=2y+4y（x2xy+4y2）=6y6y2=6（y）2+x+4yz的最大值为故答案为：【点评】本题考查基本不等式，根据条件求得取得最小值时x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知a，b，c分别为abc三个内角a，b，c所对的边长，且acosbbcosa=c（）求的值；（）若a=60，求的值【考点】余弦定理；正弦定理 【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】（）abc中，由条件利用正弦定理可得sinacosbsinbcosa=sinc又sinc=sin（a+b）=sinacosb+cosasinb，可得sinacosb=sinbcosa，由此可得的值（）可求tana=，由（）得tanb=利用余弦定理，两角和的正切函数公式即可化简求值【解答】解：（1）abc中，由条件利用正弦定理，可得sinacosbsinbcosa=sinc又sinc=sin（a+b）=sinacosb+cosasinb，所以，sinacosb=sinbcosa，可得=（）若a=60，则tana=，得tanb=cosc=，=tan（a+b）=【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与志愿者的工作内容有两项：到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；整理、打包募捐上来的衣物每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作相关统计数据如下表所示：到班级宣传整理、打包衣物总计20人30人50人（）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少？（）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用x表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量x的分布列及数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式 【专题】概率与统计【分析】（）由分层抽样方法得参与到班级宣传的志愿者被抽中的有2人，参与整理、打包衣物者被抽中的有3人，由此能求出至少有1人是参与班级宣传的志愿者的概率（）女生志愿者人数x=0，1，2，分别求出其概率，由此能求出随机变量x的分布列及数学期望【解答】（）解：用分层抽样方法，每个人抽中的概率是，参与到班级宣传的志愿者被抽中的有20=2人，参与整理、打包衣物者被抽中的有30=3人，故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率为：p=1=（）解：女生志愿者人数x=0，1，2，则，x的分布列为： x 0 1 2 px的数学期望ex=【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型19如图，在四棱锥pabcd中，侧面pab底面abcd，且pab=abc=90，adbc，pa=ab=bc=2ad，e是pc的中点（）求证：de平面pbc；（）求二面角apde的余弦值【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定 【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角【分析】（）以点a为坐标原点，建立坐标系，证明=0，=0，即可证明de平面pbc；（）求出平面pad的一个法向量、平面pcd的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角apde的余弦值【解答】（）证明：侧面pab底面abcd，且pab=abc=90，adbc，paab，paadadab，以点a为坐标原点，建立如图所示的坐标系，设pa=ab=bc=2ad=2，则p（0，0，2），d（1，0，0），b（0，2，0），c（2，2，0），e（1，1，1），=（0，1，1），=（0，2，2），=（2，2，2），=0，=0，depb，depc，pbpc=p，de平面pbc；（）解：由（）可知平面pad的一个法向量=（0，2，0）设平面pcd的一个法向量为=（x，y，z），则=（1，0，2），=（2，2，2），取=（2，1，1），cos，=【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求解二面角的大小，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题20平面直角坐标系xoy中，经过椭圆c：+=1（ab0）的一个焦点的直线xy=0与c相交于m，n两点，p为mn的中点，且op斜率是（）求椭圆c的方程；（）直线l分别与椭圆c和圆d：x2+y2=r2（bra）相切于点a，b，求|ab|的最大值【考点】椭圆的简单性质 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）设出m，n的坐标，由mn所在直线斜率为1，p为mn的中点，且op斜率是及m，n都在椭圆上列式得到a，b的关系，再由焦点在直线xy=0上及隐含条件得a，b的另一等式，联立方程组即可求得a，b的值，则椭圆方程可求；（）设a，b分别为直线l与椭圆和圆的切点，再设出切点a（x0，y0），联立直线方程和椭圆方程，求出切点a的坐标，由直线和圆相切得到，结合直线和椭圆联立所得方程的判别式等于0，把k，m用含有r的代数式表示，再由|ab|2=|oa|2r2，最后化为含有r的函数式，利用基本不等式求得最值【解答】解：（）设m（x1，y1），n（x2，y2），则，由此可得，即a2=4b2，又由题意知，c的右焦点是，故a2b2=3，因此a2=4，b2=1，椭圆c的方程是；（）设a，b分别为直线l与椭圆和圆的切点，a（x0，y0），直线l的方程为：y=kx+m，代入，得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，由判别式=0，得m2=1+4k2 ，直线l与x2+y2=r2相切，即m2=r2（1+k2），再由得，r2=，当r=（1，2）时取等号，因此当r=（1，2）时，|ab|的最大值是1【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线，圆与圆锥曲线的位置关系，涉及直线和圆锥曲线的位置关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，利用一元二次方程的根与系数关系求解，特点是运算量大，要求考生具有较强的运算能力，是压轴题21已知正项数列an、bn中，a1=1，b1=2，an，bn，an+1成等比数列，bn，an+1，bn+1成等差数列，（1）证明是等差数列，并求an的通项公式；（2）令，前n项和为sn，求使sn2016的最大自然数n【考点】数列的求和；等差数列的通项公式 【专题】证明题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（1）由已知，2an+1=bn+bn+1求出前四项后猜想bn=n（n+1），再用数学归纳法证明，从而=n得到是首项为1，公差为1的等差数列，（2）由=1+（），利用裂项求出法能求出使sn2016的最大自然数n【解答】证明：（1）正项数列an、bn中，a1=1，b1=2，an，bn，an+1成等比数列，bn，an+1，bn+1成等差数列，2an+1=bn+bn+1a2=4，b2=242=6，=9，b3=296=12，=16，b4=21612=20，由此猜想bn=n（n+1），下面利用数学归纳法证明：n=1时，b1=12成立假设n=k时，成立，即，bk=k（k+1），当n=k+1时，=（k+1）2，bk+1=2（k+1）2k