辛矩阵的正规形(Ⅱ).pdf

第 3 2卷第 3 期 1 9 9 9年 9月 南 开 大 学 学 报 自鼎科学 Ac t a S c i e n t i a r u m Na t u r a l l u r a Un i v e r s i t a t i s Na n k a i e n s i s V0 J 3 2 l 2 3 S e p 1 9 9 9 NORM AL FORMS OF S YM PLECTI C M ATRI CES H a n J i a n l 0 n g L o n g Y im i n g Na n k a i l n s t u t e o f Ma t h e m a t i c s Na n k a i Un i v e r s i t y Ti n 椰i n 3 0 0 0 7 1 Abs t r a c t F o r e v e r y s y mp l e c t i e ma r t r i x M p o s s e s s i n g e i g e n v a l u e s o u t s i d e t h e u n i t c i r c l e t h e r e e x i s t s a s y mp l e c t i e ma t r i x P s u c h t h a t P M P i s a s y mp l e c t i e ma t r i x o f c e r t a i n s i mp l e n o r m a l f o r m s d e f i n e d i n t h i s p a p e r Ke y wo r d s s y mp l e c t i c ma t r i c e s mo r ma l f o r m c h a r a c t e r s y mp l e c t i c t r a n s f o r ma t i o n 0 I n t r 0 d u c t i o n Th e s y mp l e c t i e g r o u p S p 2 n i s d e f i n e d b y S p Z n f M E皇 R I E E 1 w e st a e n m ma t r j x n a n a c m t r e a ma t r c e s Gi v e n a n y t WO e v e n o r d e r ma t r i c e s o f s q u a r e b l o c k f o r m 一 we d e f i n e t h e p r o d u c t o f M1 a n d t o b e t h e f o l l o wi n g 2 1 4 j 2 ma t r i x M j M 2 A 0 B 0 0 A 0 B2 C 0 D l 0 0 C2 0 D2 No t e t h a t t h e 一 p r o d u c t o f t WO s y mp l e e t i c ma t r i c e s i s s t i l l s y mp l e e t i c I n t h i s p a p e r we p r o v e d t h a t f o r a ma t r i x M E S p 2 n p o s s e s s i n g e i g e n v a l u e s n o t o n t h e u n i t c i r c l e t h e r e e x i s t s PE S p Z n s u c h t h a t P MP M1 Mo wh e r M1 S p 2 点 wi t h l 点 i s a 一 p r o d u c t o f t h e n o l l a l f o r ms d e f i n e d i n t h e f o l l o wi n g Th e o r e ms 1 a n d 2 f o r s y mp l e c t i c ma t r i c e s p o s s e s s i n g o n 1 v e i g e n v a l u e s o u t s i d e t h e u n i t c i r c l e a n d i f n k 0 t h e ma t r i x M o S p Z n 一 2 k h a s a l l e i g e v a l u e s o n t h e u n t c i r c l e Th e n o r ma l f o r m r e s u l t s f o r s y mp l e c t i c ma t r i c e s wi t h e i g e n v a l u e s o n t h e u n i t c i r c l e h a v e b e e n p r o v e d T o g e t h e r w i t h r e f e r e n c e 1 Z o u r r e s u l t s e s t a b l i s h a c o mp l e t e s e t o f n o r ma l f o r ms f o r s y m p l e t i c ma t r i c e s Th i s g i v e s a b a s i s f o r t h e s t u d y o f t h e t o p o l o g i c a l s t r u c t u r e s o f s y mp l e c t i c g r o u p s a n d t h e i r s u b s e t s a s we l l a s t h e s t u d y f o r M a s l o v t y p e i n d e x t h e o r y a n d Ha mi ho n i a n s y s t e ms c f r e f e r e n c e s 3 3 9 3 t I O 1 1 1 T h e r e a r e o t h e r d i f f e r e n t n o r m a l f o r ms o f s y mp l e c t l c ma t r ic e s o b t a in e d in r e f e r e n c e s 1 4 1 1 2 3 6 3 a n d D5 3 s i n c e 1 9 3 7 B u t t h e r e a r e s t i l l s o me c a s e s l e f t o u t i n t h e s e w o r k s a n d t h e n a r e n o t e n o u g h f o r o u r a b o v e me n t i o n e d a p p l i c a t i o n s 收藕 日期 1 9 9 8 1 2 3 0 P a n U y s u p p o rte d b y t h e NN S F 1 9 6 3 1 0 2 a n d MC S E C o f C h i n a a n d Qi u S h i S d T e e h F o u n d a t i o n 维普资讯 第 3期 韩建龙辞 辛矩阵 的正规形 1 3 1 He r e we d e n o t e t h e u n i t c i r c l e i n t h e c o mp l e x p l a n e b y U a n d a l l t h e J o r d a n f o r ms a n d r o o t v e c t o r s a r e de f i n e d o n t h e f i e l d R W e d e n o t e b y A t h e t r a n s p o s e o f a ma t r i x A a n d b y l h e ma t r i x f o r me d b y c o l u mn v e c t o r s t 口 h i No r ma l F o r ms f o r t h e Ei g e n v a l u e Gr o u p A一 一 CR O 士i Le mma 1 S u p p o s e M E S p 2 p o s s e s s e s r o o t v e c t o r s 巩 1 i P 1 J q f o r s o me P q 6N wi t h P g wh i c hf o r m J o r d a n b l o c k s o fM b e l o n g i n gt ot h e e i g e n v a l u e g r o u p oR 0 士1 s u c h t h a t s e t t i n g 一 一 一O t h e r e h o l d M 一 时 f o r1 P 2 M 一 4 1 巩 一 1 f o r 1 3 一 一 f o r l J q 4 Th e n t h e r e h o l d 车 一 车 王 雎 一 一1 一0 V 1 f J P 5 工 一 4 1 r J r 珥 一 一 O V 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