自考高等数学极限与连续.pdf

第二章极限与连续 一 考核内容 1 会求数列的极限 2 知道数项级数敛散性的概念 会求等比级数的和 3 知道函数极限的概念和四则运算法则 会求函数的极限 4 知道无穷小量的概念 性质 会比较无穷小量 知道无穷大量的概念 5 掌握两个重要极限 6 知道函数连续性的概念 会求间断点 知道闭区间上连续函数的性质 二 基本概念 主要公式 典型例题 一 数列极限的概念 定义一 一列有顺序的数 叫数列 简记作 其中 叫第一项 叫第二项 叫第 n 项 定义二 当 n 无限变大时 如果数列的第 n 项 与一个常数 a 无限接近 就说常 数 a 是数列的极限 并且说数列收敛 也可以说数列收敛于常数 a 记作 当 n 时 或 如果不存在这样的常数 a 就说数列发散 定义三 当 n 无限变大时 如果数列的第 n 项的绝对值无限变大 就说数 列无限变大 记作 当 n 时 或记作 由于这时数列的极限不是常数 所以数列无限变大是发散的 典型例题 讨论下列数列的敛散性 若收敛 请求出它的极限 解 当 n 无限变大时 观察下表 n1234567 1 21 4 1 81 16 1 321 64 1 128 可见 n 时 与数 0 无接近 即 解 数列d 的第 n 项 在 1 与 1 之间跳动 故 不与任何常数接近 故数列 没有极限 它是发散的 由 3 与 6 可知 等比数列 有下面结果 二 数项级数 定义一 数列的和叫数项级数 符号叫数项级数 的前 n 项 和 例如 叫前 5 项和 定义二 若 n 时 级数的前 n 项和 的极限若为常数 S 即 就说级数的和是 S 并且说级数收敛 或者说级数收敛于 S 否则 就说级数是发散的 典型例题 例一 讨论数项级数的敛散性 如例一 讨论数项级数的敛散性 参见教材 55 页面 例二 讨论数项级数的敛散性 例三 讨论等比级数的敛散性 解 时 时 的在 0 与 1 间跳跃 不存在 总结上面结果有下面公式 例四 求下列等比级数的和 根据等比级数求和公式有 下面为第二节 三 函数的极限 定义一 当 x 与数 a 无限接近时 如果函数 f x 的值与常数 A 无限接近 就说 x 与数 a 无限接近时 f x 的极限是常数 A 记作 典型例题 求下列函数的极限 定义二 若当 x a 且与数 a 无限接近时 记作 函数 f x 与常数 A 无 限接近 就说函数 f x 的左极限是数 A 记作 若当 x a 且与数 a 无限接近时 记作 函数 f x 与常数 A 无限接近 就说函数 f x 的右极限是数 A 记作 显然 下面定理是成立的 定理 典型例题 定义三 1 若 x0 且 x 无限变大时 记作 函数 f x 与常数 A 无限接近 就说时 函数 f x 的极限是常数 A 记作 3 当 x 的绝对值 x 无限变大时 记作 函数 f x 与常数 A 无限接近 就说时 f x 的极限是常数 A 记作 显然 下面的结论是正确的 典型例题 例一 求下列极限 例二 求极限 四 极限的四则运算法则 关于极限的运算 我们不加证明地介绍下面的定理 若在 x 的同一变化过程中 则有下面结果 典型例题 例一 求下列极限 下面的结果 学员可以当作公式加以应用 例三 直接利用上面的公式求极限 解 0 3 例四 求极限 下面为第三节 五 无穷大量 无穷小量 定义一 若变量 u 的绝对值 无限变大 就说变量 u 是无穷大量 记作 定义二 若变量 u 的极限为 0 就说变量 u 是无穷小量 记作 性质一 若 u 是无穷大量 则 1 u 是无穷小量 若 u 是无穷小量 则 1 u 是无穷大量 性质二 1 无穷小量乘无穷小量仍是无穷小量 2 有界变量乘无穷小量是无穷小量 典型例题 例一 当时 下列变量中哪个是无穷大量 哪个是无穷小量 例二 求下列极限 定义三 若 0 0 即 与 都是无穷小量 1 若 就说 是 的高阶无穷小 记作 o 2 若 就说 是 的同阶无穷小 记作 O 3 若 就说 与 等价 记作 4 若 就说 是 的低阶无穷小 典型例题 例一 当 x 0 时 请将下列无穷小量与 x 进行比较 下面的结果是重要的结果 请学员熟记 x0 时 下面的无穷小量都是等价的 在求极限时 下面的定理常常能将问题变得简单 定理 等价代换定理 若 u 0 0 且 u 则有 1 2 证 1 2 等价代换定理的好处是可以用一个简单的无穷小量 去替换等价的复杂的无穷小 量 学员特别要注意的是只有乘除法才能等价替换 加减法不能等价替换 典型例题 求下列极限 例二 用等价无穷小替换计算 注意 下面的计算有错误 错误的原因在第一个等式不成立 因为我们所警告的加减法不能等价替换 六 两个重要的极限 下面我们不加证明地给出两个重要极限 读者可以利用它们作为公式求其它的极限 上面的结果叫第一个重要极限 实际上在介绍等价替换时就有上面的结果 典型例题 计算 上面的公式叫第二个重要极限 在利用上面的公式求其它极限时常常需要利用下 面的公式进行代数化简 典型题一 求下列极限 注意 要将这种极限与相区别 例二 求下列极限 例三 验证 七 函数的连续性 否则 就说 f x 在处间断 即处的间断 否则 就说 f x 在处间断 典型例题 例一讨论下列函数在分段点的连续性 解 用定义一 f 0 0 f x 在 x 0 连续 解 在 x 0 点处 f 0 1 f x 在点 x 0 处连续 在 x 2 处 f x 在点 x 2 处不连续 例三 已知 在点 x 0 连续 求 a b 对于初等函数 有下面的结论 定理 1 一切初等函数在它有意义的区间上处处连续 2 一切初等函数 在它的无意义点上一定间断 典型例题 例一 求函数的间断点和连续区间 解 f x 是初等函数 它在 1 1 1 1 上处处有 意义 f x 在 1 1 1 1 上处处连续 f x 在 x 1 x 1 上无意义 所以 f x 在 x 1 x 1 处间断 关于间断点 本教程有三种类型 1 若则间断点 x a 叫可去间断点 2 若 则间断点 x a 叫无穷间断点 3 若 则间断点 x a 叫跳跃间断点 例二 求下列函数的间断点 并指出其类型 解 f x 在 2 处无意义 所以 x 2 是 f x 的间断点 解 f x 在 x 2 处无意义 所以 x 2 是 f x 的间断点 解 f x 在 x 2 处无意义 所以 x 2 是 f x 的间断点 解 f x 在 x 0 处无意义 x 0 是 f x 的间断点 由于 所以 x 0 是 f x 的无穷间断点 八 在闭区间上连续的函数的性质 在闭区间上处处连续的函数有两条重要性质 我们用定理的形式介绍一下 定理 最大值最小值定理 如果函数 f x 在闭区间 a b 上处处连续 则函数 f x 在闭区间 a b 上一定 有最大值 M 和最小值 m 推论 若 f x 在闭区间 a b 上连续 则 f x 在闭区间 a b 上有界 且 注意上面结论的两个条件缺一不可 例在开区间 0 1 上处处连续 因为 它在此区间上没有无意义的点 x 0 时 无限变大 所以它没有最大值 而 0 x 1 时 f x 也取不到最小值 1 定理 零值定理 如果 f x 在闭区间 a b 上处处连续 而且 f x 在端点的函数值 f a f b 异号 则在 a b 内至少存在一点 a c b 能使 f c 0 或者说在 a b 内至少存在一点 a c b 使 x c 是方程 f x 0 的根 零值定理的正确性是明显的 我们用下图说明 由于 f a f b 的异号 所以曲线 y f x 在 x a 与 x b 处的几何点 A 与 B 分别在 x 轴的两侧 由于 y f x 的图形连续 所以它与 x 必相交 交点 x c 处的 y 0 即 f c 0 典型例题 证明方程在 1 2 内至少有一根 证 即需证明方程在 1 2 内至少有一根 令 f x 至少在 1 2 上有意义 f x 至少在 1 2 上连续 f 1 2 0 与 f 2 30 0 异号 f x 满足零值定理的两个条件 在 1 2 内至少有一点 1 c 2 使 f c 0 即 x c 是方程 f x 0 的根 x c 是方程的根 三 同步练习题 一 填空 二 计算下列极限 三 证明题 19 证明方程 20 若 f x 在 a b 上连续且 f a a f b b 证明方程 f x x 在 a b 内至少有一个根 三 同步练习题 一 填空 二 计算下列极限 另 三 证明题 19 证明方程 在 0 1 内至少有一根 证明 令f x f x 在 0 1 上连续 f 0 1 0 f 1 1 0 f 0 与f 1 异号 由零值定理 存在 0 c 1 使f c 0 即 x c 是方程f x 0 的根 即 x c 是