高等数学中抽象概念通俗化的一个尝试.pdf

1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 高等理科教育 高等数学中抽象概念通俗化的一个尝试 高等数学中抽象概念通俗化的一个尝试 翟忠信 摘要本文 通过几个日常生 活中的实际例子 运用类比的方法 形象地解释 了数 学分析 中的几个抽象概念 是数学教学中抽象 内容通俗化的一个成功的尝试 关键词数学教学机限函数级数 一 引言 用 一 语言陈述的数列极限的定义 函数的一致连续性 函数项级数的一致收 敛性这几个概念 是高等数学数学分析部分课程的几个难点 同时又是这 门学科中 最基本而又很抽象的内容 因为是基本内容 讲授时完全回避是不现实的又因为内容 很抽象 稍一接触 学生立刻就会感到难以理解 许多同学都说是在 听天书 进一步 剖析 若不得其法 往往也收效甚微 有的同学甚至模仿鲁迅先生的话说 你不说我还 明白 你越说我越糊涂 况且课时有限 容不得教师在课堂上作过多的讲解 多年来 围绕着在教学中如何处理这几个相当抽象的概念的讲授 有不少教师 曾提出过许多有价 值的建议 并在他 们的讲课过程中进行了有益的尝试 通过多年的教学 我们也体会到 这些概念之所以费解 正是由于它们高度 的抽象性似乎命题所表达的 内容离现实太遥 远 令人一时想不通 因此我们曾力图找一些日常生活中的具体例子 与这些概念做类 比 把这几个抽象的概念通俗化 现实化 事实证明 这一方法的收效极好 往往是例 子通了 概念自然就明白了 有时学生还能在基本概念 的基础上作一些引申 得 出一些 更为深刻 的结论 令人欣慰 二 举例 下面是高等数学答疑课上的几个实际例子 例就数列极限的 一 形式的定义答历史系 学生在数列极限的定义 一 昌 自然数 使当 时 级基地班本科生问 恒有 工 奋 霍忠信兰州大学数学系 1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 高等理科教育年第期总第期 一 中 可否把 自然数 改为日自然数 教师不可因为这样一来 把定义的条件加强了 原来的说法是 对既定的数列 先给定正数 而后再 由此确定相应的自然数 此与所给 有关 而且 只 要求此 自然数对所给定的 满足相应的不等式 颠倒次序后的说法则不然 这时仅 给定数列 便要确定 自然数 使得此对任意的正数 都要满足上面的不等式 这不就使条件变得更苛刻 了吗 学 生思索片刻 仍感茫然还是不太理解 两种情况下的 都是任意 的 怎么可 能一个命题对任何一个正数成立 却又不能对所有的正数成立老师可不可以举一个现 实生活中的例子来说明这个问题 教师你只注意到 了任意性 却忽略了一个重要的方面 即前提的改变 这也是一 个思维方式的问题 现在举一个日常生活中的例子 看能否帮助你理解 比如你是一个高级服装设计师 对每一个顾客 你都可以设计出一套合体的衣服来 试问你能不能设计一套衣服 使之对每一位顾客都合体 学生那当然不可以这是性质不 同的两个问题 因为不同的人高矮胖瘦不一样 怎 么能以不变应 万变 做出一件人人都合体的衣服呢应该是量体裁衣 因人而异呀 要 求太苛刻 了 办不到 教师就是这个道理 我这里 的 也是 因 而变 的 量体裁衣与依所给定的正数确 定相应的完 全是 一个道理 你可以相互对照 细细领 会 自然就会明白 学 生恍然大悟噢 对 了对 了 是这么回事 教师更进一步 你可考虑 小于任意正数的非负实数是什么数 学 生只能是零 教师那么 若日自然数 当后 一 你想想 这时是否 就意 味着 一 三 学 生大声啊呀 这岂不是说 当充分大时 恒为常数了 教师正是如此命题 陈述方式这一看来极小的改变 把条件加强 了多少 学 生确 实是 差之毫 厘 谬之千里 教师回头再想一想 如果按照我们刚才所做的比方 这说明什么问题呢 学 生略思那是不是说 如果做一套衣服 对任何人都合体 除非这些人的外形 都一样哈就是这么 回事 按文科学生学数学 目的之一就是增强逻辑思维的严密性 训练精密的思想方法 我们的意见 对数学中的一些较为抽象的概念 不应该完全 回避 只是在讲授方法上要 求更高 要善于把抽象概念通俗化 经验证明 有时离开抽象的数学本身而结合现实生 活中的实例予以解答 更有说服力 他们也更容易接受 例就函数项级数的一致收敛性答化学 系级本科生问 的 学 生级数 艺 在点集上处处收敛于函数的定义是 任 自然数 当 时 三 一了 而 艺 月 1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 高等理科教育 高等数学中抽象概念通俗化的一个尝试 在点集上一致收敛于函数的定义是 日自然数 当时 任 全 一 众 我们分辨不 出这两个概念有什么原则上的不同 能否在实际生活中找一个大体相类的例子来说明这 一点 教师 可以做一个简单的类比 假设有一条 直线和一条起于点 的射线 二者不平 行也不相交 射线 上以 为起点 等距离的 分布着一个点列 一 射线 以速度匀速 地 向着直线平移 现在我说任给点 存在 时刻 在此时刻卜 之后 点 将运动到直线的另一侧 请问此 话可对 学 生略加思考对因为 与的距离是有限的 只要把取得充分大 使 得即可 教师好 如果现在我这样说存在一个时刻 在此时刻之后 射线上所有的点 都运动到直线的另一侧 请问此话可对 学生惊愕 片刻那不可能 因为不管多么大 总有这样的点 它和的距 离大于 这个 点 就不 会越过 直线 教师很好 这就是为什么在一个点集上点点成立的命题 不一定在此点集上一致 成立的道理之所在 学生这下我明 白了许多 但老师所做的比方 其 中的 有无穷多个 如果是有限 个点 那我总可以找到一个公共的 使它对任何点 都适用 教师明 白你的意思 想找一个最大的 是吗 学 生就是 教师这很对 因为有 限个数 中 总有一个最大的 但无限个数中 最大数就不应 定存在 一了 学 生看来一致收敛 的概念只对无限点集才有意义 教师完全正确 当是有限点集时 七面所说的收敛总是一致 的 按化学系学生的高等数学 对一致收敛的概念只要求一般性的理解 这一概念较 抽象 不 易接受 而又不能用较多的时间去作详细的推敲 实践证明 像上面这样的类 比有助于学生对概念的领 会 常常比起反复列举若干数学实例更为有效 例就一元函数的一致连续性答级物理系基地班本科生问 学 生一元函数 一 在集合上处处连续 的 一 说法是 日 使当 一 时 一 而 一 在集合上 一致连续的 一 说法是 日合 任 当 一 时 恒有 一 1994 2009 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 高等理科教育年第 期总第期 以上定义我能理解 书上关于连续而 不一致连 续的例子我也能看得懂 但在思想上总感到不 大 自然 有一种似是而非的感觉 处处连续不是 也要求 任 是任意的吗它们之间的原则区别 在 哪里能 否举一个日常生活中我 们所熟悉 的 例子作一类比 教师两个概念的原则区别在于是否存在 一个公共的台 使之对任何都适用 一一 现在假设你在一条崎岖不平然而无洞穴 无裂缝 也无怪石阻挡的山路上行走 山 路的坡度有大有小 最大处已非常接近于 少 仅对我们所要说明的问题而言 不妨就假 定坡度最大处为 吧 如右图实际上是该曲线有一条沿直渐近线 现在对你前进的步伐大小台作出要求要求你每走一步 你所处位置高度的变化 不得超过一个固定的正数 单位 就假设 是 厘米吧 问你能否做得到 分两种情 况来回答 首先问 对你所处的任一位置 例如你站在 处 你能否保证迈出一步之后 你所处位置的高度不超过厘米 学 生那当然可以 我只要把步子迈得小些就可以了 教师对 的 如果你处在较平坦处 步子可迈得大些 在较陡峭处 步子可迈得小 些 现在看第二种情况 不首先 固定位置 问你能否找到一个一般适用钩步伐 使 得你无论身居道路何处 每迈一步 只要步伐大小不超过此数 你所处位置的高低变化 就不 会超过厘米 学 生沉思片刻怎么不可能只要步子迈得小小的 就可以了 教 师恐怕不行吧了须知在 山路极陡处 你稍前进一点点 哪怕是只有毫米 你也要 升高一大截的呀 学 生又沉思嗯 确实不行 在极 陡处就和爬墙差不多了 要想前进 只能随着 道路坡度的增大 不断缩小步伐 不调整步伐 那无论如何也做不到 教师这就是了 一种情况 先给定位置再确定步伐 步伐的大小可随位置调整 这 就是 处处连续 的情况 另一种情况是不预先给定位置 要求确定一个步伐 使它对任何 位置都适用 这就相当于一致连续的情形 如果你把路线视为一个函数 一 的图 像 用数学语言陈述上面的内容 所得到的就是处处连续和一致连续的概念了 按这个问题和例类似 都是关于命题的处处成立和一致成立方面的 物理系基 地班的学生对此要求稍高 故所做类比的实例数