12追求自然连贯的数学教学过程.pdf

1 2 数学通报2 0 1 4 年第5 3 卷第1 2 期 追求自然连贯的数学教学过程 渠东剑 江苏省南京市秦淮区教学研究室2 1 0 0 0 1 1 问题的提出 三角函数是刻画现实世界中周期现象的数学 模型 是基本初等函数之一 是高中数学的传统而 重要的内容 任意角的三角函数是三角函数的基 础 是高中数学的核心概念之一 其教学具有重要 意义 由于 任意角的三角函数的定义已超出学生 的知识经验基础 1 其建立的过程较为漫长 需 要历经多个环节 突破诸多障碍 教学面临变数与 挑战 因而倍受人们的关注 对该课题教学的研究 也达到了一定的深度 例如 该课题时常作为研 究课 评优课的课题 也见到较多的专题研究文 章 但在教学实践中 仍存在一些困惑需要澄清 一些思考值得交流 笔者认为 在教学过程中 追求自然连贯的数 学活动过程是一个重要目标 就任意角的三角函 数概念的教学实践看 在概念建立的探究过程中 可能仍存在着数学活动不自然 教学 强加于人 的现象 一些相关文献也许还没有很好地解决这 一问题 甚至本身存在着不自然的现象 当然这些 现象的产生有其方方面面的原因 有些不易为我 们所察觉 因而解决这些问题并不太容易 这里 笔者试图分析本课教学内容 反思教学可能存在 的不自然现象 以追求自然连贯 2 的教学过程为 努力方向 就 终边定义法 建立任意角的三角函 数的概念 给出自己的教学设计构想 2 本课的起点思考 从本课教学的知识基础 数学思想方法的学 习 数学探究方法的借鉴与应用 数学探究活动的 组织 研究数学对象的一般套路 概念教学过程中 的育人价值等角度进行思考 1 函数的概念 任意角的三角函数 其关键 词 任意角 三角 函数 中 可能 函数 最为 本质和重要 任意角的三角函数 是一个典型而重 要的函数模型 其研究的一般过程与方法 应在函 数研究的大背景下 应用研究函数的一般套路去 研究 正如之前的指数函数 对数函数与幂函数一 样 因此 函数的概念是本课的重要基础 具体到 概念的建立 就要用 对应说 函数的概念 去认识 理解任意角的三角函数的概念 即要学生认识到 它是数 其意义是角 到数 坐标的比值 的对应 映射 2 任意角的概念 这是最直接的基础知识 由于任意角的概念刚刚学习过 作为建立概念的 知识基础之一 对学生而言应该没有什么困难 但 是 理解任意角的意义 特别从描述旋转运动的意 义理解 对建立任意角的三角函数的概念可能是 重要的 某种意义下 任意角产生的背景就是描述旋 转运动的需要 三角函数就是刻画匀速圆周运动 的不变量 即研究匀速圆周运动的规律 进一步 地 三角函数是研究周期现象的数学模型 试想 大海的潮汐现象可以用三角函数刻画 但其中哪 还有角的踪影 可否这样理解 任意角的三角函 数的研究始于角 但其本质与意义远远超出角的 范畴 是一般函数意义下的重要函数模型 3 初中直角三角形中的锐角三角函数 这是 本课重要的知识生长点与固着点 锐角是任意角 的特例 锐角三角函数也应当是任意角的三角函 数的特例 从这个意义上说 任意角的三角函数是 锐角三角函数的推广 如此 我们也许可以认为 锐角三角函数的概念 符号s i n 口 c o s 口 t a n 口是 本课的基础 也是本课的起点 但是 笔者的教学 本文是江苏省教研室第七期教学研究课题 新课程背景下农村高中数学教师专业发展行动研究 后续研究成果 万方数据 2 0 1 4 年第5 3 卷第1 2 期数学通报 1 3 实践似乎表明 在当下学生的潜意识里 锐角三角 函数离不开直角三角形 是 边长 长度 的比 其 主要作用是解直角三角形 他们还未清楚地认识 到 锐角三角函数值只与角有关 甚至没有意识 到它就是函数 变化过程中的自变量的对应关 系 事实上 直角三角形中的锐角三角函数 一定 意义下是 三角 即刻画直角三角形中的边角关 系 属静态下的数量关系 其作用主要是解直角三 角形 与函数意义下的锐角三角函数是不一样的 这里的锐角三角函数是以数 意义是角 取值范围 是 o 詈 为自变量 对应法则是比值 可构造直 厶 角三角形 进而得边长的比值 的函数 从这一点 说 任意角的三角函数不能认为是初中直角三角 形中的锐角三角函数的直接推广 换言之 要完成 这样的推广过程 中间还有很多工作要做 其中 让学生建立函数意义下的锐角三角函数概念可能 是承上启下的关键之举 4 图形的相似 用 终边坐标法 定义任意角 的三角函数 必须要说明 比值 与坐标 也就是 点 的选择无关 比值被终边位置所确定 进而被 角所确定 这是定义的本质所在 是建立概念的关 键步骤 也是下一步 用单位圆认识三角函数定 义 的基础 这些问题的处理与解决 离不开直角 三角形的相似 当然 这里只要求直角三角形的相 似及其性质 对学生而言并无困难 5 圆 主要是单位圆的建立及其应用 所涉 及到的圆的性质是基本的 如果通过 摩天轮情 境 引入课题 还会有圆的影子在其中 那么怎样 利用圆的性质 如何让圆在恰当的时机退避幕后 凸显三角函数定义的本质 也是不容忽视的问题 6 建立数学概念的过程与方法 概念 特别 是核心概念 要把 认识数学对象的基本套路 作 为核心目标之一 3 1 如前所述 建立任意角的三 角函数概念 需要经过 漫长 的过程 突破一系列 障碍 学生已有的经历经验就显得十分重要了 建 立数学概念模型的过程与方法 具体到这里 建立 函数模型的过程与方法 理解建立概念的必要 性与合理性 突出概念的本质 概念推广的一般 方法 过程与意义把握 等 7 学生探究学习的经验 由于三角函数被安 排在必修4 模块 此前学生已经历了高中数学较 长时间 较多内容的学习 积累了一定的探究学习 经验 其认知的知识基础与理性思维达到了一定 的水平 这将为本课的探究学习提供良好的基础 3 教学可能存在 不自然 的节点分析 笔者认为 教学应以 数学知识发生发展的过 程和理解数学知识的心理过程为基本线索 2 让知识自然地从学生的头脑中流淌出来 从构建 自然连贯的学习过程出发 在任意角的三角函数 概念的教学过程中 以下几点可能是需要我们思 考并用心而为之的 或者说 处理不好这几点 可 能会造成学生学习不自然 教学强加于人 概念教 学育人价值打折扣的现象 3 1 情境设置不自然 情境设置是课题的引入 教学的起点 也是学 生明确探究目标 产生学习倾向的基础 更是让学 生自然地进人探究活动中去的前提 根据笔者的 了解 课题的引入常见以下4 种形式 但都可能存 在不自然的嫌疑 1 照搬教材 苏教版 情境 从复习 锐角三 角函数的定义 出发 即复习初中 直角三角形中 的锐角三角函数 然后把直角三角形放人坐标系 中 类比 边长比 把边长比换成 坐标比 图形 在第一象限 刚好坐标是都是正的 很容易换过 来 形成坐标比形式下的 锐角三角函数的定义 再推广到任意角的情形 其可能的 不自然 之处 是 为什么要把直角三角形放到坐标系中 为什 么要照那样的位置放 怎么想到的 似乎没有恰 当的缘由 解决不好这些衔接过渡的细节问题 学 生只能被动地跟着教师走 走一步看一步 茫然而 被动 2 类比引入新的问题 先复习锐角三角函 数的求值 如求s i n3 0 c o s4 5 s i n7 8 的值 它们 要么是特殊角 要么可以用计算器或查表求值 然 后提出求诸如s i n1 5 0 c o s2 0 0 的值的问题 从而 引出研究任意角的三角函数问题 这里 对于非锐 角的三角函数 学生还未学习 从知识的逻辑关系 上讲 学生还不知道s i n1 5 0 c o s2 0 0 为何物 怎 能提出能不能 求值 的问题呢 这样可能存在逻 辑混乱的错误 3 从 旋转运动 的研究引入 从旋转运动 周而复始 提出刻画旋转运动或周期现象的数学 万方数据 1 4 数学通报 2 0 1 4 年第5 3 卷第1 2 期 模型问题 这一点确实是触及到了任意角的三角 函数的本质 有利于明确学习的目标 理解建立概 念的意义 但笔者认为 问题可能太过抽象与专 业 离学生认知的起点太远 问题产生突然 缺乏 必要的铺垫 为什么要用函数模型刻画周期现象 为什么三角函数是刻画周期现象的重要数学模 型 未来要建立怎样的函数 问题远离学生 最近发展区 就可能曲高和寡 而且 回到 初中 直角三角形中的锐角三角函数 将存在着从坐标 系回到平面图形的反向顺序 也会给学生的认知 造成一些负面影响 4 摩天轮情境 从学生熟悉的现实生活 情境出发 产生有意义的实际问题 并从中引出刻 画圆周上一点位置的两种表示形式 r 口 与 z 了 进而提出要探究二者之间的关系的问题 笔 者认为 选择该情境引入课题 背景熟悉 亲切自 然 后续探究进展顺畅 例如 提出的问题本身就 已在坐标系中 利用直角坐标系作为研究工具 自 然而然 回到直角三角形中的锐角三角函数也有 恰当的时机和自然的途径 后面笔者将给出详细 的分析 笔者倾向于此种情境引入 可能的不足是 由 摩天轮情境到提出点的位置问题 进而引出两种 不同的刻画形式 口 与 z y 其过程可能会较 为曲折与 漫长 要建立恰当的平面直角坐标系 以摩天轮中心为坐标原点较合适 而实际问题情 形中位置的描述 高 与这样建立的坐标系中的纵 坐标并不一致 从而 厘清其中的关系 并用符号 语言表达所要研究的问题 需要较长的过程 较多 的时间成本 等 就 摩天轮情境 的探究过程 笔者再作如下 探讨 指出其可能存在的不自然现象 3 2 坐标比下的锐角三角函数形成太匆忙 前文已述及 直角三角形中的锐角三角函数 的概念一定要出场 但何时出场合适 就是要看 是否是自然的出场 由学生较为自然地联想回 忆 即使教师事前复习 打好 先行组织者 的铺 垫 也要在数学活动的过程中 让学生把它请出 来 而不是教师抛出来 更不应该似从天而降 由直角三角形中的锐角三角函数直接给出坐 标比形式的锐角三角函数定义 也是不自然的 中 间跳了好多步 从学生的认知心理看 教师不可 忽视学生 锐角三角函数 的知识基础对 任意角 的三角函数 学习的负面影响 1 前文已说明 直角三角形中的锐角三角函数 与当前函数意义 下 坐标比形式表示的锐角三角函数并不是一回 事 中间有一个把边长 长度 比发展为坐标 意味 着有符号 比的过程 在坐标系的背景下 用坐标 系这个工具研究 r 口 与 z y 的关系时 需要由 边长比过渡到坐标比 在这个过程中 需要学生产 生主动过渡的探究倾向 理解这样的过渡是必要 的 有意义的 合理的与可行的 其间学生的心理 顺应过程是 漫长而曲折的 完成这样的过程不 是一蹴而就的 3 3 由锐角情形到任意角情形的 推广 过于简 单化 同样地 得到由坐标比形式表示的锐角三角 函数定义s i n 口 上 c o s 口 兰 t a n 口一上 口为锐 l 工 角 后 用类比的方法 形式化地 马上 推广 给出 任意角的情形 即直接抛出任意角的三角函数定 义 也是不合适的 因为它跳过了必要的 重要的 探究过程 是不自然不合情理的 为什么对任意角 也要用这三个比值来定义呢 其必要性合理性在 哪里 这有必要引导学生思考 首先 从系统地研究数学对象的需要出发 从 本课目标任务分析 本课的任务是什么 建 立针对口为任意角的 口 与 z 3 的关系 已经 借鉴直角三角形中的锐角三角函数定义 研究了 口为锐角时的情形 建立了坐标比形式表示的锐 角三角函数的定义 接下来要干什么呢 还 有除口为锐角以外的情形没有研究 继续探究 其余 的情形 探究的任务与方向不就显而易见 了吗 其次 怎样研究呢 既然要研究口为任意角 的情形 那么 研究的结果应当包括口为锐角的情 形 这就是要把已有的口为锐角时的研究结果加 以推广 怎样推广呢 推广是立足于原有基础的 推广 是 事物 的再扩大 这样可以预见 即将 要建立的口为任意角情形下的 r 口 与 z y 的关 系 当口为锐角时就应是刚刚建立起来的 坐标比 形式下的锐角的三角函数 于是 推广就有了基 础 也有了方向 在此基础上 自然会尝试将s i n 口 詈 c o s 口 吾 t a n 口 罟作为口为任意角时的 2 c o s 口2 一 t a n 口2 作为口为仕葸角时的 rrZ 一 一 万方数据 2 0 1 4 年第5 3 卷第1 2 期数学通报 1 5 r 口 与 z y 关系 接下来则需要验证 这些关 系符合函数的定义 称它们为任意角的三角函数 名符其实 这样也就把任意角的三角函数统一到 函数下了 这些关系式刻画了 r 口 与 z y 的关 系 解决了本课开头提出的问题 再通过 考查特 例 方式研究终边落在坐标轴上的情形 特别是落 在3 轴上时正切不存在 至此 完成了任意角的三 角函数的概念建构的全过程 再次 为了做好由 锐角 情形到 任意角 情 形的推广 必须把推广的准备工作做到家 坐标比 意义下的锐角三角函数定义搞清楚了吗 它是函 数意义下的三角函数吗 是的 这个函数以 数 意义为角 取值范围 定义域 为fo 詈 为自 厶 变量 对应法则是点的坐标的比值 与点的选择无 关 被角 表现形式是数 所确定 这里 还可能需 要明确角的单位是弧度 以突出建立的关系是数 到数的对应 当然要恰当把握其探究的度 基于上述分析 任意角的三角函数的教学 既 是概念教学 又是建立数学模型 建构需要 漫长 的探究过程 历经多个环节 这些环节构成连贯的 线性逻辑关系 正是在这样的过程中 发展学生的 认知力 教学生学习数学研究的一般方法 教学生 学会思考 从而实现数学育人的价值 如果人为地 缩短过程或打破这样的程序结构 教学过程中必 然会发生教学不自然 学生心理体验与认知不到 位的现象 4 教学设计构想 基于上述分析 针对 任意角的三角函数 的 教学 笔者就 终边定义法 的教材安排 选择 摩 天轮情境 引入 给出教学设计构想 笔者试图厘 清其间的逻辑顺序与结构 努力突出学生的主动 探究 知识产生的自然 数学探究活动的顺畅 这 里 笔者用如下框图 图1 表示教学路线图 并就 几个节点作出说明 1 给出匀速旋转的摩天轮情境 提出坐在 座舱里的一个人的位置描述的问题 引导学生恰 当建立平面直角坐标系 以摩天轮中心为坐标 原点 借助于坐标系研究 并回顾任意角的意义 得到两种可能的描述形式 r a 与 z 3 f 把实际 问题转化为数学问题 进而提出在坐标系下探究 r 口 与 z y 的关系的问题 情境 l 垂副蕊霪H 囊羚筹 圈l 2 直接就任意角的情形探究是困难的 学 生很难独立完成探究过程 需要教师启发引导 首 先 遇到新问题怎么办 如果问题比较复杂 该从 哪里切入呢 让学生萌发从 简单开始 的念 头 其次 对任意角而言 简单情形是什么呢 锐角 即当口为锐角时的情形 进而引导学生 形成先研究 口为锐角情形 的方案 此时问题转 化为 先研究口为锐角 时 r a 与 z y 的关 系 再次 你打算怎样研 究呢 具体要探究 当a 为锐角时 r 口 z y 是什么 有何意义 引导 学生自己画图 如图2 f 晰 i i y 口r D xMx 图2 此时直角三角形 0 M P 自然 浮出水面 初中直角三角形中的锐 角三角函数也随之而来 对新知识的探究自然回 到已有的基础起点 3 在图2 中 从 它是什么 出发 不难看出 横 纵坐标即为直角三角形o M P 的两直角边 o M M P 的长 再分析口 r 的意义 直角三角形中 的边角关系 初中 直角三角形中的锐角三角 函数 的出场自然而然 直接迁移过来 容易得到 关系式s i n 口一上 c o s 口 兰 t a na 上 再探究这 fl工 一组关系式 回答了 口为锐角时 的问题 它 们是函数 因为符合函数的定义 结果与P 点 选择无关 这样就得到了函数意义下的 坐标比形 式的锐角三角函数 虽然此时角仍为锐角 其终边 在第一象限 但研究已 离开 了 直角三角形 边 长比 建立了以终边上点的坐标来定义的三角 函数 接下去的 角口的终边在其它位置 的研究 万方数据 1 6数学通报2 0 1 4 年第5 3 卷第1 2 期 也就自然展开了 4 前文已及 面对本课研究的目标任务 已 经解决了特殊情形下 口为锐角 的问题 尚有a 不是锐角的情形下的问题没有解决 怎样解决呢 任意角与锐角有何关系呢 要把结果推广到 口为任意角的情形中去 如何推广呢 怎样定义 才是合适的呢 猜想用s i na 一手 c sa 一 三 t a n 口一上 z O 来定义可能是合适的 接下 工 来依然要探究 这样的猜想是合理而有意义的 它们是函数 因为符合函数的定义 结果与P 点选择无关 回答了提出的问题 前文已详述 5 回顾探究过程 综合研究成果 明确回答 问题 分析用s i n 口一上 c o s 口一土 t a n 口一上 z I TZ o 来描述 r 口 z y 的关系 是可能的 合理 的 有意义的 首先要考察特例 即当口为锐角时 它就是刚刚建立的锐角三角函数关系 其次 要思 考并理解这里用坐标比表示任意角的三角函数 其结果更具一般性与先进性 因为它把问题放在 了坐标系中讨论 它回答了本课的问题 它是 对 应说 函数意义下的函数 至此 给出 任意角的三 角函数 的定义 完成概念建构的全过程 也许是 水到渠成 自然而然的了 参考文献 1 连春兴 过程 与 结论 应该并重的一个佐证 J 中学数学 教学参考 2 0 1 0 6 1 5 1 7 2 1 2 章建跃 构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考 J 数学 通报 2 0 1 3 6 5 8 封底 3 章建跃 中学数学课改的十个论题 J 中学数学教学参考 上 旬 2 0 l O 3 2 5 4 榘东剑 三维目标下的探究教学设计 J 数学通报 2 0 1 4 3 2 8 3 2 上接第7 页 4 结束语 我国从2 0 0 3 年起动高中数学课程改革 到目 前已经进行了十余年的实践 通过国际比较研究 来进一步深入研究高中数学课程 可以为新一轮 我国高中数学课程改革的推进提供更为丰富的研 究基础 通过本文的研究 我们可以更为准确的把 握我们国家在函数内容的深度 广度以及处理方 式上的一些特点 可以更加合理地提高函数各个 知识点的认知要求 同时也会更清楚地看到 虽