江苏省13市中考数学试题分类解析汇编 专题10 三角形问题.doc

专题10：三角形问题1. （2015年江苏南京2分）如图，在abc中，debc，则下列结论中正确的是【 】a. b. c. d. 【答案】c.【考点】比例的计算；相似三角形的判定和性质.【分析】，. debc，. .故选c.2. （2015年江苏苏州3分）如图，在abc中，ab=ac，d为bc中点，bad=35，则c的度数为【 】a35 b45 c55 d60【答案】c.【考点】等腰三角形的性质；直角三角形两锐角的关系.【分析】在abc中，ab=ac，d为bc中点，根据等腰三角形三线合一的性质，得bad=cad，adbc.又bad=35，cad=35.根据直角三角形两锐角互余的性质，得c=55.故选c.3. （2015年江苏苏州3分）如图，在一笔直的海岸线l上有a、b两个观测站，ab=2km，从a测得船c在北偏东45的方向，从b测得船c在北偏东22.5的方向，则船c离海岸线l的距离（即cd的长）为【 】akm bkm ckm dkm【答案】b【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）；矩形的判定和性质；等腰直角三角形的判定和性质.【分析】如答图，过点b作beac交ac于点e，过点e作efcd交cd于点f，则根据题意，四边形bdef是矩形，abe、efc和adc都是等腰直角三角形，ab=2，df=bf= ab=2，.ebc=bce=22.5，ce=be=2.（km）.船c离海岸线l的距离为 km.故选b4. （2015年江苏泰州3分）如图，中，ab=ac，d是bc的中点，ac的垂直平分线分别交 ac、ad、ab于点e、o、f，则图中全等的三角形的对数是【 】a. 1对 b. 2对 c. 3对 d. 4对【答案】d.【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定. 【分析】ab=ac，d是bc的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，易得.ef是ac的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的性质，易得.综上所述，图中全等的三角形的对数是4对.故选d.5. （2015年江苏无锡3分）的值为【 】a. b. c. d. 【答案】b【考点】特殊角的三角函数值【分析】根据45角这个特殊角的三角函数值，可得.故选b6. （2015年江苏无锡3分）如图，rtabc中，acb90，ac3，bc4，将边ac沿ce翻折，使点a落在ab上的点d处；再将边bc沿cf翻折，使点b落在cd的延长线上的点b处，两条折痕与斜边ab分别交于点e、f，则线段bf的长为【 】a. b. c. d. 【答案】b【考点】翻折变换（折叠问题）；折叠的性质；等腰直角三角形的判定和性质；勾股定理【分析】根据折叠的性质可知，.，. 是等腰直角三角形. . .，.在中，根据勾股定理，得ab=5，.在中，根据勾股定理，得，.在中，根据勾股定理，得.故选b7. （2015年江苏徐州3分）如图，菱形中，对角线ac、bd交于点o，e为ad边中点，菱形abcd的周长为28，则oe的长等于【 】a. b. c. d. 【答案】a.【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上中线的性质. 【分析】四边形abcd是菱形，且周长为28，.e为ad边中点，根据直角三角形斜边上中线等于斜边 一半的性质，得.故选a.8. （2015年江苏盐城3分）将一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若1=60，则2的度数为【 】a. 85 b. 75 c. 60 d. 45【答案】b.【考点】等腰直角三角形的性质；三角形内角和定理；平行的性质.【分析】如答图，是等腰直角三角形，.在中，1=60，.，.故选b.9. （2015年江苏盐城3分）若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为【 】a. 12 b. 9 c. 12或9 d. 9或7【答案】a.【考点】等腰三角形的性质；三角形构成条件；分类思想的应用.【分析】根据等腰三角形的性质，如果等腰三角形的两边长分别为2和5，则另一边可能是2或5.但根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的三边关系，2，2，5不构成三角形因此这个等腰三角形的三边只能是2，5，5，周长为12.故选a.10. （2015年江苏扬州3分）如图，若锐角abc内接于o，点d在o外（与点c在ab同侧）， 则下列三个结论：；中，正确的结论为【 】a. b. c. d. 【答案】d. 【考点】圆周角定理；三角形外角性质；锐角三角函数的性质.【分析】如答图，设与o相交于点，连接.，.正弦、正切函数值随锐角的增大而增大，余弦函数值随锐角的增大而减小， ， .正确的结论为.故选d.11. （2015年江苏淮安3分）下列四组线段组成直角三角形的是【 】a. b. c. d. 【答案】d.【考点】勾股定理逆定理. 【分析】根据勾股定理逆定理，因为，所以能组成直角三角形的是.故选d.12. （2015年江苏南通3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是【 】a. 5，6，10 b. 5，6，11 c. 3，4，8 d. 4a，4a，8a（a0）【答案】a【考点】三角形三边关系【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可:a、105610+5，三条线段能构成三角形，故本选项正确；b、115=6，三条线段不能构成三角形，故本选项错误；c、3+4=78，三条线段不能构成三角形，故本选项错误；d、4a+4a=8a，三条线段不能构成三角形，故本选项错误故选a13. （2015年江苏南通3分）如图，在平面直角坐标系中，直线oa过点（2，1），则tan的值是【 】a. b. c. d. 【答案】c【考点】坐标与图形性质；锐角三角函数定义.【分析】如答图，设（2，1）点是b，过点b作bcx轴于点c则oc=2，bc=1，故选c14. （2015年江苏宿迁3分）若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为【 】a. 9 b. 12 c. 7或9 d. 9或12【答案】b【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类思想的应用.【分析】当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长=5+5+2=12；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立.所以这个三角形的周长是12故选b1. （2015年江苏连云港3分）在abc中，ab=4，ac=3，ad是abc的角平分线，则abd与acd的面积之比是 【答案】.【考点】角平分线的性质；等高三角形的面积.【分析】如图，过点d分别作ab、ac的高线de、df，ad是abc的角平分线，de=dfab=4，ac=3，.2. （2015年江苏连云港3分）如图，在abc中，bac=60，abc=90，直线l1l2l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点a，b，c，则边ac的长为 【答案】.【考点】平行线的性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；相似三角形的判定和性质；勾股定理【分析】如答图，过点b作efl2，交l1于e，交l3于f， bac=60，abc=90，直线l1l2l3，efl1，efl3. aeb=bfc=90abc=90，eab=90abe=fbc.bfcaeb，eb=1，fc=在rtbfc中，在rtabc中， 3. （2015年江苏苏州3分）如图，在abc中，cd是高，ce是中线，ce=cb，点a、d关于点f对称，过点f作fgcd，交ac边于点g，连接ge若ac=18，bc=12，则ceg的周长为 【答案】27.【考点】点对称的性质；等腰三角形的性质；三角形中位线的性质.【分析】ce=cb，bc=12，ce=cb=12.点e是ab 的中点，eg 是abc 的中位线. .又点a、d关于点f对称，fgcd，fg 是adc的中位线.ac=18，.ceg 的周长为：ce+ge+cg=12+6+9=27.4. （2015年江苏泰州3分）如图，中，d为bc 上一点，bad=c，ab=6，bd=4，则cd的长为 【答案】5.【考点】相似三角形的判定和性质. 【分析】bad=c，b=b，.ab=6，bd=4，解得.5. （2015年江苏泰州3分）如图， 矩形中，ab=8，bc=6，p为ad上一点，将abp 沿bp翻折至ebp， pe与cd相交于点o，且oe=od，则ap的长为 【答案】.【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；折叠对称的性质；勾股定理，全等三角形的判定和性质；方程思想的应用. 【分析】如答图，四边形是矩形，.根据折叠对称的性质，得，.在和中，. .设，则，.在中，根据勾股定理，得，即.解得.ap的长为.6. （2015年江苏无锡2分）命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）【答案】假.【考点】命题与定理；逆命题；真假的判定【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题；分析是否为真命题，需要分别分析题设是否能推出结论，如果能就是真命题因此，“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等三角形”，根据全等三角形的定义，不符合要求，因此是假命题7. （2015年江苏无锡2分）已知：如图，ad、be分别是abc的中线和角平分线，adbe，adbe6，则ac的长等于 【答案】.【考点】三角形中位线定理；勾股定理；全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质；平行四边形的判定和性质【分析】如答图所示，延长ad至f，使df=ad，过点f作fgbe与ac延长线交于点g，过点c作chbe，交af于点h，连接bf， 在中，根据勾股定理得：，在和中，. .agbf. 四边形ebfg是平行四边形.在和中，.chfg，.，即，解得：.8. （2015年江苏徐州3分）如图，在abc中，c=31，abc的平分线bd交ac于点d，如果de垂直平分bc，那么a= 【答案】87. 【考点】线段垂直平分的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理.【分析】de垂直平分bc，.c=31，.abc的平分线bd交ac于点d，.9. （2015年江苏盐城3分）如图，在abc与adc中，已知ad=ab，在不添加任何辅助线的前提下，要使abcadc，只需要再添加的一个条件可以是 【答案】或（答案不唯一）.【考点】开放型；全等三角形的判定.【分析】在abc与adc中，已知ad=ab，又有公共边ac=ac，因此，在不添加任何辅助线的前提下，根据sas，添加，可使abcadc；根据sss，添加，可使abcadc.答案不唯一.10. （2015年江苏盐城3分）如图，点d、e、f分别是abc各边的中点，连接de、ef、df，若abc的周长为10，则def的周长为 【答案】5.【考点】三角形中位线定理. 【分析】点d、e、f分别是abc各边的中点，.abc的周长为10，def的周长为5.11. （2015年江苏盐城3分）设abc的面积为1，如图将边bc、ac分别2等份，、相交于点o，aob的面积记为；如图将边bc、ac分别3等份，、相交于点o，aob的面积记为；， 依此类推，则可表示为 (用含的代数式表示，其中为正整数)【答案】.【考点】探索规律题（图形的变化类）；平行的判定和性质；相似三角形的判定和性质；等底或等高三角形面积的性质.【分析】如答图，连接，可知.在图中，由题意，得，且，.和的边上高的比是.又，.在图中，由题意，得，且，.和的边上高的比是.又，.在图中，由题意，得，且，.和的边上高的比是.又，.依此类推， 可表示为，.12. （2015年江苏扬州3分）如图，已知rtabc中，abc=90，ac=6，bc=4，将abc绕直角顶点c顺时针旋转90得到dec，若点f是de的中点，连接af，则af= 【答案】5.【考点】面动旋转问题；直角三角形斜边上中线的性质；等腰三角形的性质；三角形中位线定理；勾股定理.【分析】如答图，连接，过点作于点，在rtabc中，abc=90，点f是de的中点，.是等腰三角形.将abc绕直角顶点c顺时针旋转90得到dec，bc=4，ac=6，.，.又分别是的中点，是dec的中位线.在rtagf中，由勾股定理，得af=5.13. （2015年江苏扬州3分）如图，已知abc的三边长为，且，若平行于三角形一边的直线将abc的周长分成相等的两部分，设图中的小三角形、的面积分别为，则的大小关系是 （用“”号连接）.【答案】.【考点】阅读理解型问题；代数几何综合问题；图形的分割；平行的性质；相似三角形的判定和性质；不等式的性质. 【分析】设abc的周长为，面积为，如答图，设，则.平行于三角形一边的直线将abc的周长分成相等的两部分，即.，.且.同理可得，.，.14. （2015年江苏常州2分）如图，在abc中，debc，ad：db=1：2，de=2，则bc的长是 【答案】6【考点】相似三角形的判定和性质.【分析】debc，.ad：db=1：2，de=2，.15. （2015年江苏常州2分）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点o，古塔位于点a（400，300），从古塔出发沿射线oa方向前行300m是盆景园b，从盆景园b向左转90后直行400m到达梅花阁c，则点c的坐标是 【答案】（400，800）【考点】全等三角形的判定和性质；勾股定理的应用；坐标确定位置【分析】如答图，连接ac，a（400，300），od=400m，ad=300m.由题意可得：ab=300m，bc=400m，在aod和acb中，aodacb（sas）.cab=oad.b、o在一条直线上，c、a、d也在一条直线上.ac=ao=500m， cd=ac=ad=800m.c点坐标为：（400，800）16. （2015年江苏淮安3分）如图，a、b两地被一座小山阻隔，为了测量a、b两地之间的距离，在地面上选一点c，连接ca、cb，分别取ca、cb的中点d、e，测得de的长度为360米，则a、b两地之间的距离是 米【答案】720.【考点】三角形中位线定理【分析】根据三角形中位线求出ab=2de，代入求出即可：d、e分别是ac、bc的中点，de=360米，ab=2de=720米.17. （2015年江苏南通3分）如图，abc中，d是bc上一点，ac=ad=db，bac=102，则adc= 度【答案】52【考点】等腰三角形的性质。三角形内角和外角性质【分析】ac=ad=db，b=bad，adc=c.设adc=，b=bad=.bac=102，dac=102.在adc中，adc+c+dac=180，解得：=52，即adc=52.18. （2015年江苏南通3分）如图，矩形abcd中，f是dc上一点，bfac，垂足为e，cef的面积为s1，aeb的面积为s2，则的值等于 【答案】.【考点】矩形的性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质【分析】，设ad=bc=a，则ab=cd=2a. .bfac，cbecab，aebabc. .cefaeb，.19. （2015年江苏宿迁3分）如图，在rtabc中，acb=90，点d，e，f分别为ab，ac，bc的中点若cd=5，则ef的长为 【答案】5【考点】直角三角形斜边上的中线性质；三角形中位线定理【分析】abc是直角三角形，cd是斜边的中线，cd=5，cd=ab，即ab=2cd=10.又ef是abc的中位线，ef=ab=10=520. （2015年江苏镇江2分）如图，将等边oab绕o点按逆时针方向旋转150，得到oab（点a，b分别是点a，b的对应点），则1= 【答案】150【考点】旋转的性质；等边三角形的性质【分析】等边oab绕点o按逆时针旋转了150，得到oab，aoa=150，aob=60，1=360aoaaob=36015060=150.21. （2015年江苏镇江2分）如图，中，e为ad的中点，be，cd的延长线相交于点f，若def的面积为1，则的面积等于 【答案】4【考点】平行四边形的性质；全等、相似三角形的判定和性质【分析】四边形abcd是平行四边形，adbc，abcd，ad=bc.abcd，a=edf.又ae=de，aeb=def，abedfe（sas）.fd=ab=dc，.adbc，fbcfed. .， .22. （2015年江苏镇江2分）如图，abc和dbc是两个具有公共边的全等三角形，ab=ac=3cm，bc=2cm，将dbc沿射线bc平移一定的距离得到d1b1c1，连接ac1，bd1如果四边形abd1c1是矩形，那么平移的距离为 cm【答案】7【考点】面动平移问题；相似三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；平移的性质【分析】如答图，过点a作aebc于点e，aeb=aec1=90，bae+abc=90.ab=ac，bc=2，be=ce=bc=1，四边形abd1c1是矩形，bac1=90.abc+ac1b=90. bae=ac1b.abec1ba. .ab=3，be=1，.bc1=9.cc1=bc1bc=92=7，即平移的距离为71. （2015年江苏连云港10分）如图，在abc中，abc=90，bc=3，d为ac延长线上一点，ac=3cd，过点d作dhab，交bc的延长线于点h（1）求的值；（2）若cbd=a，求ab的长【答案】解：（1）dhab，bhd=abc=90.abcdhc. .bc=3，ac=3cd，. ch=1，bh=bc+ch=4.在rtbhd中，.（2）dhab，bhd=abc=90.又cbd=a，abcbhd. .abcdhc，.ab=3dh，解得dh=2.ab=3dh=32=6，即ab的长是6【考点】相似三角形的判定和性质；锐角三角函数定义【分析】（1）根据dhab，判定abcdhc，得到=3，求出bh的值，在rtbhd中，根据余弦函数定义求出（2）根据abcbhd，推得；根据abcdhc，推得，所以ab=3dh；从而由求出dh的值，进而求出ab的值2. （2015年江苏南京8分）如图，abc中，cd是边ab上的高，且（1）求证acdcbd；（2）求acb的大小【答案】解：（1）证明：cd是边ab上的高，adc=cdb=90.又，acdcbd.（2）acdcbd，a=bcd.在acd中，adc=90，a+acd=90.bcd+acd=90，即 acb=90.【考点】相似三角形的判定和性质；直角三角形两锐角的关系.【分析】（1）根据“两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似”作出判定.（2）根据相似三角形对应角相等的性质，结合直角三角形两锐角的关系即可求解.3. （2015年江苏南京8分）如图，轮船甲位于码头o的正西方向a处，轮船乙位于码头o的正北方向c处，测得cao=45轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h经过0.1h，轮船甲行驶至b处，轮船乙行驶至d处，测得dbo=58，此时b处距离码头o有多远？（参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581.60）【答案】解：设b处距离码头oxkm，在rtcao中，cao=45，在rtdbo中，dbo=58， 答：b处距离码头o大约13.5km【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；方程思想的应用【分析】设b处距离码头oxkm，分别在rtcao和rtdbo中，应用锐角三角函数定义，用x表示出和的长，根据列方程求解即可4. （2015年江苏南京10分）如图，在边长为4的正方形abcd中，请画出以a为一个顶点，另外两个顶点在正方形abcd的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）【答案】解：满足条件的所有等腰三角形如答图所示：【考点】作图（应用和设计作图）；等腰三角形的性质；正方形的性质；分类思想的应用【分析】分是顶角，腰长是3；是顶角，底边长是3（底角在上）；是顶角，底边长是3（底角在上）；是底角，腰长是3；是底角，底边是3五种情况5. （2015年江苏苏州8分）如图，在abc中，ab=ac分别以b、c为圆心，bc长为半径在bc下方画弧，设两弧交于点d，与ab、ac的延长线分别交于点e、f，连接ad、bd、cd（1）求证：ad平分bac；（2）若bc=6，bac50，求的长度之和（结果保留）【答案】解：（1）证明：由作图可知，bd=cd.在abd和acd中，abdacd（sss）.bad=cad，即ad平分bac.（2）ab=ac，bac50，abc=acb=65.又bd=cd=bc，bdc是等边三角形. dbc=dcb=60.dbe=dcf=55.又bc=6，bd= cd=6，的长度之和.【考点】全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定和性质；三角形内角和定理；弧长的计算.【分析】（1）由sss证明abdacd即可证得结论.（2）求出dbe和dcf即可应用应用弧长公式求解.6. （2015年江苏泰州10分）如图，某仓储中心有一斜坡ab，其坡度为，顶部a处的高ac为4m，b、c在同一水平地面上。（1）求斜坡ab的水平宽度bc；（2）矩形defg为长方形货柜的侧面图，其中de=2.5m，ef=2m.将该货柜沿斜坡向上运送，当bf=3.5m时，求点d离地面的高.（，结果精确到0.1m）【答案】解：（1），.，.斜坡ab的水平宽度为8m.（2）如答图，延长交于点，过点作于点，.又，.，.又，解得.又，.在中，由勾股定理，得，易得，即，解得.点d离地面的高为4.5 m.【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题）；相似三角形的判定和性质；勾股定理.【分析】（1）根据坡度的定义列式求解即可.（2）作辅助线“延长交于点，过点作于点”构造两对相似三角形和，根据对应边成比例列式求解即可.7. （2015年江苏无锡8分）已知：如图，abcd，e是ab的中点，cede求证：（1）aecbed；（2）acbd【答案】证明：（1）abcd，aec=ecd，bed=edc.ce=de，ecd=edc. aec=bed.（2）e是ab的中点，ae=be.在aec和bed中，aecbed（sas）. ac=bd【考点】平行的性质；全等三角形的判定和性质【分析】（1）根据ce=de得出ecd=edc，再利用平行线的性质进行证明即可.（2）根据sas证明aec与bed全等，再利用全等三角形的性质证明即可8. （2015年江苏无锡10分）如图，c为aob的边oa上一点，oc6，n为边ob上异于点o的一动点，p是线段05上一点，过点p分别作pqoa交ob于点q，pmob交oa于点m（1）若aob=60，om=4，oq=1，求证：05ob；（2）当点n在边ob上运动时，四边形ompq始终保持为菱形；问：的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由；设菱形ompq的面积为s1，noc的面积为s2，求的取值范围【答案】解：（1）证明：如答图，过点p作peoa于点e，pqoa，pmob，四边形ompq为平行四边形.oq=1，aob=60，pm=oq=1，pme=aob=60. pce=30. cpm=90，又pmob，05o=cpm=90，即05ob.（2）的值不发生变化，理由如下：设，四边形ompq为菱形，.pqoa，nqp=o.又qnp=onc，nqpnoc.，即， 化简,得.不变化.如答图,过点p作peoa于点e，过点n作nfoa于点f，设，则,pmob，mcp=o.又pcm=nco，cpm05o. .0x6，根据二次函数的图象可知， 【考点】相似形综合题；单动点问题；定值问题；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；相似三角形的判定和性质；二次函数的性质；平行四边形的判定和性质；菱形的性质.【分析】（1）作辅助性线，过点p作peoa于e，利用两组对边平行的四边形为平行四边形得到ompq为平行四边形，利用平行四边形的对边相等，对角相等得到pm=oq=1，pme=aob=60，进而求出pe与me的长，得到ce的长，求出tanpce的值，利用特殊角的三角函数值求出pce的度数，得到pm于nc垂直，而pm与on平行，即可得到05与ob垂直.（2）的值不发生变化，理由如下：设om=x，on=y，根据ompq为菱形，得到pm=pq=oq=x，qn=yx，根据平行得到nqp与noc相似，由相似得比例即可确定出所求式子的值. 作辅助性线，过点p作peoa于点e，过点n作nfoa于点f，表示出菱形ompq的面积为s1，noc的面积为s2，得到，由pm与ob平行，得到cpm与05o相似，由相似得比例求出所求式子的范围即可9. （2015年江苏徐州8分）如图，点a，b，c，d在同一条直线上，点e，f分别在直线ad的两侧，且ae=df，a=d，ab=dc（1）求证：四边形dfce是平行四边形；（2）若ad=10，ec=3，ebd=60，则ab= 时，四边形bfce是菱形【答案】解：（1）ae=df，a=d，ab=dc，.四边形dfce是平行四边形.（2）3.5. 【考点】全等三角形的判定和性质；平行的判定；平行四边形的判定；菱形的性质；等边三角形的判定和性质.【分析】（1）由已知，根据证明，从而得到，根据等角的补角相等得到，根据内错角相等两直线平行的判定得到，进而根据一组对边平行且相等垢四边形是平行四边形的判定而得证.（2）若四边形bfce是菱形，则，ebd=60，是等边三角形.ec=3，.ad=10，ab=dc，.10. （2015年江苏徐州8分）如图，平面直角坐标系中，将含30的三角尺的直角顶点c落在第二象限. 其斜边两端点a、b分别落在x轴、y轴上，且ab=12cm（1）若ob=6cm求点c的坐标；若点a向右滑动的距离与点b向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点c与点o的距离的最大值= cm.【答案】解：（1）如答图1，过点c作y轴的垂线，垂足为d，在rtabc中，ab=12，bac=30，bc=6.在rtaob中，ab=12， ob=6，bao=30，abo=60.又cba=60，cbd=60，bcd=30.bd=3，cd=od=9.点c的坐标为.如答图2，设点a向右滑动的距离，根据题意得点b向动的距离.在rtaob中，ab=12， ob=6，.在ao b中，由勾股定理得，解得，（舍去）.滑动的距离为（2）12【考点】面动问题；含30度角直角三角形的性质；勾股定理；点的坐标；二次函数最值的应用；方程思想的应用.【分析】（1）作辅助线“过点c作y轴的垂线，垂足为d”，应用含30度角直角三角形的性质求出cd和bd的长，即可求出点c的坐标.设点a向右滑动的距离，用表示出和的长，在ao b中，应用勾股定理列方程求解即可.（2）设点c的坐标为，如答图3，过点c作cex轴，cdy轴， 垂足分别为e，d，则oe=x，od=y.acebce=90，dcbbce=90，ace=dcb.又aec=bdc=90，ace bcd.，即. .当取最大值，即点c到y轴距离最大时，有最大值，即oc取最大值，如图，即当转到与y轴垂时. 此时oc=1211. （2015年江苏盐城10分）如图，在abc中，cab=90，cba=50，以ab为直径作o交bc于点d，点e在边ac上，且满足ed=ea.（1）求doa的度数； （2）求证：直线ed与o相切.【答案】解：（1）cba和doa是同圆中同弧所对的圆周角和圆心角，且cba=50，doa=2cba=100.（2）如答图，连接，在和中，.直线ed与o相切.【考点】圆周角定理；全等三角形的判定和性质；切线的判定.【分析】（1）根据同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半直接求解.（2）作辅助线“连接”构造全等三角形，由证明，从而得到，进而作出直线ed与o相切的判定.12. （2015年江苏盐城10分）如图所示，一幢楼房ab背后有一台阶cd，台阶每层高米，且ac=米，设太阳光线与水平地面的夹角为.当时，测得楼房在地面上的影长ae=米，现有一只小猫睡在台阶的mn这层上晒太阳.（取）（1）求楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由.【答案】解：（1）当时，ae=米，（米）.楼房的高度约为17.3米.（2）当时，小猫还能晒到太阳.理由如下：如答图，假设台阶是透明的，当时，从点b射出的光线与地面ad的交点为点f，与mc的交点为点h，是等腰直角三角形.是等腰直角三角形，.，大楼的影子落在台阶这个侧面上。小猫还能晒到太阳.【考点】解直角三角形的应用；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；等腰直角三角形的判定和性质.【分析】（1）直接根据正切函数的定义和60的三角函数值求出楼房的高度.（2）假设台阶是透明的，当时，从点b射出的光线与地面ad的交点为点f，与mc的交点为点h，求出的长与比较即可得出结论.13. （2015年江苏扬州10分）如图，将沿过点a的直线折叠，使点d落到ab边上的点处，折痕交cd边于点e，连接be.（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若be平分abc，求证：.【答案】证明：（1）如答图，将沿过点a的直线折叠，.四边形是平行四边形，. . .，. 四边形是平行四边形.（2）如答图，be平分abc，.四边形是平行四边形，. .由（1），即.在中，由勾股定理，得.【考点】折叠问题；折叠对称的性质；平行四边形的判定和性质；平行的性质；等腰三角形的判定；三角形内角和定理；勾股定理.【分析】（1）要证四边形是平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，一方面，由四边形是平行四边形可有；另一方面，由折叠对称的性质、平行的内错角相等性质、等腰三角形的等角对等边的性质可得，从而得证.（2）要证，根据勾股定理，只要的即可，而要证，一方面，由be平分abc可得（如答图，下同）；另一方面，由可得，从而得到，结合（1）即可根据三角形内角和定理得到，进而得证.14. （2015年江苏常州8分）如图，在中，bcd=120，分别延长dc、bc到点e，f，使得bce和cdf都是正三角形（1）求证：ae=af；（2）求eaf的度数【答案】解：（1）证明：四边形abcd是平行四边形，bad=bcd=120，abc=adc，ab=cd，bc=ad.bce和cdf都是正三角形，be=bc，df=cd，ebc=cdf=60.abe=fda，ab=df，be=ad.在abe和fda中，abefda（sas）.ae=af.（2）abefda，aeb=fad.abe=60+60=120，aeb+bae=60.fad+bae=60，eaf=12060=60【考点】全等三角形的判定和性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质【分析】（1）由平行四边形的性质得出bad=bcd=120，abc=adc，ab=cd，bc=ad，由等边三角形的性质得出be=bc，df=cd，ebc=cdf=60，从而证出abe=fda，ab=df，be=ad，根据sas证明abefda，得出对应边相等即可.（2）由全等三角形的性质得出aeb=fad，求出aeb+bae=60，得出fad+bae=60，即可得出eaf的度数15. （2015年江苏常州8分）如图，在四边形abcd中，a=c=45，adb=abc=105（1）若ad=2，求ab；（2）若，求ab【答案】解：（1）如答图，过点a作deab于点e，过点b作bfcd于点f， a=c=45，ade与bcf为等腰直角三角形.又adb=abc=105，adc=360acabc=3604545105=165.bdf=adcadb=165105=60.ad=2，.abc=105，abd=1054530=30.（2）设，则，.bdf=60，dbf=30. ，.，.，.【考点】勾股定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；多边形内角和定理【分析】（1）作辅助线“过点a作deab于点e，过点b作bfcd于点f”，构造含特殊角的直角三角形，在四边形abcd中，由a=c=45，adb=abc=105，得bdf=60，由ade与bcf为等腰直角三角形，求得ae，利用锐角三角函数得be，从而求得ab.（2）设de=x，利用（1）的某些结论，特殊角的三角函数和勾股定理，用x表示ab，cd，得出，从而根据求得结果16. （2015年江苏淮安8分）已知：如图，在矩形abcd中，点e、f在边ad上，且aedf，求证：bfce.【答案】证明：四边形abcd是矩形，.又aedf，afde.bfce.【考点】矩形的性质；全等三角形的判定和性质. 【分析】要证bfce，只要证它们是全等三角形的对应边即可. 考察和，一方面，由矩形的性质可得；另一方面，由已知aedf，根据等量加等量和相等得 afde，从而应用即可证明.17. （2015年江苏南通8分）如图，一海伦位于灯塔p的西南方向，距离灯塔海里的a处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔p的南偏东60方向上的b处，求航程ab的值（结果保留根号）【答案】解：如答图，过p作pcab于点c，在rtacp中，pa=海里，apc=45，ac=apsin45=40（海里），pc=apcos45=40（海里）.在rtbcp中，bpc=60，bc=pctan60=（海里），ab=ac+bc=（40+）海里【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值【分析】作辅助线“过p作pcab于点c” ，构造两直角三角形acp和bcp，应用锐角三角函数定义求出ac和cb的长，由ac+cb求出ab的长即可18. （2015年江苏南通8分）如图，在中，点e，f分别在ab，dc上，且eddb，fbbd（1）求证：aedcfb；（2）若a=30，deb=45，求证：da=df【答案】证明：（1）四边形abcd是平行四边形，ad=cb，a=c，adcb. adb=cbd.eddb，fbbd，edb=fbd=90.ade=cbf.在aed和cfb中，aedcfb（asa）.（2）如答图，过点d作dhab，垂足为h，在rtadh中，a=30，da=2dh.在rtdeb中，deb=45，eb=2dh.da= eb.aedcfb，ae=cf.ab=dc，eb=df.da=df【考点】平行四边形的判定和性质；全等三角形的判定和性质；含30度角的直角三角形的性质；等腰直角三角形的性质【分析】（1）由四边形abcd为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用asa即可得证.（2）作辅助线“过点d作dhab，垂足为h”，一方面，在rtadh中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到ad=2dh，在rtdeb中，利用等腰直角三角形的性质得到eb=2dh，从而得到da= eb；另一方面，由aedcfb得到ae=cf，由四边形abcd是平行四边形得到ab=dc，从而证得eb=df，进而等量代换即可得证19. （2015年江苏南通13分）如图，rtabc中，c=90，ab=15，bc=9，点p，q分别在bc，ac上，cp=3x，cq=4x（0x3）把pcq绕点p旋转，得到pde，点d落在线段pq上（1）求证：pqab；（2）若点d在bac的平分线上，求cp的长；（3）若pde与abc重叠部分图形的周长为t，且12t16，求x的取值范围【答案】解：（1）证明：在r