江苏省高三数学一轮复习 考试试题精选（1）分类汇编20 函数的最值与导数.doc

江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编20：函数的最值与导数一、填空题 （江苏省阜宁中学2014届高三第一次调研考试数学（理）试题）若不等式对恒成立,则实数的取值范围是_.【答案】 （江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三上学期期中模拟数学试题）已知函数,若对,则实数的取值范围是_.【答案】 （江苏省无锡市市北高中2014届高三上学期期初考试数学试题）函数在区间上的最小值为_.【答案】0 二、解答题 （江苏省如皋中学2014届高三上学期期中模拟数学试卷）(本题满分16分,第1小题 ,第2小题4分,第3小题8分)已知函数在点处的切线方程为.求函数的解析式;若对于区间上任意两个自变量的值都有,求实数的最小值;若过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围.【答案】(本题满分16分,第1小题 ,第2小题4分,第3小题8分) 解: 根据题意,得即解得 所以 令,即.得.12+增极大值减极小值增2因为, 所以当时, 则对于区间上任意两个自变量的值,都有 ,所以. 所以的最小值为4 因为点不在曲线上,所以可设切点为. 则. 因为,所以切线的斜率为 则=, 即. 因为过点可作曲线的三条切线, 所以方程有三个不同的实数解. 所以函数有三个不同的零点. 则.令,则或.02+增极大值减极小值增则 ,即,解得 （江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f(x)=1ax2(a0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点m.n,交曲线于点p,设p(t,f(t).(1)将omn(o为坐标原点)的面积s表示成t的函数s(t);(2)若在t=处,s(t)取得最小值,求此时a的值及s(t)的最小值.【答案】解:(1)曲线f(x)=1ax2(a0) 可得f(x)=2ax,p(t,f(t). 直线mn的斜率为:k=f(t)=2at,可得 lmn:yf(t)=k(xt)=2at(xt), 令y=0,可得xm=t+,可得m(t+,0); 令x=0,可得ym=1+at2,可得n(0,1+at2), s(t)=somn=(1+at2)=; (2)t=时,s(t)取得最小值, s(t)=, s()=0,可得12a24a=0,可得a=, 此时可得s(t)的最小值为s()=; （江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）已知函数(是自然对数的底数)的最小值为. 求实数的值; 已知且,试解关于的不等式; 已知且.若存在实数,使得对任意的,都有,试求的最大值.【答案】解:(1)因为,所以,故, 因为函数的最小值为,所以 (2)由(1)得,. 当时, 故不等式可化为:,即, 得, 所以,当时,不等式的解为;当时,不等式的解为 (3)当且时, . 原命题等价转化为:存在实数,使得不等式对任意恒成立 令.,函数在为减函数. 又, 要使得对,值恒存在,只须 , 且函数在为减函数, 满足条件的最大整数的值为3 （江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校2014届高三10月月考数学试题）如图,某自来水公司要在公路两侧排水管,公路为东西方向,在路北侧沿直线排,在路南侧沿直线排,现要在矩形区域abcd内沿直线将与接通.已知ab = 60m,bc = 60m,公路两侧排管费用为每米1万元,穿过公路的ef部分的排管费用为每米2万元,设ef与ab所成角为.矩形区域内的排管费用为w.(1)求w关于的函数关系式;(2)求w的最小值及相应的角.【答案】解:(1)如图,过e作,垂足为m,由题意得,故有, ,所以w=(2)设,则.令得,即,得.列表+0-单调递增极大值单调递减所以当时有,此时有.答:排管的最小费用为万元,相应的角. （江苏省泰州市姜堰区2014届高三上学期期中考试数学试题）(本题满分16分) 已知函数.()若,(i)求曲线在点处的切线方程,(ii)求在区间上的最大值;()若当时,恒成立,求实数的取值范围.【答案】()(i)f (x) = 3x22ax,f (1) = 32a = 3,a = 0,y=x3 f(1)=1,f (x) = 3x2,f (1) = 3,切点(1,1),斜率为3,y = 3x2 (ii)f(x) = x3,f (x) = 3x20,f(x)在0,2,f(x)最大值=f(2)=8 ()x3ax2+x0对x0,2恒成立,ax2x3+x 当x = 0时成立 当x(0,2时ax+,x+2,在x=1处取最小值 a2 （江苏省泰州市姜堰区2014届高三上学期期中考试数学试题）已知.()若函数在区间上有极值,求实数的取值范围;()若关于的方程有实数解,求实数的取值范围;()当,时,求证:.20132014学年度第一学期期中考【答案】解:(), 当时,;当时,; 函数在区间(0,1)上为增函数;在区间为减函数 当时,函数取得极大值,而函数在区间有极值. ,解得 ()由()得的极大值为,令,所以当时,函数 取得最小值,又因为方程有实数解,那么, 即,所以实数的取值范围是: ()函数在区间为减函数,而, ,即 即,而, 结论成立 （江苏省泗阳中学2014届高三第一次检测数学试题）设函数f(x)=ax3+bx+c(a0)为奇函数,其图象在点(1,f(1)处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f(x)的最小值为-12.(1)求a,b,c的值;(2)求函数f(x)的单调区间,并求函数f(x)在-1,3上的最大值和最小值.【答案】解: (1)f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x)即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c,c=0, f(x)=3ax2+b的最小值为-12,b=-12,又直线x-6y-7=0的斜率为, 因此,f(1)=3a+b=-6,a=2,b=-12,c=0. (2)单调递增区间是(-,-)和(,+) ,单调递减区间是(- ,). f(x)在-1,3上的最大值是18,最小值是-8. （江苏省阜宁中学2014届高三第一次调研考试数学（理）试题）已知函数.(1)设,试讨论单调性;(2)设,当时,若,存在,使,求实数的取值范围.【答案】 （江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三第二次调研数学试题）已知函数.(1)若函数在上是增函数,求实数的取值范围;(2)若函数在上的最小值为3,求实数的值.【答案】(1),. 在上是增函数, 0在上恒成立,即在上恒成立. 令,则. 在上是增函数,.1.所以实数的取值范围为. (2)由(1)得,. 若,则,即在上恒成立,此时在上是增函数. 所以,解得(舍去). 若,令,得.当时,所以在上是减函数,当时,所以在上是增函数. 所以,解得(舍去). 若,则,即在上恒成立,此时在上是减函数. 所以,所以. （江苏省启东市2014届高三上学期第一次检测数学试题）已知函数,设曲线在与x轴交点处的切线为,为的导函数,满足.(1)求;(2)设,m0,求函数在0,m上的最大值;(3)设,若对于一切,不等式恒成立,求实数t的取值范围.【答案】(1), ,函数的图象关于直线x=1对称b=-1, 曲线在与x轴交点处的切线为,切点为(3,0), ,解得c=1,d=-3,则 oyx1x= (2), 当0m时, 当时, 综上 (3), 当时,|2x+1|=2x+1,所以不等式等价于恒成立, 解得,且xt, 由,得,所以, 又xt, ,所求的实数t的的取值范围是 （江苏省诚贤中学2014届高三上学期摸底考试数学试题）设函数f(x)=ax3-(a+b)x2+bx+c,其中a0,b,cr.(1)若=0,求函数f(x)的单调增区间;(2)求证:当0x1时,|.(注:maxa,b表示a,b中的最大值)【答案】解:(1)由=0,得a=b 故f(x)= ax3-2ax2+ax+c. 由=a(3x2-4x+1)=0,得x1=,x2=1 列表:x(-,)(,1)1(1,+)+0-0+f(x)增极大值减极小值增由表可得,函数f(x)的单调增区间是(-,)及(1,+) (2)=3ax2-2(a+b)x+b=3. 当时,则在上是单调函数, 所以,或,且+=a0. 所以| 当,即-ab2a,则. (i) 当-ab时,则00. 所以 | (ii) 当b2a时,则0,即a2+b2-0,即. 所以 |. 综上所述:当0x1时,| （江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）已知图形是由不等式组,围成的图形,其中曲线段的方程为,为曲线上的任一点.(1)证明:直线与曲线段相切;(2)若过点作曲线的切线交图形的边界于,求图形被切线所截得的左上部分的面积的最小值.【答案】 （江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）本小题满分16分)已知函数为常数).(1)当时,求f(x)的单调递减区间;(2)若a10时 当且仅当 由知,当x=9千件时,w取最大值38.6万元 （江苏省泗阳中学2014届高三第一次检测数学试题）已知函数(),.(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值;(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.【答案】解: (1)由为公共切点可得:,则, ,则, 又,即,代入式可得:. (2),设 则,令,解得:,; , 原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增 若,即时,最大值为; 若,即时,最大值为 若时,即时,最大值为. 综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为. （江苏省涟水中学2014届高三上学期（10月）第一次统测数学(理)试卷）已知函数f(x)=x2-mlnx.(1)若函数f(x)在(,+)上是递增的,求实数m的取值范围;(2)当m=2时,求函数f(x)在1,e上的最大值和最小值.【答案】若函数f(x)在(,+)上是增函数, 则f(x)0在(,+)上恒成立 而f(x)=x-,即mx2在(,+)上恒成立,即m (2)当m=2时,f(x)=x-=, 令f(x)=0得x=, 当x1,)时,f(x)0,故x=是函数f(x)在1,e上唯一的极小值点,故f(x)min=f()=1-ln2,又f(1)=,f(e)=e2-2=,故f(x)max= （江苏省涟水中学2014届高三上学期（10月）第一次统测数学(理)试卷）已知函数 (为实常数) .(1)当时,求函数在上的最大值及相应的值;(2)当时,讨论方程根的个数.(3)若,且对任意的,都有,求实数a的取值范围.【答案】解:(1),当时,.当时,又,故,当时,取等号 (2)易知,故,方程根的个数等价于时, 方程根的个数. 设=, 当时,函数递减,当时,函数递增.又,作出与直线的图像,由图像知: 当时,即时,方程有2个相异的根; 当 或时,方程有1个根; 当时,方程有0个根; (3)当时,在时是增函数,又函数是减函数,不妨设,则等价于 即,故原题等价于函数在时是减函数, 恒成立,即在时恒成立. 在时是减函数 (其他解法酌情给分) （江苏省兴化市2014届高三第一学期期中调研测试）(本小题满分16分,第1小题5分,第2小题5分,第3小题6分)设函数,其中实数.(1)若,求函数的单调区间;(2)当函数与的图象只有一个公共点且存在最小值时,记的最小值为,求的值域;(3)若与在区间内均为增函数,求实数的取值范围.【答案】解:(1),又 当或时,;当时, 的递增区间为和,递减区间为. (2)由题意知 即恰有一根(含重根),即, 又,且存在最小值,所以 又,的值域为. (3)当时,在和内是增函数,在内是增函数,由题意得,解得. 当时,在和内是增函数,在内是增函数,由题意得,解得. 综上可知,实数的取值范围为. （江苏省兴化市2014届高三第一学期期中调研测试）已知函数.(1)若存在,使不等式成立,求实数的取值范围;(2)设,证明:.【答案】解:(1)由变形为. 令,则 故当时,在上单调递减; 当时,在上单调递增, 所以的最大值只能在或处取得 又,所以 所以,从而. (2), 设,则 当时,在上为减函数; 当时,在上为增函数. 从而当时, 因为,所以. （江苏省无锡市洛社高级中学2014届高三10月月考数学试题）已知函数.()当 时,求函数 的最小值;()当 时,讨论函数 的单调性;()是否存在实数,对任意的,且,有,恒成立,若存在求出的取值范围,若不存在,说明理由.【答案】 （江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）已知函数(). 若函数的图象在点处的切线的倾斜角为,求在上的最小值; 若存在,使,求a的取值范围.【答案】解:(1) 根据题意, 此时,则. 令 -+ 当时,最小值为 (2) 若上单调递减. 又 若 从而在(0,上单调递增,在(,+上单调递减. 根据题意, 综上,的取值范围是 （江苏省徐州市2014届高三上学期期中考试数学试题）已知函数.(1)当时,求函数在上的最大值;(2)令,若在区让上不单调,求的取值范围;(3)当时,函数的图象与轴交于两点,且,又是的导函数.若正常数满足条件.证明.【答案】解:(1) 函数在,1是增函数,在1,2是减函数, 所以 (2)因为,所以, 因为在区间上不单调,所以在(0,3)上有实数解,且无重根, 由,有=,() 又当时,有重根, 综上 (3),又有两个实根, ,两式相减,得, , 于是 . 要证:,只需证: 只需证:.(*) 令,(*)化为 ,只证即可 , 在(0,1)上单调递增, ,即. （江苏省灌云县陡沟中学2014届高三上学期第一次过关检测数学试题）已知函数(1)求的单调区间; (2)求在区间上的最值.【答案】 （江苏省南莫中学2014届高三10月自主检测数学试题）已知函数.(i)