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专题一 第五讲 导数及其应用一、利用导数研究曲线的切线例1.已知函数在r上满足，则曲线在点处的切线方程是 .解析：由得：即，切线方程，即.例2. 已知曲线，过原点的直线与曲线相切，求直线的方程. 答案：或注意：“在点a处的切线”与“过点a的切线”的区别二、利用导数研究函数的单调性例3.（2010山东）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性.解：（1） 当 因此，,又所以曲线（2）因为,所以 ,令当时，所以当时，0，此时，函数单调递减；当时，0，此时，函数单调递增.当时，由，即，解得.当时， ， 恒成立，此时，函数在（0，+）上单调递减;当时， ，时，,此时,函数单调递减时，0,此时,函数单调递增时，此时，函数单调递减当时，由于,时，,此时,函数单调递减；时，0,此时,函数单调递增.综上所述当时，在上单调递减;函数在上单调递增当时,在上单调递减当时，在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减.三、利用导数研究函数的极值与最值例4函数在处有极值，则点为 答案：（-4,11）四、利用导数研究函数的图象例5设函数若关于的方程在上恰有两个相异实根，求实数的取值范围解：依题意，得在区间o，2上恰有两个相异实根令，则当时，当在上是减函数，在上是增函数又只要如图，即，可以使方程在区间上恰有两个相异实根，故的取值范围是五、利用导数证明不等式例6已知直线与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为（1）求直线的方程及的值；（2）若（其中是的导函数），求函数的最大值；（3）当时，求证：解：(1)依题意知，直线是函数在点处的切线，故其斜率所以直线的方程为又因为直线与的图像相切，所以由得不合题意，舍去）(2)因为，所以当时当时因此在上单调递增，在上单调递减因此，当时取得最大值(3)当时.由(2)知：当o时即因此，有.例7(1)已知，试求函数的最小值； （2）若，求证：.解：（1）对于函数，求导得，由得，当时，函数是递减函数；当时，函数是递增函数；所以当时，函数.（2）由第（1）题得：从而，三式相加得：变题：由（1）知：，从而，三式相
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