第2章第9节习题.pdf

第二章第九节习题解答 第二章第九节习题解答 1 证明 PQ 是幂等算子 所以 2 PQPQ 得出0PQQP 利用 P Q得幂等性 等式左乘P 得0PQPQP 等式右乘P 得 0PQPQP 所以PQQP 进而 0PQQP xR PyR Q 由于 P Q是投影算子 xPx yQy 00 x yPx Qyx P Qyx PQyx 所以 R PR Q 同上推导 由 R PR Q 可得到0PQQP 由此 2 PQPQ 又 PQPQPQ 即PQ 是自伴的 所以PQ 是投影算子 R PQPQ x xH R PR QPxQy x yH 显 然 R PQR PR Q 下 正 反 向 PxQyR PR Q 利 用 0PQQP 存在zPxQy 使得 PQ zPQPxQyPxQy 所以 PxQyR PQ 可直接验证 kerkerkerPQPQ 下正反向 kerxPQ 0PQ x 所 以 2 0P PQ xP xPx 同 理0Qx 所 以 kerkerxPQ 2 证明 PQ是投影算子 PQ是自伴算子 PQPQQ PQP 反 之 2 PQPQPQPPQQPQ 即PQ是 幂 等 算 子 另 外 PQQ PQPPQ PQ还是自伴的 所以PQ是投影算子 xR PR QxR PxR Q 由 于 P Q是 投 影 算 子 xPx xQx PQxPxx 所以 xR PQ R PR QR PQ 反 之 xR PQ 由 于PQ是 投 影 算 子 xPQx 所 以 PxPPQxPQxx 所 以 xR P 同 理 xR Q 于 是 得 出 结 论 R PR QR PQ 证得 R PR QR PQ kerker ker kerPQxy xPyQ kerkerzPQ 存 在 ker ker nn xPyQ 使得 nn xyz 由PQ得连续性 有界性 课后答案网 limlim lim0 nnnn nn nn n PQzPQ xyPQxPQy QPxPQy 所以 kerzPQ 反之 kerzPQ 0PQz 即 kerQzP 利用 zQzIz z 由于 ker kerQzPIQ zQ 所以 kerkerkerkerzPQPQ 所以 kerkerkerPQPQ 3 证明U是线性算子 满的 单的 然后计算比较 Ux Uyx y 4 证明 利用定理8 4 只需证明 2 AA A 22 A x A xAAx AAxAx A AAx Ax AA AxAx A A Ax A Ax A Ax 所以 2 A xA Ax 22 sup 1sup 1AA xxA AxxA A 5 证明 A是正规算子 A AAA 对任意xH Ax AxA Ax xAA x xA x A x 所以 AxA x 反之 利用极化等式 x yH 22 22 22 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 A x A yA xA yA xA y i A xA yi A xA y A xyA xy i A xyi A xy A xyA xy i A xyi A xy Ax Ay 所以 A x A yAx Ay 从而 x AA yx A Ay 由x的任意性 AA yA Ay 由y的任意性 AAA A 证得A正规 课后答案网 6 证明 酉算子定义 A不是满射 即 R AH 易验证 R AAx xH 是线性空间 下证 R A是闭的 xR A 存在 n xH 使得lim n n Axx n Ax的收敛性保证 n Ax是Cauchy列 下证 n x也是Cauchy 列 利用算子的保范性 0 nmnm