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第五章 量子霍耳效应量子霍耳效应现象 一、霍耳效应VHe + y I V b z - fL d x a 图5-1 霍耳效应 在介绍量子霍耳效应（缩写为QHE）之前，有必要回顾一下普通的霍耳效应。取一块长方体金属样品（abd），让电流I沿x方向通过，在z方向加一均匀磁场B。由于电子受洛兹力fL的作用，故样品沿y方向将产生一电压VH，称为霍耳电压，这就是通常所讲的霍耳效应。半经典半量子的理论认为，金属中只有费密能级附近的电子可以自由运动。因为泡利原理限制了其它低于费密能级电子的活动性。假定费密电子在连续的两次碰撞之间自由行走的平均时间和平均路程分别为和，并称为平均自由时间，为平均自由程。显然有，VF是费密运动电子的速度。在外电场E沿x方向作用的情况下，电子有一平均速度增量，为(5.1)电流密度与电子运动的关系为 (5.2)式中，n是电子的数密度，m是电子的有效质量。将（5.2）式与欧姆定律作比较，得到电导率为(5.3)电子因洛伦兹力而引起的速度增量为(5.4)于是产生y方向的电流，为所以总电流为(5.5) 一个二维导体置于平面内，取B沿z方向，则（5.5）式可以写成矩阵形式(5.6)实际上，对（5.5）式分别取x和y方向上的分量，则有(5.7)式中的电流项移到左边，并除以，即为（5.6）式。记电阻率为则（5.6）式简记为(5.8)这里电阻率不再是标量，而是一个张量。 电导率是的逆矩阵：容易求出这里是电子在磁场中的回旋率。综上所述，得出以下结论： 1、一般情况下，电阻率和电导率是张量，而非标量。 2、霍耳电阻率即电阻率的非对角项，它们不是独立的，而是互为相反数，而对角项。 二、量子霍耳效应 Hall效应发现后，大约经过了100年，Klaus. Von Klitzing（克劳斯冯克里青）、Dorda（多达）和Pepper（波普）在1980年发表了关于QHE的实验工作报告。为此，冯克里青获得了1985年诺贝尔物理奖。 什么是QHE，简单地说，在一定条件下，处在强磁场中的二维电子系统，其电导率张量为(5.9)这里i是整数。换句话讲，电流密度j严格地与电场E垂直，且电流值是量子化的。 从(5.9)式可知，当Ex=0时(5.10)将(5.10)式记为(5.11)由此得到QHE的主要特点是： 1. 。 2. 电导率张量的非对角项由基本常数e、h构成，即(i是整数)而对角项为零，表明电流是无耗散的。 QHE与超导、超流似乎有某种联系。 A VL B I S VH W D C L图5-2 Hall电阻测量 由于i取整数，故也称QHE为整数量子霍耳效应，记为IQHE。 1982年，Daniel. Tsui（丹尼尔崔）、Stormer（斯托美）和Gossard（戈沙德）发现，在极低温下，理想样品的i值能被一系列分数值f代替，特别有趣的是，这些分数的分母必须是奇数，即f=1/3，2/3，2/5，8/5，3/7，4/7。这一现象称为反常量子Hall效应或分数量子Hall效应，记为FQHE。 在实际的实验过程中，电导率张量和电阻率张量都是非直接测量量，只有电阻或电导才是直接测量量。图5-2是对样品进行测量的简单原理图。电子从S源出发，穿过样品到漏极D。触点A、B、C用来测量电压VL和HH。基本的关系式为L是样品长度，W是样品宽度。于是，纵向电阻和横向电阻分别为(5.12) (5.13)（5.12）式是通常的电阻率定律。式(5.13)表明Hall电阻与样品的几何尺寸无关。 h/e2RH 3 2 1 1 2 3 nhc/eB图5-3 Hall电阻台阶 按照通常的Hall效应理论，应有 则与应呈直线关系（见图5-3中虚直线），但实际测量结果却出现了一些台阶（见图5-3中实线）。 台阶高度处在为整数的地方，台阶中心十分平直。此刻尽管磁场B有变化，也并不影响RH值。对应台阶的RL=0，这时，有电流而无沿电流方向的电压。在低温下，好的样品一般有较宽的台阶。 上面，介绍了QHE的基本特点、实验测量原理和结果。如何解释QHE，特别是FQHE，至今仍是一个引起人们极大兴趣的理论研究课题。下面将简要说明QHE的物理机制。强磁场中的二维电子系统 y O x图5-4二维电子气的一种分布 设想有一个二维长方形的样品，电子在其上沿x方向分布，它们集中在y=常量的一系列水平线上，各水平线相互平行且等距，间距为恒量（见图5-4），我们称二维电子气的这种分布沿x方向是可扩展的，而沿y方向是局域化的。在此分布下，只可能有x方向的电流而不可能有y方向的电流。这一设想能否在实际样品中实现呢？非常有趣的是，在强磁场B中的二维电子气，当磁场B与二维样品垂直时，正好出现上述分布。 设B与样品垂直，沿z方向。用矢势A描述之并取Landau（朗道）规范(5.14)容易看到略去电子间的相互作用，二维电子气的单电子薛定谔方程为考虑最小耦合原理，动能已用代替。解方程（5.15），分离变量得则满足(5.16)其中方程(5.16)与一维线性谐振子的薛定谔方程完全类似，所以有能量本征值(5.17)称为朗道能级，与之对应的本征态是简并的，即 (5.18)这里，Hn是厄米特多项式。由于与k无关，故是多重简并态。 假定有周期性边界条件(5.19)则有P，P是整数。 于是，有如下结果： 1. 波函数表明，电子局限在这一水平线附近。若样品宽度为W，则有。 2. 考虑到，则最大值，而。以，对应每一个Landau能级，应有N个态（k=1，2，N），它们是N重简并的，且相互之间的相距为 3. 磁场B增大，则间距l2减小，而简并度增大。 这些特点对于解释QHE是极其重要的。 继续研究上面的模型。如果y方向存在一个电场E，则可以用势能表示。它取磁单位制（其中，L=1，），则势为。于是哈密顿量为(5.20)如果是一维线性谐振子，则是相对于它的一个平行移动量。于是存在y方向的电场时，有本征态(5.21)对应的朗道能级为由（5.21）式可知，电子分布的水平线产生了移动，不再是，而是。此外，简并完全消除，相邻简并态在消除简并后，其能量间隔为随着B增大，E将减小。 下面讨论杂质对能级的影响以及对电子态的作用。样品中渗入的杂质会对电子起散射作用，因此能改变原来的能谱。同时，杂质能使电子完全局域化，它可以俘获电子，把电子束缚在其周围。 为简单起见，设一个杂质原子在（x0,y0）处，引入散射势能(5.22)于是哈密顿量变成(5.23)可以推出确定能级E的关系式(5.24)显然，E在和之间。特别是当时，有一个最小值。这个态是(5.25)这里，已取，而其它非局域化的态都被强制在附近。（5.25）式表示一个电子被杂质束缚的完全局域化的态。 l 扩展态 局域态 O N(L)图5-5 局域态和扩展态 一般地讲，加入杂质后，偏离较大的移动能级被完全局域化，而几乎不移动的能级仍以朗道能级为中心，它们保持着沿x方向的扩展性质。设移动了M个局域化态，则有N-M个未移动态是扩展的（见图5-5）。电流与局域化态无关，它完全由扩展态携带。由（5.22）式可知，对于同一个y值，即同一k值，扩展态的势能是相等的，都为所以这些在水平方向上相互平行的电流通道，实际上是一条条等势线，电流通过它们时是无耗散的。 至此，我们给出的样品模型可以构成一反对称的电阻率张量它容易实现j与E的垂直关系 渗杂区 j图8-6Corbino盘Corbino盘与霍耳电阻台阶 一、可宾诺盘（Corbino disks） 量子Hall效应是一个整体效应，样品的尺寸、形状、连通性、边缘条件等都不会影响它的基本结果。因此，我们选择一个方便的几何形状样品，称为Corbino盘，它是一个中心有圆孔的双环形盘。盘面处在垂直均匀磁场中，孔内的总磁通是可变化的，借助电磁感应能产生沿环向的电场。于是有(5.26)可以看出，样品提供了以下形式的电阻率及电场强度和电流密度 而电流密度只可能是这里i是整数，磁通改变亦为量子化的。设单位时间增加一个磁通量子，即(5.27) 将和（5.27）式代入（5.26）式，得到即或 (5.28) 现在，把上面几节的讨论简单概话一下。一个二维电子系统在强磁场下，会出现单向局域化的Landau能级，它是多重简并的，其简并度与磁场B成正比。如果样品掺杂，则Landau能级中一部分态被移动且完全局域化；另一部分态几乎不移动，仍保持单向扩展，它们是一些等势态，能形成电流通道。只需提供电子源，在零压下亦有电流通过，即或。此电流在强磁场B中，应受到洛伦兹力fL的作用。为了平衡fL的作用。最后，得到样品的电阻率张量为(5.29) 二、霍耳电阻的台阶 F i=3 F i=1 B N B N图5-7费密能级 从图5-3可以看到，就总趋势而言，当磁场B增大时，Hall电阻亦增大。而在局域小范围内，B增大时，Hall电阻可以不变并出现平直的台阶平台。要解释QHE的这一实验曲线，可用图5-5来作说明。总数为T的电子填充图5-5所示的能态，包括局域态和扩展态。总数T全部填完所达到的最高位置称为费密能级。我们已经知道，磁场B增大，则每个Landau能级的简并度N将增大。并且消除简并后，相邻能级间距将减小，这都会使相对降低，即完全被填充的扩展态能级将减少，因而电流通道减少，电阻将增大，见图5-7。如果磁场B的变化使得在两个相邻的Landau能级和之间变化，则电阻将保持不变。于是便出现霍耳电阻的平台。简言之，只有费密能级越过Landau能级时，才会发生霍耳电阻的突变，而在局域态能隙中的变化对霍耳电阻无影响。这正是出现量子化台阶的原因。 三、MOSFET反向层 26A0反向层 导带 价带 A1 耗尽层 半导体 绝缘层图5-8 量子阱和反向层 在实验中，一个二维电子系统的样品是利用金属-氧化物-半导体场效应管（缩写成MOSFET）来得到的。二维电子系统就是MOSFET中的反向层，反向层是半导体和绝缘体之间的界面。有时反向层也可以在两个半导体之间的界面上，其中的一个半导体起着绝缘体的作用。 一般采用硅（Si）作为半导体，氧化硅(SiO2)作为绝缘体。半导体-半导体型式有GaAs和AlxGa1-xAs，后者中的Al起着绝缘体的作用（x0.8）。 反向层的原理十分简单。垂直于界面加一电场，它的作用是吸引半导体方面的电子，同时在界面产生一量子阱，电子被安置在这个量子阱中。量子阱是由于大量电子聚集在界面，在电场中产生了较低的势能，将半导体能带弯曲拉下而形成的，以至于出现了导带能级低于价带能级的情况，而通常导带能级是高于价带能级的，故有反向层之称。图5-8示意了量子阱和反向层的结构，可以看到，在反向层的导带电子处在费密能级以下。 V G D S P-Si 由于出现了量子阱，故垂直于界面的电子运动将是量子化的。这意味着来自半导体方面的电子在界面聚集的过程不是连续的，它保证了界面电子密度的稳定性。于是电子沿垂直界面运动的自由度在一定条件下丧失了，在反向层获得了一个稳定的二维电子系统。 图5-9是MOSFET的简单构造原理图。S是电子源的源极，D是漏极，G是栅极。在P型Si的晶体衬底上层有大量掺杂的n+区。量子霍耳效应的应用及分数量子霍耳效应之谜 量子霍耳效应给出了一种测量基本结构常数的新方法。这种方法是以固体元件的物理参数为测量参数的，既准确又方便。 此外，QHE的平台现象使我们可以采用量子霍耳元件作为标准电阻。 前面看到，MOSFET的反向层是通过改变半导体的能隙，让能隙弯曲而形成的。这种按人们的要求去改变能隙的技术，称为能隙工程。能隙工程是一个重要的应用研究领域，它能够提供各种