球坐标系下的分离变量球函数

第九章球坐标系下的分离变量球函数 本章内容概要 9 1球坐标系下的亥姆霍兹方程的分离变量给出该亥姆霍兹方程分离变量的解 9 2 9 3 缔合 勒让德函数 球函数的性质 母函数 递推公式 正交归一性关系 前几阶的勒让德多项式 球坐标系下分离变量法的应用 见本章6道例题 令 代入得 9 1球坐标系下的亥姆霍兹方程的分离变量 一 亥姆霍兹方程的引入 分离变量得 亥姆霍兹方程 对三维波动方程 为使t 时 T t 有限 取 Tips k 0时 取T t Constant 位势方程 二 球坐标系下亥姆霍兹方程的分离变量 1 径向坐标r和角向坐标的分离变量 令 代入Helmholhz方程 方程两边同时乘以 整理得 0 即 2 角向坐标q和j的分离变量 令 代入角向方程 方程两边同时乘以 整理得 即 3 的本征问题求解 自然周期条件 本征值 本征函数 或 本征值 本征函数 4 的本征问题求解 有限值 自然边界条件 令x cosq 则dx sinqdq 此即l阶勒让德方程 满足有限的本征解为 本征值 本征函数 m 0 的方程变为 此时为常数即 绕z轴对称 m 0时 令 方程变为 为求方程的解 考虑勒让德多项式满足的方程 对x求m次导 整理 得 比较上式与 式 知本征解为 记为缔合勒让德函数 由勒让德函数的微分表达式 得 注意到为l阶多项式 使 则 从的微分表达式 也可看出 若先选定m 则 若先选定l 则 或 本征值 本征函数 或者 附注 缔合 勒让德函数的正交归一关系 或者 范数 范数 详细证明见下节 5 总结 角向函数的本征问题 本征值 本征函数 本征值 或者 本征函数 为有限值 自然周期边界条件 有界条件 例 量子力学中 定义角动量平方算符为 则 即 算符有分立的本征值 称为球谐函数 球谐函数具有正交性 因此 函数 可在球坐标系展开为 k 0时 径向方程为欧拉方程 令 得其解为 k 0时 方程称为l阶球贝塞尔方程 此时 令 径向方程 根据前面的讨论 l为自然数 即 6 径向函数的求解 此时Helmholhz方程变为Laplace方程 根据对贝塞尔方程的讨论 方程通解为 通常令 分别称为l阶球贝塞尔函数和l阶球诺依曼函数 则l阶球贝塞尔方程的通解为 方程化为 l为整数 则方程为半奇数阶贝塞尔方程 7 总结 球坐标系下Helmholhz方程的通解形式 k 0时 Helmholhz方程即为Laplace方程 位势方程 k 0时 或者 若讨论的问题具有旋转对称性 则m 0 此时 k2 本征值 可由径向 r 的边界条件给出 例9 3 方程 一般情形m 0 绕极轴旋转对称 m 0 球对称 m 0且l 0 Helmholtz方程 Laplace 位势 方程 球坐标系下方程的通解 9 2球函数 9 3 缔合 勒让德多项式 一 勒让德多项式的母函数 生成函数 在单位球的北极 置电荷量为的正电荷 球内M点与N点距离为 N 则 M点电势为 u M 也可由拉普拉斯方程通过分离变量法求出 此问题关于z轴对称 且球内电势有限 令 则因 有 又 由 9 1的讨论知 此问题通解为 因此 称为勒让德多项式的母函数 同理得 因此 勒让德函数是函数在r 0处的泰勒 洛朗展开的系数 比较r的l次幂的系数 二 勒让德多项式的递推公式 由母函数公式 两边对r求导 得 整理 得递推公式 三 勒让德多项式的正交归一关系 缔合 勒让德方程是Sturm Liouville方程的一例 因此 缔合 勒让德多项式在 1 1 上正交 下面由勒让德方程证明正交归一关系 或者 并在 1 1 积分得 作分部积分 相减结果为零 又k l 故 1 正交性 2 归一关系 上式两边平方 并在 1 1 积分 由正交性得 将方程左边也展开为r的级数表达式 比较的系数得 母函数关系 由勒让德多项式的正交归一关系 可将在区间 1 1 上的函数f x 用勒让德多项式展开 四 缔合勒让德函数 1 缔合勒让德函数的引入 在 9 1讨论中 通过对勒让德方程微分m次 验证了缔合勒让德方程的解 即缔合勒让德函数 2 缔合勒让德函数的递推公式 证明方法 由勒让德多项式的递推公式求m次导 并利用勒让德函数的母函数公式 详见课本Page167 168的证明 缔合勒让德函数有其他递推公式 可参考 王竹溪 特殊函数概论 刘式达 刘式适 特殊函数 同m 不同l的递推公式 例如 同l 不同m的递推公式 3 缔合勒让德函数的正交归一关系 证明 令 将代入 并分部积分 此项为0 分部积分 作微分运算 放大 根据同l不同m的递推公式 将该式递推m次 上式中用到勒让德多项式正交归一关系 得证 4 负指标的缔合勒让德函数 在亥姆霍兹方程方程的通解中 用到 不能由定义 考虑利用微分表达式定义 则 并且可证 Eg 前几阶的勒让德函数 Question l阶缔合勒让德函数 x的次数是多少 或者 复数形式 是Helmholtz方程在自然周期条件 边界值有限条件下的角向本征函数 五 球谐函数 球谐函数满足的方程为 球谐函数为 实函数形式 l阶独立的球函数共2l 1个 由缔合勒让德函数的正交归一关系 以及j方向本征函数系的正交归一关系 得复数形式球谐函数的正交归一关系 其中为的复数共轭 即 球谐函数的递推公式 可由递推公式推导的递推公式 本节主要结论 一 勒让德函数的母函数公式 二 勒让德函数的递推公式 三 勒让德函数的正交归一关系 四 缔合勒让德函数 1 定义 2 缔合勒让德函数的递推公式 了解 同m 不同l的递推公式 同l 不同m的递推公式 3 缔合勒让德函数的正交归一关系 重要 4 时的缔合勒让德函数 了解 或复数形式 五 球谐函数 l阶独立的球函数共2l 1个 复数形式的球谐函数的正交归一关系 球谐函数的递推公式 了解 例9 2一半径为a的空心球 若在其表面一半充电到电势u0 另一半电势为0 求球内外电势分布 解 球内 球外 习题9 1第2题匀强电场中放置一接地导体球 球的半径为a 求球外的电势 例9 3均质球 半径为r0 初始温度分布为f r 球表面温度保持为0 使它冷却 求温度分布 解 球内 一 亥姆霍兹方程的引入 二 球坐标系下亥姆霍兹方程的分离变量 1 径向坐标r和角向坐标的分离变量 2 角向坐标 和j的分离变量 3 的本征问题求解 4 的本征问题求解 5 总结 角向函数的本征问题 6 径向函数的求解 7 总结 球坐标系下Helmholhz方程的通解形式 9 1球坐标系下的亥姆霍兹方程的分离变量 9 3勒让德多项式的母函数 正交性和递推公式 一 勒让德多项式的母函数 生成函数 二 勒让德多项式的递推公式 三 勒让德多项式的正交归一关系 四 缔合勒让德函数 1 缔合勒让德方程 2 缔合勒让德函数的递推公式 3 缔合勒让德函数的正交归一关系 4 时的缔合勒让德函数 五 球谐函数 本章考试范围 体系具有旋转对称性时 m 0 1 熟悉Helmholhz方程在球坐标下的通解 k 0时 Helmholhz方程即为Laplace方程 k 0时 不要求能解具体问题 m 0时 3 熟悉缔合勒让德函数 球谐函数正交归一关系 附注 Laplace方程在平面极坐标系的通解形式 2 缔