光纤波导 II课件.ppt

3 1 圆柱介质波导的场方程3 2 介质波导模式3 3 截止条件3 4 相速 三 介质波导 介质波导从理论方面着手将首推Hondros和Debye 1910 1966年作为光纤使用 1970年低耗光纤获得发展 一 圆柱介质波导的场方程 圆柱介质波导属于开波导系统 OpenWaveguideSystem 因而求解区域自然是全空间 fullspace 半径为a 介质的介电常数为 1 0 周围空间是 2 0 所给出的z轴与圆柱轴重合 见图29 1所示 图29 1圆柱介质波导 如何从麦克斯韦方程出发推导波动方程 或矢量亥姆霍兹方程 一 圆柱介质波导的场方程 一 圆柱介质波导的场方程 矢量波动方程或矢量亥姆霍兹方程 取式 1a 的旋度并与式 1b 联立得 1a 1b 取式 1b 的旋度并与式 1a 联立得 利用矢量微分公式 可得 一 圆柱介质波导的场方程 6a 取J 0时 6 可得 7a 7b 8 考虑式 1c 1d 和 5 的关系 可得 6b 5 1c 我们采用 29 1 29 2 按照一般习惯 也可写成 29 3 一 圆柱介质波导的场方程 其中 29 4 ni也称为折射率 考虑到波导系统 我们只考虑入射波 有 29 5 一 圆柱介质波导的场方程 于是进一步写出 29 6 应用分离变量法求解 在圆柱坐标系中具体为 29 7 一 圆柱介质波导的场方程 省略e j z因子 令 上述假定常称之为分离变量法 于是又导出两个常微分方程 29 8 29 9 一 圆柱介质波导的场方程 因为介质波导的开波导特点 对于介质波导内部 有 必定是驻波型解 只能是第一类Bessel函数 而在介质波导外部 有 它又必须是衰减场 只能取第二类修正Bessel函数 29 10 29 11 一 圆柱介质波导的场方程 也就是根据r 0和r 的边界条件 我们自然省去了Nm r Neumann 函数和Im r 函数 Bessel函数修正Bessel函数 图29 2Bessel函数和修正Bessel函数 一 圆柱介质波导的场方程 29 12 29 13 其中 29 14 一 圆柱介质波导的场方程 29 9 根据边界r a的条件 注意开波导系统是连续条件 29 15 于是可以得到 29 16 一 圆柱介质波导的场方程 其中 29 17 29 18 一 圆柱介质波导的场方程 这样 29 13 式变为 29 19 29 20 一 圆柱介质波导的场方程 回忆起横向分量采用纵向分量表示的不变量矩阵 29 21 一 圆柱介质波导的场方程 29 22 一 圆柱介质波导的场方程 一 圆柱介质波导的场方程 2 7 1边界条件一般表达式 一 圆柱介质波导的场方程 两种理想介质分界面上的边界条件 在两种理想介质分界面上 在自然状态下没有电荷和电流分布 即JS 0 S 0 故 边界条件是r a时 很容易导出 29 23 29 24 一 圆柱介质波导的场方程 其中 方程 29 24 称为求模数的色散方程或特征方程 由此导出传播因子 一 圆柱介质波导的场方程 29 24 已知知道 因此有 29 25 29 26 二 介质波导模式 也即 于是 特征方程 29 24 又可改写成 29 27 29 28 29 29 二 介质波导模式 我们引入归一化频率 case1m 0的情况 由特征方程 29 29 知道 29 30 29 31 29 32 二 介质波导模式 29 29 29 12 其中 n表示场沿半径方向分布的最大值个数 它可以分成两套独立分量 case2m 0情况 二 介质波导模式 左右两边均除以 1也可写出 式 29 33 是以 1为未知数的二次方程 解出 归结起来 29 33 29 34 二 介质波导模式 如果n1 n2时 介质波导的最大特点是 Ez和Hz会同时存在 从概念上只有这样才会满足阻抗条件 这时 式 29 35 定义 29 35 29 36 二 介质波导模式 则介质波导内的纵向场分量可表示为 其中 29 37 29 38 二 介质波导模式 对应的横向分量 29 39 二 介质波导模式 观察 29 36 定义式和 29 35 的近似关系 得到 29 40 二 介质波导模式 29 35 29 36 从上面分析已经知道 介质波导存在 TE0n TM0n EHmn HEmn模式 要满足上述方程 K2 K1 29 41 29 42 三 截止条件 金属波导中截止条件 介质波导中截止条件 kc2 0 金属波导截止时 波沿z方向无传播只是振幅衰减 同时因为是封闭的 外部无电磁场 介质波导截止时kc2 0 波沿r方向有辐射 且沿z方向仍有传播 称为辐射模 所以kc2 是波导外无辐射场的条件 29 43 29 44 三 截止条件 case1m 0时 TEon模 1 u 2 w 可写成 29 45 29 46 三 截止条件 原因是kc2 0 w 0 TE0n TM0n模截止条件都可写为 J0 u0n 0 case2m 0且m 1 特征方程变为 29 47 29 48 29 49 三 截止条件 TMon模 十分明显 有 计及 1和 2定义式 可知HE1n模条件是 J1 u1n 0 29 50 29 51 29 52 根据Bessel函数递推公式 又有 29 53 三 截止条件 29 24 三 截止条件 当 较大时 利用计算 的结果是不可靠的 除非使用双精度计算 但随着 继续增加 利用双精度的计算仍不能得到可靠的结果 当 的虚部很大时 计算jn时将会产生溢出 如在双精度数据类型下 当Im 的绝对值大于等于710时 计算jn就会溢出 这是因为双精度类型的突变量最大只能表示数值约10308的数据 但级数的复变正弦sin 和复变余弦cos 需要对Im 进行双曲正弦和双曲余弦计算 而e710 2 234 10308已经大于1 10308 即式中正弦和余弦函数是无界的 当球尺寸 很大时 会导致很大的计算误差和计算机溢出 进而导致的值为零 此时无论 如何增大 也不会出现计算机溢出 三 截止条件 psi0 exp cmplx 0 1 dx0 exp cmplx 0 1 dx0 2 psi1 exp cmplx 0 1 dx0 exp cmplx 0 1 dx0 2 cmplx 0 1 psi 2 dn 1 psi1 dx psi0 当n 1即HE11模 u11 0 HE11模无截止波长 HE11模是圆柱介质波导的基模 若 2 0则在截止条件 传播速度是光速 29 54 29 55 29 56 三 截止条件 可得到相速 其中 mn是Jm kc1a 的根值 介质波导中波速在之间 金属波导和介质波导之比较 29 57 29 58 四 相速 四 相速 金属圆柱波导 介质圆柱波导 封闭内区域求解 全空间分区域求解 四 相速 四 相速 四 相速 4 1 阶跃光纤模型4 2 近似特征方程4 3 光纤模式4 4 截止条件4 5 功率传输 四 光纤 四 光纤 OpticalFiber 光纤 OpticalFiber 即光导纤维 我们讨论通信所用的阶跃光纤 它的简化模型是中心纤芯半径为a 折射率为n1 层半径为b 折射率为n2 外部空气折射率为n0 并满足 实际上是波导多模光纤 到r b认为已衰减完 我们注意到近年来已开始研究单模光纤 在这种情况下 我们只要分两层考虑 30 1 一 阶跃光纤模型 利用上面假定 将求近截止区和远离截止区的本征值简单近似解 图30 1阶跃光纤 二 近似特征方程 根据两层的特点 完全可用上讲 介质波导 的有关结果 定义 归一化频率 如果计及n1 n2为简化条件 30 2 则 上面推导中已考虑 u和w是光纤的基本参量 v决定传输的模数 它与光波频率成正比 二 近似特征方程 30 3 30 4 在29讲中已给出特征方程 其中 且进一步导出了 二 近似特征方程 30 5 30 6 引入弱光导纤维条件 n1 n2 n1 1 即n1 n2 1 2 特征方程 30 6 简化为 具体给出 1的解 或者写成 二 近似特征方程 30 7 30 8 30 9 最后得到简化特征方程 由Bessel函数递推公式 二 近似特征方程 30 10 30 11 于是 修正Bessel函数也有递推关系 二 近似特征方程 30 12 可得到 把 30 12 和 30 13 式代入简化特征方程 30 11 二 近似特征方程 30 13 在弱光导纤维n1 n2 v2 u2 w2 0或者u2 w2于是有近似特征方程 色散方程 特别对于casem 0 它可以简化为 二 近似特征方程 30 14 30 15 三 光纤模式 和金属波导不同 光纤属于介质波导 类型可分为TEon TMon EHmn和HEmn模式 特别对于弱光导纤维 还有满足相同近似特征方程的简并模组成LP模 Case1TEon和Tmon模 图30 2TEon和TMon模 三 光纤模式 Case2HEmn EHmn模 再写出特征方程上式取 HEmn模 EHmn模 三 光纤模式 30 16 30 17 TE0n模TM0n模 HE11模是光纤基模 图30 3HE11模 三 光纤模式 Case3LP模式LP 线极化模LinearlyPolarizedMode 是Gloge根据满足相同近似特征方程 其相位周数简并而提出的 LP模命名EHmn HEmn m 1 均有sinm 和cosm 简并 三 光纤模式 三 光纤模式 三 光纤模式 四 截止条件 从上面的论述可以看到 光纤中模式的特性可以用3个特征参数u 和来描述 u表示模式场在纤芯内部的横向分布规律 表示模式场在纤芯外部的横向分布规律 是轴向的相位常数 一般根据特征方程确定其中一个参数 然后根据式求出另外两个参数 但是 各个模式的特征方程是需要数值求解的超越方程 下面讨论两种极限情况 即光纤的截止条件和远离截止条件 四 截止条件 在正常情况下 K0n2 K0n1 纤芯外层场随指数规律Km r 衰减 这时电磁能量集中在纤芯之内 然而如果 这时场能量逸出外层成为辐射模式 称为截止条件 30 18 30 19 光纤模式截止条件 四 截止条件 四 截止条件 随着光纤的归一化频率v的增加 传播模式的径向归一化衰减常数 越来越大 这就意味着模式在包层中的径向衰减越来越快 其能量越来越往纤芯集中 当v和 足够大时 传播模式的能量基本集中于光纤的纤芯之中 这种状态称为远离截止状态 因此 0和v 0的极限情况 称为远离截止条件 如图所示 为使正常模能传播 应满足w 0 这称为远离截止条件 远离截止条件 四 截止条件 w kc2a 特别是基模HE11模的远离截止条件为J0 u01 0 即 TE01 TM01和HE21的远离截止条件均为J1 u 0 即 于是可画出工作模式图 四 截止条件 30 20 30 21 图30 4工作模式图 四 截止条件 五 功率传输 光纤中一个重要指标是希望能量集中于纤芯 定义 功率集中度 其中 P芯表示纤芯内的功率 P总表示全部功率 一般要求 1 光纤横截面 r 0 的PoyntingVector是 30 22 其中 号 对应HEmn模 号 对应EHmn模 积分得到 五 功率传输 30 23 30 24 30 25 五 功率传输 30 26 30 27 特别要提出TMon TEon和HE2n模在截止时芯内功率P芯 0 只有包层 r a b 中有功率传输 而主模式截止时 芯内仍有功率传输 传输模式 对多模光纤 总数N有估计公式 作为例子 当a 55 m 1 2 m时 第一次作业 一 试根据介质波导 圆柱形 电场方程 推导特征方程为 二 试比较介质波导中的模与金属波导中的模有何不同 课堂练习 微波电路例题解算 192 对于如图示出的介质圆柱形波导线路上传播的轴对称模TM0n模 试回答下列问题 a 导出电磁场分量和相位常数的表达式 b 证明时介质圆柱导波线路的TM0n模的截止波数与相同尺寸的中空圆形波导管的TE0n模近似相等 并给出物理解释 课堂练习 相位常数 的表达式 12 b 当 公式 12 的第二项可以忽略 则得 13 因此 14 式中 1n